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====== 第十四章 高阶偏微分方程 ======

===== 14.1 双调和方程 =====

**定义14.1.1（双调和算子）**

$$\Delta^2 u = \Delta(\Delta u) = \sum_{i,j}\frac{\partial^4 u}{\partial x_i^2 \partial x_j^2}$$

**双调和方程**：$\Delta^2 u = 0$ 或 $-\Delta^2 u = f$

**物理背景**：
  - 薄板弯曲理论（Kirchhoff板方程）
  - Stokes流
  - 线弹性力学中的Airy应力函数

**基本解**（二维）：
$$\Phi(x) = \frac{1}{8\pi}|x|^2\ln|x|$$

**基本解**（三维）：
$$\Phi(x) = \frac{|x|}{8\pi}$$

===== 14.2 板的弯曲方程 =====

**Kirchhoff薄板理论**：

横向挠度 $w(x,y)$ 满足：
$$D\Delta^2 w = q(x,y)$$

其中 $D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}$ 为弯曲刚度，$E$ 弹性模量，$h$ 板厚，$\nu$ 泊松比，$q$ 横向载荷。

**边界条件**：
  - **固支边**：$w = \frac{\partial w}{\partial n} = 0$
  - **简支边**：$w = M_n = 0$（$M_n$ 为弯矩）
  - **自由边**：$M_n = V_n = 0$（$V_n$ 为等效剪力）

===== 14.3 Airy应力函数 =====

**平面弹性问题**：

应力分量表示为：
$$\sigma_x = \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2}, \quad \sigma_y = \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}, \quad \tau_{xy} = -\frac{\partial^2\Phi}{\partial x \partial y}$$

相容性方程给出：$\Delta^2\Phi = 0$（无体力情形）

===== 14.4 四阶椭圆方程的一般理论 =====

**一般形式**：
$$\sum_{|\alpha| = |\beta| = 2} \partial^\alpha(a_{\alpha\beta}\partial^\beta u) = f$$

**Gårding不等式**：若算子一致强椭圆，则存在 $\lambda \geq 0, c > 0$：
$$a(u,u) + \lambda\|u\|_{L^2}^2 \geq c\|u\|_{H^2}^2$$

===== 14.5 高阶发展方程 =====

**14.5.1 Cahn-Hilliard方程**

$$u_t + \Delta(\varepsilon^2\Delta u - f(u)) = 0$$

描述相分离过程，具有守恒律 $\int u dx = \text{const}$。

**14.5.2 Kuramoto-Sivashinsky方程**

$$u_t + uu_x + u_{xx} + u_{xxxx} = 0$$

描述火焰传播、流体不稳定性。

===== 14.6 弹性力学方程组 =====

**Navier方程**（位移形式）：
$$-\mu\Delta\mathbf{u} - (\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) = \mathbf{f}$$

或分量形式：
$$-\mu u_{i,jj} - (\lambda+\mu)u_{j,ji} = f_i$$

**椭圆性**：强椭圆系统，有唯一解。

===== 14.7 习题 =====

**习题14.1**：验证 $\Delta^2(|x|^2\ln|x|) = 0$（二维，$x \neq 0$）。

**习题14.2**：求圆板固支边在均布载荷下的挠度（双调和方程边值问题）。

**习题14.3**：证明双调和算子的Green第一恒等式。

**习题14.4**：对于 $-\Delta^2 u = f$，$u \in H_0^2(\Omega)$，用Lax-Milgram定理证明解的存在唯一性。

**习题14.5**：证明弹性力学Navier方程的椭圆性。

**习题14.6**：分析Cahn-Hilliard方程的质量守恒性质。