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====== 第九章 格林函数法 ======

===== 9.1 格林函数的一般概念 =====

**定义9.1.1（格林函数）**

对于线性微分算子 $L$，边值问题的**格林函数** $G(x, y)$ 满足：
$$LG(x, y) = \delta(x-y)$$

并满足齐次边界条件。

**解的表示**：
$$u(x) = \int G(x,y)f(y)dy$$

**对称性**：自伴算子的格林函数满足 $G(x,y) = G(y,x)$。

===== 9.2 常微分方程的格林函数 =====

**问题**：$Lu = -(p(x)u')' + q(x)u = f(x)$，$a < x < b$

边界条件：$B_1u = B_2u = 0$

**构造方法**：

设 $u_1, u_2$ 分别是满足左、右边界条件的解，且 $Lu_1 = Lu_2 = 0$。

Wronskian：$W = p(x)(u_1u_2' - u_1'u_2) = \text{const}$

**格林函数**：
$$G(x,y) = \begin{cases}\frac{u_1(x)u_2(y)}{W}, & a \leq x \leq y \\ \frac{u_1(y)u_2(x)}{W}, & y \leq x \leq b\end{cases}$$

**例9.1**：$u'' = f$，$u(0) = u(1) = 0$

  - $u_1 = x$（满足 $u(0) = 0$）
  - $u_2 = 1-x$（满足 $u(1) = 0$）
  - $W = 1$

$$G(x,y) = \begin{cases}x(1-y), & x \leq y \\ y(1-x), & x \geq y\end{cases}$$

===== 9.3 偏微分方程的格林函数 =====

**9.3.1 Laplace方程**

见第五章。三维基本解：$\Phi(x,y) = \frac{1}{4\pi|x-y|}$

**9.3.2 Helmholtz方程**

$$-\Delta u - k^2u = f$$

基本解（三维）：$\Phi(x,y) = \frac{e^{ik|x-y|}}{4\pi|x-y|}$

**9.3.3 热传导方程**

$$u_t - \Delta u = f$$

**基本解（热核）**：
$$\Phi(x,t; y,\tau) = \frac{1}{[4\pi(t-\tau)]^{n/2}}\exp\left(-\frac{|x-y|^2}{4(t-\tau)}\right)H(t-\tau)$$

**解的表示**：
$$u(x,t) = \int_0^t\int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x,t;y,\tau)f(y,\tau)dyd\tau + \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x,t;y,0)\varphi(y)dy$$

**9.3.4 波动方程**

$$u_{tt} - c^2\Delta u = f$$

**基本解**（三维）：
$$\Phi(x,t;y,\tau) = \frac{\delta(t-\tau-|x-y|/c)}{4\pi c|x-y|}$$

===== 9.4 格林函数的变分刻画 =====

对于自伴正算子 $L$，格林函数使能量泛函极小：
$$J[G] = \iint \left[\frac{1}{2}(\nabla_x G)^2 - G\delta(x-y)\right]dx$$

===== 9.5 特征函数展开法 =====

若 $\{\varphi_n\}$ 是 $L$ 的特征函数系，$L\varphi_n = \lambda_n\varphi_n$，则：
$$G(x,y) = \sum_n \frac{\varphi_n(x)\varphi_n(y)}{\lambda_n}$$

**例9.2**：弦振动算子 $Lu = -u''$，$u(0) = u(\pi) = 0$

特征函数：$\varphi_n = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(nx)$，$\lambda_n = n^2$

$$G(x,y) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)\sin(ny)}{n^2}$$

===== 9.6 习题 =====

**习题9.1**：求算子 $Lu = -u'' + u$，$u(0) = u(1) = 0$ 的格林函数。

**习题9.2**：用格林函数法求解 $u'' = x$，$u(0) = u(1) = 0$。

**习题9.3**：验证热核满足 $(\partial_t - \Delta_x)\Phi = \delta(x-y)\delta(t)$。

**习题9.4**：证明三维Laplace方程格林函数的对称性 $G(x,y) = G(y,x)$。

**习题9.5**：用特征函数展开求圆盘上Laplace算子的格林函数。

**习题9.6**：设 $G_\lambda$ 是算子 $L-\lambda I$ 的格林函数，分析其奇点与特征值的关系。