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====== 第二章 一阶偏微分方程 ======

===== 2.1 引言 =====

一阶偏微分方程虽然相对简单，但包含了偏微分方程理论的许多基本思想。特别是**特征线法**，它是求解一阶方程的有力工具，也是理解高阶方程的基础。

===== 2.2 线性一阶偏微分方程 =====

==== 2.2.1 一阶线性方程的一般形式 ====

两个自变量的一阶线性偏微分方程的标准形式为：

$$a(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y) u + d(x, y)$$

其中 $a, b, c, d$ 是已知函数。

当 $d \equiv 0$ 时，方程为**齐次**的；否则为**非齐次**的。

==== 2.2.2 特征方程 ====

**定义 2.1** 与上述一阶线性方程相关联的**特征方程**为：

$$\frac{dx}{a(x, y)} = \frac{dy}{b(x, y)}$$

或写成：

$$\frac{dx}{dt} = a(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = b(x, y)$$

**定义 2.2** 特征方程的解曲线称为**特征曲线**或**特征线**。

**定理 2.1** 沿特征曲线，一阶线性偏微分方程化为常微分方程。

**证明**：设 $(x(t), y(t))$ 是特征曲线，即满足：
$$\frac{dx}{dt} = a, \quad \frac{dy}{dt} = b$$

令 $U(t) = u(x(t), y(t))$，则：
$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{dt} = a \frac{\partial u}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y} = c U + d$$

这正是关于 $U$ 的常微分方程。

==== 2.2.3 常系数情形 ====

对于常系数方程：

$$a \frac{\partial u}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y} = c u + d$$

其中 $a, b, c, d$ 是常数，且 $a^2 + b^2 \neq 0$。

**求解步骤**：

**步骤 1**：求特征曲线

特征方程：$\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b}$

积分得：$bx - ay = C$（$C$ 为常数）

令 $\xi = bx - ay$，$\eta = ax + by$（或简单地 $\eta = y$）

**步骤 2**：变量替换

由链式法则：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = b \frac{\partial u}{\partial \xi} + a \frac{\partial u}{\partial \eta}$$
$$\frac{\partial u}{\partial y} = -a \frac{\partial u}{\partial \xi} + b \frac{\partial u}{\partial \eta}$$

（当 $\eta = y$ 时，$\frac{\partial u}{\partial x} = b \frac{\partial u}{\partial \xi}$，$\frac{\partial u}{\partial y} = -a \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}$）

**步骤 3**：化简求解

代入原方程后，得到关于 $\eta$ 的常微分方程，解之即可。

**例 2.1** 求解 $2 \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = 0$。

**解**：特征方程：$\frac{dx}{2} = \frac{dy}{3}$，即 $3dx - 2dy = 0$

积分得特征线：$3x - 2y = C$

令 $\xi = 3x - 2y$，$\eta = y$，则：
$$u_x = 3 u_\xi, \quad u_y = -2 u_\xi + u_\eta$$

代入方程：$2(3 u_\xi) + 3(-2 u_\xi + u_\eta) = 6 u_\xi - 6 u_\xi + 3 u_\eta = 3 u_\eta = 0$

故 $u_\eta = 0$，即 $u$ 不依赖于 $\eta$，只依赖于 $\xi$。

通解为：$u(x, y) = f(3x - 2y)$，其中 $f$ 是任意可微函数。

==== 2.2.4 变系数情形 ====

对于变系数方程，求解方法类似：

**步骤 1**：解特征方程 $\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b}$，得到首次积分 $\varphi(x, y) = C$

**步骤 2**：令 $\xi = \varphi(x, y)$，选择适当的 $\eta$（通常取 $\eta = x$ 或 $\eta = y$）

**步骤 3**：化简方程为常微分方程，求解

**例 2.2** 求解 $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = u$。

**解**：特征方程：$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}$

积分得：$\ln|y| - \ln|x| = \ln|C|$，即 $\frac{y}{x} = C$

令 $\xi = \frac{y}{x}$，$\eta = x$，则：
$$u_x = -\frac{y}{x^2} u_\xi + u_\eta, \quad u_y = \frac{1}{x} u_\xi$$

代入方程：
$$x\left(-\frac{y}{x^2} u_\xi + u_\eta\right) + y \cdot \frac{1}{x} u_\xi = -\frac{y}{x} u_\xi + x u_\eta + \frac{y}{x} u_\xi = x u_\eta = u$$

即：$\frac{\partial u}{\partial \eta} = \frac{u}{\eta}$

解此常微分方程：$\frac{du}{u} = \frac{d\eta}{\eta}$

积分得：$\ln|u| = \ln|\eta| + \ln|f(\xi)|$，即 $u = \eta f(\xi) = x f\left(\frac{y}{x}\right)$

其中 $f$ 是任意可微函数。

===== 2.3 特征线法 =====

==== 2.3.1 特征线法的几何解释 ====

考虑方程 $a u_x + b u_y = c$。

向量场 $(a, b)$ 定义了平面上每点的方向。特征曲线就是沿此向量场的积分曲线。

沿特征曲线，解 $u$ 的变化率由 $c$ 决定。

**几何意义**：解曲面 $z = u(x, y)$ 的法向量为 $(u_x, u_y, -1)$。方程表明法向量与方向向量 $(a, b, c)$ 正交：
$$a u_x + b u_y + c \cdot (-1) = 0$$

因此，方向 $(a, b, c)$ 位于解曲面的切平面内。

==== 2.3.2 特征线法的完整步骤 ====

对于一阶线性方程：

$$a(x, y) u_x + b(x, y) u_y = c(x, y) u + d(x, y)$$

**算法**：

**步骤 1**：写出特征方程组
$$\frac{dx}{dt} = a(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = b(x, y)$$

**步骤 2**：求解特征曲线 $x = x(t, s)$，$y = y(t, s)$，其中 $s$ 参数化初始曲线

**步骤 3**：沿特征曲线，$u$ 满足
$$\frac{du}{dt} = c(x(t), y(t)) u + d(x(t), y(t))$$

**步骤 4**：解此常微分方程，得到 $u = u(t, s)$

**步骤 5**：从 $(t, s)$ 反解出 $(x, y)$，得到 $u(x, y)$

===== 2.4 Cauchy问题 =====

==== 2.4.1 Cauchy问题的提法 ====

**定义 2.3 (Cauchy问题)** 给定一条曲线 $\Gamma$ 和曲线上 $u$ 的值，求一阶偏微分方程的解。

设参数化曲线 $\Gamma$：$x = x_0(s)$，$y = y_0(s)$，$s \in I$

给定初值：$u|_\Gamma = u_0(s)$，即 $u(x_0(s), y_0(s)) = u_0(s)$

==== 2.4.2 局部可解性条件 ====

**定理 2.2** Cauchy问题局部可解的充分必要条件是初值曲线 $\Gamma$ 不与特征曲线相切，即：

$$\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ x_0'(s) & y_0'(s) \end{vmatrix} = a y_0'(s) - b x_0'(s) \neq 0$$

**证明概要**：若 $\Delta \neq 0$，则由隐函数定理可从 $(t, s)$ 反解出 $(x, y)$；若 $\Delta = 0$，则初值曲线与特征曲线相切，需要相容性条件。

==== 2.4.3 求解步骤 ====

**例 2.3** 求解 Cauchy 问题：
$$\begin{cases}
u_x + u_y = u \\
u(x, 0) = \varphi(x)
\end{cases}$$

**解**：初值曲线为 $y = 0$，即 $\Gamma$：$x = s$，$y = 0$，$u = \varphi(s)$

**步骤 1**：特征方程组
$$\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 1, \quad \frac{du}{dt} = u$$

**步骤 2**：求解特征曲线
$$x = t + C_1, \quad y = t + C_2, \quad u = C_3 e^t$$

**步骤 3**：利用初值确定常数

当 $t = 0$ 时：$x = s$，$y = 0$，$u = \varphi(s)$

故：$C_1 = s$，$C_2 = 0$，$C_3 = \varphi(s)$

因此：$x = t + s$，$y = t$，$u = \varphi(s) e^t$

**步骤 4**：消去参数

从 $y = t$，$s = x - t = x - y$

代入得：$u(x, y) = \varphi(x - y) e^y$

**验证**：$u_x = \varphi'(x-y) e^y$，$u_y = -\varphi'(x-y) e^y + \varphi(x-y) e^y$

$u_x + u_y = \varphi(x-y) e^y = u$ ✓

$u(x, 0) = \varphi(x) e^0 = \varphi(x)$ ✓

===== 2.5 首次积分 =====

==== 2.5.1 首次积分的定义 ====

**定义 2.4** 对于特征方程组：
$$\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b} = \frac{du}{c}$$

若函数 $\varphi(x, y, u)$ 沿特征曲线保持常数，即：
$$a \frac{\partial \varphi}{\partial x} + b \frac{\partial \varphi}{\partial y} + c \frac{\partial \varphi}{\partial u} = 0$$

则称 $\varphi$ 为该方程组的**首次积分**。

==== 2.5.2 利用首次积分求解 ====

**定理 2.3** 若 $\varphi_1(x, y, u) = C_1$ 和 $\varphi_2(x, y, u) = C_2$ 是两个独立的首次积分，则一阶偏微分方程的通解为：
$$\Phi(\varphi_1, \varphi_2) = 0$$

或写成 $u = f(\varphi)$ 的形式。

**例 2.4** 用首次积分法求解 $x u_x + y u_y = u$。

**解**：特征方程组为：
$$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = \frac{du}{u}$$

**求首次积分 1**：

由 $\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}$，积分得 $\ln|y| - \ln|x| = \ln|C_1|$，即 $\frac{y}{x} = C_1$

首次积分：$\varphi_1 = \frac{y}{x}$

**求首次积分 2**：

由 $\frac{dx}{x} = \frac{du}{u}$，积分得 $\ln|u| - \ln|x| = \ln|C_2|$，即 $\frac{u}{x} = C_2$

首次积分：$\varphi_2 = \frac{u}{x}$

**通解**：$\Phi\left(\frac{y}{x}, \frac{u}{x}\right) = 0$，或解出 $u$：
$$\frac{u}{x} = f\left(\frac{y}{x}\right) \Rightarrow u = x f\left(\frac{y}{x}\right)$$

与例 2.2 结果一致。

===== 2.6 拟线性一阶方程 =====

==== 2.6.1 拟线性方程的形式 ====

**定义 2.5** 一阶**拟线性**偏微分方程的形式为：

$$a(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y, u) \frac{\partial u}{\partial y} = c(x, y, u)$$

其中系数 $a, b, c$ 可以依赖于 $u$。

==== 2.6.2 求解方法 ====

拟线性方程可以通过**特征线法**求解，但特征方程现在是：

$$\frac{dx}{a(x, y, u)} = \frac{dy}{b(x, y, u)} = \frac{du}{c(x, y, u)}$$

这是一个关于三个变量的特征方程组。

**例 2.5 (Burgers方程)** 求解：
$$u_t + u u_x = 0, \quad u(x, 0) = \varphi(x)$$

**解**：特征方程组：
$$\frac{dt}{1} = \frac{dx}{u} = \frac{du}{0}$$

由 $\frac{du}{0}$ 知 $du = 0$，即 $u = C_1$（沿特征线 $u$ 为常数）

由 $\frac{dx}{dt} = u = C_1$，得 $x = C_1 t + C_2$

利用初值：当 $t = 0$ 时，$x = s$，$u = \varphi(s)$

故 $C_1 = \varphi(s)$，$C_2 = s$

因此：$x = \varphi(s) t + s$，$u = \varphi(s)$

**隐式解**：$u = \varphi(x - ut)$

**激波形成**：当 $\varphi'(s) < 0$ 时，不同特征线会相交，导致解产生间断（激波）。激波形成时间为：
$$t_s = \min_{s: \varphi'(s) < 0} \left(-\frac{1}{\varphi'(s)}\right)$$

===== 2.7 典型例题 =====

**例 2.6** 求解 $u_x - 2x u_y = 0$。

**解**：特征方程：$\frac{dx}{1} = \frac{dy}{-2x}$

即 $dy = -2x \, dx$，积分得 $y + x^2 = C$

令 $\xi = y + x^2$，$\eta = x$，则 $u_x = 2x u_\xi + u_\eta$，$u_y = u_\xi$

代入方程：$(2x u_\xi + u_\eta) - 2x u_\xi = u_\eta = 0$

故 $u$ 不依赖于 $\eta$，通解为：
$$u(x, y) = f(y + x^2)$$

---

**例 2.7** 求解 Cauchy 问题：
$$\begin{cases}
u_x + 2 u_y = 2u \\
u(s, s) = e^{3s}
\end{cases}$$

**解**：初值曲线：$x = s$，$y = s$，$u = e^{3s}$

特征方程组：$\frac{dx}{1} = \frac{dy}{2} = \frac{du}{2u}$

**步骤 1**：由 $\frac{dx}{1} = \frac{dy}{2}$，得 $y - 2x = C_1$

**步骤 2**：由 $\frac{dx}{1} = \frac{du}{2u}$，得 $\ln|u| - 2x = \ln|C_2|$，即 $u e^{-2x} = C_2$

**步骤 3**：利用初值确定关系

当 $x = s$，$y = s$ 时：$C_1 = s - 2s = -s$，$C_2 = e^{3s} e^{-2s} = e^s$

由 $C_1 = -s$ 得 $s = -C_1 = -(y - 2x) = 2x - y$

代入 $C_2$：$u e^{-2x} = e^{2x - y}$

因此：$u(x, y) = e^{2x - y} e^{2x} = e^{4x - y}$

---

**例 2.8** 用特征线法求解 $u_t + c u_x = \lambda u$（增长/衰减的输运方程）。

**解**：特征方程组：$\frac{dt}{1} = \frac{dx}{c} = \frac{du}{\lambda u}$

**首次积分 1**：$x - ct = C_1$

**首次积分 2**：$u e^{-\lambda t} = C_2$

通解：$u e^{-\lambda t} = f(x - ct)$，即 $u(x, t) = e^{\lambda t} f(x - ct)$

若初值为 $u(x, 0) = \varphi(x)$，则 $f(x) = \varphi(x)$

故解为：$u(x, t) = e^{\lambda t} \varphi(x - ct)$

**物理解释**：初始波形 $\varphi$ 以速度 $c$ 传播，同时按指数 $e^{\lambda t}$ 增长（若 $\lambda > 0$）或衰减（若 $\lambda < 0$）。

===== 2.8 习题 =====

**一、基础练习**

1. 求下列方程的通解：
   (a) $3 u_x + 2 u_y = 0$
   (b) $u_x - u_y = u$
   (c) $x u_x + y u_y = 2u$
   (d) $y u_x - x u_y = 0$

2. 用特征线法求解下列 Cauchy 问题：
   (a) $u_x + u_y = 0$，$u(x, 0) = \sin x$
   (b) $u_x + 2 u_y = u$，$u(0, y) = y^2$
   (c) $x u_x + y u_y = 0$，$u(x, 1) = x$

**二、首次积分**

3. 用首次积分法求解：
   (a) $x u_x + 2y u_y = 3u$
   (b) $(y - u) u_x + (u - x) u_y = x - y$
   (c) $u_x + u_y + u_z = u$

4. 证明：若 $\varphi(x, y, u) = C$ 是特征方程组的首次积分，则 $\Phi(\varphi)$ 也是首次积分（$\Phi$ 是任意可微函数）。

**三、拟线性方程**

5. 求解 Burgers 方程 $u_t + u u_x = 0$，初值为：
   (a) $\varphi(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$（稀疏波）
   (b) $\varphi(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$（激波）

6. 求下列拟线性方程的通解：
   (a) $u u_x + u_y = 1$
   (b) $u_x + u u_y = u$

**四、综合题**

7. 设 $u(x, y)$ 满足 $a u_x + b u_y = 0$（$a, b$ 为常数，$a^2 + b^2 \neq 0$）。证明 $u$ 沿直线 $bx - ay = C$ 为常数。

8. 考虑方程 $u_t + c(x, t) u_x = 0$，其中 $c(x, t)$ 是已知函数。推导特征曲线满足的方程，并讨论解的结构。

9. **守恒律方程**：考虑 $u_t + f(u)_x = 0$。
   (a) 当 $f(u) = \frac{u^2}{2}$ 时，验证这是 Burgers 方程
   (b) 推导 Rankine-Hugoniot 跳跃条件
   (c) 讨论熵条件的意义

**五、思考题**

10. 比较一阶偏微分方程与一阶常微分方程的相似点和不同点。为什么一阶偏微分方程的通解包含任意函数，而非常微分方程只包含任意常数？

11. 研究 eikonal 方程 $|\nabla u|^2 = 1$。这是一阶非线性方程，讨论如何用特征线法（特征线法可推广到完全非线性方程）求解。

===== 本章小结 =====

  * 一阶线性偏微分方程的特征方程为 $\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b}$
  * 沿特征曲线，方程化为常微分方程
  * Cauchy 问题需要给定初值曲线上的函数值
  * 首次积分 $\varphi(x, y, u) = C$ 将偏微分方程转化为代数关系
  * 拟线性方程的特征线依赖于解本身

===== 延伸阅读 =====

  * Courant, R. and Hilbert, D., "Methods of Mathematical Physics", Vol. 2, Chapter 2.
  * Evans, L.C., "Partial Differential Equations", Chapter 3.