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====== 第二章 土的物理性质指标 ======

土的物理性质指标是表征土的三相组成比例关系的物理量，是土力学计算和工程分类的基础。

===== 2.1 基本物理性质指标 =====

==== 2.1.1 土粒比重Gs ====

土粒比重（土粒相对密度）是指土粒在105~110℃下烘至恒重时的质量与同体积4℃时纯水质量的比值。

$$G_s = \frac{m_s}{V_s \cdot \rho_w} = \frac{\rho_s}{\rho_w}$$

式中：
- mₛ — 土粒质量(g)
- Vₛ — 土粒体积(cm³)
- ρₛ — 土粒密度(g/cm³)
- ρᵥ — 4℃时纯水密度，等于1 g/cm³

**常见土粒比重参考值**：
| 土类 | 土粒比重Gs |
|-----|-----------|
| 砂土 | 2.65~2.69 |
| 粉土 | 2.70~2.71 |
| 粘性土 | 2.72~2.74 |
| 有机质土 | 2.40~2.50 |

**测定方法**：比重瓶法

==== 2.1.2 含水量w ====

含水量是指土中水的质量与土粒质量之比，用百分数表示。

$$w = \frac{m_w}{m_s} \times 100\%$$

式中：
- mᵥ — 水的质量(g)
- mₛ — 土粒质量(g)

**天然土的含水量范围**：
- 砂土：0~40%
- 粘性土：20%~100%（液限可达100%以上）
- 泥炭土：可达100%~300%

**测定方法**：烘干法（标准方法）

==== 2.1.3 密度ρ与重度γ ====

**天然密度ρ**

天然密度是指土在天然状态下单位体积的质量。

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{m_s + m_w}{V_s + V_w + V_a}$$

式中：
- m — 土的总质量(g)
- V — 土的总体积(cm³)
- Vᵥ — 水的体积(cm³)
- Vₐ — 空气的体积(cm³)

天然密度的常见范围：
- 砂土：1.6~2.0 g/cm³
- 粘性土：1.8~2.0 g/cm³

**干密度ρd**

干密度是指土单位体积中土粒的质量。

$$\rho_d = \frac{m_s}{V}$$

**饱和密度ρsat**

饱和密度是指土孔隙中全部充满水时的密度。

$$\rho_{sat} = \frac{m_s + V_v \cdot \rho_w}{V}$$

**浮密度ρ'**

浮密度（有效密度）是指土在地下水位以下，扣除水的浮力后单位体积的质量。

$$\rho' = \rho_{sat} - \rho_w$$

**重度γ**

重度（容重）是指单位体积土的重量。

$$\gamma = \rho \cdot g$$

式中g为重力加速度，取9.81 m/s²或近似取10 m/s²。

相应的有：
- 天然重度γ
- 干重度γd = ρd · g
- 饱和重度γsat = ρsat · g
- 浮重度γ' = γsat - γw

===== 2.2 反映土孔隙性的指标 =====

==== 2.2.1 孔隙比e ====

孔隙比是指土中孔隙体积与土粒体积之比。

$$e = \frac{V_v}{V_s} = \frac{V_a + V_w}{V_s}$$

**常见土的孔隙比范围**：
| 土类 | 孔隙比e |
|-----|--------|
| 砾石、卵石 | 0.20~0.60 |
| 砂土 | 0.40~0.90 |
| 粉土 | 0.50~1.00 |
| 粘性土 | 0.60~1.50 |
| 泥炭土 | 3.00~10.00 |

==== 2.2.2 孔隙率n ====

孔隙率是指土中孔隙体积与土的总体积之比，用百分数表示。

$$n = \frac{V_v}{V} \times 100\% = \frac{e}{1+e} \times 100\%$$

孔隙比与孔隙率的换算关系：
$$e = \frac{n}{1-n}$$

==== 2.2.3 饱和度Sr ====

饱和度是指土中水的体积与孔隙体积之比，用百分数表示。

$$S_r = \frac{V_w}{V_v} \times 100\% = \frac{V_w}{V_a + V_w} \times 100\%$$

**饱和度分级**：
- Sᵣ = 0：干土
- 0 < Sᵣ ≤ 0.5：稍湿
- 0.5 < Sᵣ ≤ 0.8：很湿
- 0.8 < Sᵣ < 1.0：饱和
- Sᵣ = 1.0：完全饱和

===== 2.3 指标间的换算关系 =====

==== 2.3.1 基本公式推导 ====

设土粒体积Vₛ = 1，则孔隙体积Vᵥ = e，总体积V = 1 + e。

**三相草图**：
```
        气相(Va)        |
                       |
    ———————————————————| Vv = e
        液相(Vw)        |
    ———————————————————|
        固相(Vs=1)      |
    ————————————————————
```

根据定义：
- 土粒质量：mₛ = Gₛ·ρᵥ·Vₛ = Gₛ·ρᵥ
- 水的质量：mᵥ = w·mₛ = w·Gₛ·ρᵥ
- 水的体积：Vᵥ = mᵥ/ρᵥ = w·Gₛ

由饱和度定义：
$$S_r = \frac{V_w}{V_v} = \frac{wG_s}{e}$$

因此得到**基本换算公式**：
$$e = \frac{wG_s}{S_r}$$

或
$$S_r = \frac{wG_s}{e}$$

==== 2.3.2 常用换算公式 =====

**由基本试验指标求其他指标**：

已知：Gₛ、w、ρ（天然密度）

| 待求指标 | 计算公式 |
|---------|---------|
| 孔隙比e | $e = \frac{G_s(1+w)\rho_w}{\rho} - 1$ |
| 孔隙率n | $n = \frac{e}{1+e}$ |
| 饱和度Sᵣ | $S_r = \frac{wG_s}{e}$ |
| 干密度ρd | $\rho_d = \frac{\rho}{1+w} = \frac{G_s\rho_w}{1+e}$ |
| 饱和密度ρsat | $\rho_{sat} = \frac{(G_s+e)\rho_w}{1+e}$ |
| 浮密度ρ' | $\rho' = \frac{(G_s-1)\rho_w}{1+e}$ |

===== 2.4 粘性土的物理特征 =====

粘性土的状态随含水量的变化而变化，这种变化反映了土中弱结合水膜的厚度变化。

==== 2.4.1 界限含水量 ====

界限含水量是指粘性土从一种状态转变为另一种状态时的含水量。

**液限wL（液性界限）**

液限是指粘性土从塑性状态转变为流动状态时的界限含水量。此时土中弱结合水膜厚度达到最大，土粒之间几乎可以自由滑动。

测定方法：锥式液限仪法或碟式液限仪法

**塑限wP（塑性界限）**

塑限是指粘性土从半固体状态转变为塑性状态时的界限含水量。此时土中弱结合水膜达到最大厚度，土粒之间开始出现联结。

测定方法：搓条法

**缩限wS**

缩限是指粘性土从半固体状态转变为固体状态时的界限含水量。此时土的体积不再随含水量降低而减小。

==== 2.4.2 塑性指数Ip ====

塑性指数是指液限与塑限之差，表示土处于塑性状态的含水量范围。

$$I_p = w_L - w_P$$

塑性指数反映了土中粘粒含量的多少和粘土矿物的亲水性强弱。Ip越大，土的粘粒含量越高，可塑性越强。

**按塑性指数分类**：
| 土类 | 塑性指数Ip |
|-----|-----------|
| 粘土 | Ip > 17 |
| 粉质粘土 | 10 < Ip ≤ 17 |
| 粉土 | Ip ≤ 10 |

==== 2.4.3 液性指数IL ====

液性指数是指粘性土的天然含水量与塑限之差除以塑性指数，表示土在塑性范围内所处的相对位置。

$$I_L = \frac{w - w_P}{I_p} = \frac{w - w_P}{w_L - w_P}$$

**液性指数与土的软硬状态**：

| 液性指数IL | 状态 |
|-----------|------|
| IL ≤ 0 | 坚硬 |
| 0 < IL ≤ 0.25 | 硬塑 |
| 0.25 < IL ≤ 0.75 | 可塑 |
| 0.75 < IL ≤ 1.0 | 软塑 |
| IL > 1.0 | 流塑 |

===== 2.5 无粘性土的密实度 =====

无粘性土（砂土、碎石土）的物理状态主要用密实度来表征。

==== 2.5.1 相对密实度Dr ====

相对密实度是评价砂土密实程度的指标。

$$D_r = \frac{e_{max} - e}{e_{max} - e_{min}}$$

式中：
- eₘₐₓ — 最大孔隙比（最疏松状态）
- eₘᵢₙ — 最小孔隙比（最密实状态）
- e — 天然孔隙比

**密实度分级**：
| 相对密实度Dr | 密实程度 |
|-------------|---------|
| 0 < Dr ≤ 0.33 | 疏松 |
| 0.33 < Dr ≤ 0.67 | 中密 |
| 0.67 < Dr ≤ 1.0 | 密实 |

==== 2.5.2 标准贯入试验N值 ====

由于测定eₘₐₓ和eₘᵢₙ存在困难，工程中常用标准贯入试验锤击数N来评价砂土的密实度。

**按N值划分砂土密实度**：
| 标准贯入锤击数N | 密实度 |
|----------------|-------|
| N ≤ 10 | 松散 |
| 10 < N ≤ 15 | 稍密 |
| 15 < N ≤ 30 | 中密 |
| N > 30 | 密实 |

===== 本章例题 =====

**例题2-1** 某原状土样的试验结果如下：湿土质量m=180g，烘干后质量mₛ=135g，土粒比重Gₛ=2.70，土样体积V=100cm³。求该土的含水量w、天然密度ρ、干密度ρd、孔隙比e、孔隙率n和饱和度Sᵣ。

**解**：

(1) 含水量：
$$w = \frac{m_w}{m_s} = \frac{180-135}{135} = \frac{45}{135} = 33.3\%$$

(2) 天然密度：
$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{180}{100} = 1.80 \text{ g/cm}^3$$

(3) 干密度：
$$\rho_d = \frac{m_s}{V} = \frac{135}{100} = 1.35 \text{ g/cm}^3$$
或
$$\rho_d = \frac{\rho}{1+w} = \frac{1.80}{1+0.333} = 1.35 \text{ g/cm}^3$$

(4) 孔隙比：
$$e = \frac{G_s \rho_w}{\rho_d} - 1 = \frac{2.70 \times 1.0}{1.35} - 1 = 2.0 - 1 = 1.0$$

(5) 孔隙率：
$$n = \frac{e}{1+e} = \frac{1.0}{2.0} = 0.50 = 50\%$$

(6) 饱和度：
$$S_r = \frac{w G_s}{e} = \frac{0.333 \times 2.70}{1.0} = 0.90 = 90\%$$

**例题2-2** 某粘性土的液限wL=42%，塑限wP=20%，天然含水量w=30%。求该土的塑性指数Ip和液性指数IL，并判断土的状态。

**解**：

(1) 塑性指数：
$$I_p = w_L - w_P = 42\% - 20\% = 22\%$$

由于Ip=22%>17%，该土为粘土。

(2) 液性指数：
$$I_L = \frac{w - w_P}{I_p} = \frac{30\% - 20\%}{22\%} = \frac{10}{22} = 0.45$$

由于0.25 < IL=0.45 ≤ 0.75，该土处于可塑状态。

**例题2-3** 某砂土的天然孔隙比e=0.65，最大孔隙比emax=0.85，最小孔隙比emin=0.50。求该砂土的相对密实度Dr，并判断其密实程度。

**解**：

$$D_r = \frac{e_{max} - e}{e_{max} - e_{min}} = \frac{0.85 - 0.65}{0.85 - 0.50} = \frac{0.20}{0.35} = 0.57$$

由于0.33 < Dr=0.57 ≤ 0.67，该砂土处于中密状态。

===== 本章习题 =====

1. 已知某土样的体积V=60cm³，湿土质量m=114g，烘干后质量ms=95g，土粒比重Gs=2.68。求含水量w、天然密度ρ、干密度ρd、孔隙比e、孔隙率n和饱和度Sr。

2. 某饱和粘土的天然含水量w=38%，土粒比重Gs=2.72。求该土的孔隙比e、孔隙率n、干密度ρd和饱和密度ρsat。

3. 某粘性土的液限wL=45%，塑限wP=22%，天然含水量w=35%。求塑性指数Ip和液性指数IL，判断土的类型和软硬状态。

4. 证明：$\rho_{sat} = \rho_d + n \cdot \rho_w$

5. 某砂土的天然密度ρ=1.75g/cm³，含水量w=12%，土粒比重Gs=2.65。求孔隙比e、饱和度Sr和干密度ρd。若该砂土的emax=0.80，emin=0.50，判断其密实程度。

6. 某原状土样湿密度ρ=1.85g/cm³，含水量w=25%，土粒比重Gs=2.70。求：
   (1) 孔隙比e和饱和度Sr；
   (2) 当土样完全饱和时的含水量和密度。

7. 某粘性土在不同含水量下的圆锥下沉深度如下表所示，试用插值法求该土的液限（对应下沉10mm时的含水量）。

| 含水量w(%) | 20 | 25 | 30 | 35 |
|-----------|----|----|----|----|
| 下沉深度h(mm) | 4 | 7 | 11 | 16 |

8. 解释为什么粘性土具有可塑性而砂土不具有可塑性。

---
*本章完*