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====== 第十章 特征线法与守恒律 ======

===== 10.1 一阶偏微分方程 =====

**一般形式**：$a(x,y,u)u_x + b(x,y,u)u_y = c(x,y,u)$

**特征方程**：
$$\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b} = \frac{du}{c}$$

或写成ODE系统：
$$\frac{dx}{dt} = a, \quad \frac{dy}{dt} = b, \quad \frac{du}{dt} = c$$

===== 10.2 线性一阶方程 =====

**问题**：$a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = c(x,y)$

**特征曲线**：$\frac{dx}{a} = \frac{dy}{b}$，即 $\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a}$

沿特征曲线，$u$ 满足 $\frac{du}{dx} = \frac{c}{a}$。

**例10.1**：$u_x + u_y = 0$，$u(x,0) = \sin x$

特征线：$y = x + c$，即 $x - y = \text{const}$

解：$u = f(x-y)$，由初值 $f(x) = \sin x$，故 $u = \sin(x-y)$。

===== 10.3 拟线性方程与激波 =====

**Burgers方程**：$u_t + uu_x = 0$

特征线：$\frac{dx}{dt} = u$，沿特征线 $u = \text{const}$

特征线为直线 $x = ut + x_0$。

**激波形成**：当初值递减时，特征线相交，形成激波（shock）。

===== 10.4 守恒律 =====

**一般形式**：$u_t + f(u)_x = 0$，即 $u_t + a(u)u_x = 0$，$a(u) = f'(u)$

**弱解**：在激波处经典解不存在，引入弱解概念。

**Rankine-Hugoniot条件**：激波速度
$$s = \frac{f(u_r) - f(u_l)}{u_r - u_l}$$

其中 $u_l, u_r$ 为激波左右状态。

**熵条件（Lax条件）**：$a(u_l) > s > a(u_r)$

===== 10.5 一维气体动力学 =====

**Euler方程**：
$$\begin{cases}\rho_t + (\rho v)_x = 0 \\ (\rho v)_t + (\rho v^2 + p)_x = 0 \\ E_t + [(E+p)v]_x = 0\end{cases}$$

**特征分析**：三族特征波（左声波、接触间断、右声波）

===== 10.6 双曲系统的特征线法 =====

**严格双曲系统**：$\mathbf{u}_t + A(\mathbf{u})\mathbf{u}_x = 0$，$A$ 有 $n$ 个互异实特征值 $\lambda_1 < \cdots < \lambda_n$。

**Riemann不变量**：沿第 $k$ 族特征线 $\frac{dx}{dt} = \lambda_k$ 保持不变的量。

===== 10.7 习题 =====

**习题10.1**：用特征线法求解 $u_t + cu_x = 0$，$u(x,0) = \varphi(x)$。

**习题10.2**：求解 $xu_x + yu_y = u$，$u(x,1) = x^2$。

**习题10.3**：分析Burgers方程 $u_t + uu_x = 0$，初值 $u(x,0) = \begin{cases}1, & x < 0 \\ 1-x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & x > 1\end{cases}$ 的激波形成。

**习题10.4**：推导Lax熵条件 $a(u_l) > s > a(u_r)$。

**习题10.5**：求解初值问题 $u_t + (u^2)_x = 0$，$u(x,0) = \begin{cases}1, & x < 0 \\ 0, & x > 0\end{cases}$。

**习题10.6**：对于线性双曲系统 $\mathbf{u}_t + A\mathbf{u}_x = 0$（$A$ 常数对称矩阵），用特征线法求解。