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====== 第十五章 非线性偏微分方程 ======

===== 15.1 非线性方程的分类 =====

**拟线性**：最高阶导数线性出现，系数依赖于低阶导数

例：$-\Delta u = f(u, \nabla u)$

**完全非线性**：最高阶导数非线性出现

例：$\det(D^2u) = f$（Monge-Ampère方程）

===== 15.2 半线性椭圆方程 =====

**形式**：$-\Delta u = f(u)$，$x \in \Omega$，$u|_{\partial\Omega} = 0$

**例15.1**：$-\Delta u = u^p$，$p > 1$

  - **次临界**（$p < \frac{n+2}{n-2}$）：存在正解
  - **临界**（$p = \frac{n+2}{n-2}$）：与Sobolev嵌入临界指数相关
  - **超临界**：解可能不存在或爆破

**方法**：变分法、先验估计、上-下解方法。

===== 15.3 Hamilton-Jacobi方程 =====

**形式**：$u_t + H(x, \nabla u) = 0$

**粘性解**（Crandall-Lions）：

由于解可能产生奇性（梯度爆破），引入弱解概念。

$u$ 是粘性解，若对所有光滑检验函数 $\varphi$：
  - 若 $u-\varphi$ 在 $x_0$ 取极大，则 $\varphi_t + H(x_0, \nabla\varphi) \geq 0$
  - 若 $u-\varphi$ 在 $x_0$ 取极小，则 $\varphi_t + H(x_0, \nabla\varphi) \leq 0$

===== 15.4 反应-扩散方程 =====

**形式**：$u_t = D\Delta u + f(u)$

**例15.2（Fisher-KPP方程）**：$f(u) = u(1-u)$

  - 行波解：$u(x,t) = \phi(x-ct)$，$\phi(-\infty)=1$，$\phi(+\infty)=0$
  - 最小波速 $c^* = 2\sqrt{Df'(0)}$

**图灵不稳定性**：扩散导致不稳定性的反直觉现象。

===== 15.5 非线性波动方程 =====

**形式**：$u_{tt} - \Delta u + f(u) = 0$

**例15.3（非线性Klein-Gordon）**：$f(u) = m^2u + \lambda u^3$

**小初值整体存在**：$n \geq 4$ 时，小初值解整体存在。

**爆破现象**：$f(u) = |u|^p$，大初值解可能在有限时间爆破。

===== 15.6 不可压缩Navier-Stokes方程 =====

$$\begin{cases}\partial_t u + (u\cdot\nabla)u - \nu\Delta u + \nabla p = f \\ \nabla\cdot u = 0\end{cases}$$

**二维**：解整体存在唯一（经典结果）。

**三维**：弱解存在（Leray-Hopf），唯一性与正则性是千年难题。

===== 15.7 KdV方程与可积系统 =====

**KdV方程**：$u_t + 6uu_x + u_{xxx} = 0$

**孤立波解**：$u(x,t) = 2a^2\text{sech}^2(a(x-4a^2t))$

**可积性**：
  - 无穷多守恒律
  - Lax对表示
  - 逆散射变换求解

===== 15.8 习题 =====

**习题15.1**：用变分法证明 $-\Delta u = u^3$，$u|_{\partial\Omega}=0$ 在 $n \leq 3$ 时存在正解。

**习题15.2**：验证Fisher方程的行波解满足ODE并分析波速条件。

**习题15.3**：证明粘性解的唯一性（一维情形）。

**习题15.4**：分析非线性Schrödinger方程 $iu_t + \Delta u + |u|^2u = 0$ 的守恒量。

**习题15.5**：用能量估计证明三维Navier-Stokes弱解满足能量不等式。

**习题15.6**：验证KdV孤立波解并计算其能量、动量守恒量。

**习题15.7**：对于Burgers方程 $u_t + uu_x = \nu u_{xx}$，用Cole-Hopf变换求显式解。