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====== 第十五章 地基承载力 ======

===== 15.1 引言 =====

地基承载力是指地基土单位面积上承受荷载的能力。确定地基承载力是地基基础设计中的关键问题，直接关系到建筑物的安全和正常使用。本章介绍地基承载力的基本概念、临塑荷载和极限荷载的计算方法，以及地基承载力的确定方法。

===== 15.2 地基的破坏形式 =====

==== 15.2.1 整体剪切破坏 ====

整体剪切破坏一般发生在密实砂土或坚硬粘土等密实地基中，其特征是：

1. 地基中形成连续的滑动面，滑动面贯穿至地面
2. 基础两侧土体明显隆起
3. 破坏时沉降急剧增加，具有明显的失稳特征
4. 荷载-沉降曲线有明显的转折点

整体剪切破坏是脆性破坏，危害大，设计中应避免。

==== 15.2.2 局部剪切破坏 ====

局部剪切破坏发生在中等密实砂土或中等硬度粘土中，其特征是：

1. 滑动面仅发展到一定深度，不延伸至地面
2. 基础两侧土体有轻微隆起
3. 荷载-沉降曲线无明显转折点，沉降随荷载持续增加
4. 破坏前有一定预兆

==== 15.2.3 冲剪破坏 ====

冲剪破坏发生在松散砂土或软粘土中，其特征是：

1. 基础周围土体无隆起
2. 基础"切入"土中，似针刺入土体
3. 荷载-沉降曲线呈陡降型
4. 破坏突然，无明显预兆

===== 15.3 临塑荷载 =====

==== 15.3.1 临塑荷载的概念 ====

临塑荷载（$p_{cr}$）是指地基中即将出现塑性区时的基底压力，即地基由弹性变形阶段进入弹塑性变形阶段的临界荷载。

当基底压力$p < p_{cr}$时，地基处于弹性阶段；
当$p = p_{cr}$时，地基边缘开始出现塑性区；
当$p > p_{cr}$时，塑性区逐渐扩大。

==== 15.3.2 临塑荷载的计算公式 ====

根据弹性理论和莫尔-库仑强度准则，均布条形荷载作用下地基的临塑荷载公式为：

$$p_{cr} = \frac{\pi(\gamma_0 d + c \cdot \cot\varphi)}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2} + \gamma_0 d$$

或表示为：

$$p_{cr} = N_q \cdot \gamma_0 d + N_c \cdot c$$

其中：
- $N_q = \frac{\pi}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2} + 1$
- $N_c = \frac{\pi \cot\varphi}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2}$
- $\gamma_0$为基础埋深范围内土的加权平均重度
- $d$为基础埋深
- $c$、$\varphi$为地基土的粘聚力和内摩擦角

**临塑荷载系数表：**

| $\varphi$ (°) | $N_q$ | $N_c$ |
|-------------|-------|-------|
| 0 | 1.00 | 3.14 |
| 5 | 1.43 | 3.62 |
| 10 | 1.73 | 4.17 |
| 15 | 2.06 | 4.83 |
| 20 | 2.44 | 5.65 |
| 25 | 2.88 | 6.68 |
| 30 | 3.42 | 8.00 |
| 35 | 4.11 | 9.77 |
| 40 | 5.00 | 12.15 |

==== 15.3.3 临界荷载 ====

工程实践中，允许地基中有一定范围的塑性区。定义塑性区开展深度为基础宽度的1/4时的荷载为临界荷载$p_{1/4}$：

$$p_{1/4} = \frac{\pi(\gamma_0 d + c \cdot \cot\varphi + \gamma b/4)}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2} + \gamma_0 d$$

或：

$$p_{1/4} = N_q \cdot \gamma_0 d + N_c \cdot c + N_\gamma \cdot \gamma b$$

其中：$N_\gamma = \frac{\pi}{4(\cot\varphi + \varphi - \pi/2)}$

同理，$p_{1/3}$表示塑性区深度为$b/3$时的临界荷载。

===== 15.4 极限荷载 =====

==== 15.4.1 极限荷载的概念 ====

极限荷载（$p_u$）是指地基发生整体剪切破坏时的最小基底压力，即地基所能承受的极限承载能力。

==== 15.4.2 普朗特尔极限承载力公式 ====

普朗特尔(Prandtl)于1920年根据塑性理论推导了刚性基础压入无重量土中的极限承载力公式。

假设条件：
1. 土无重量($\gamma = 0$)
2. 基础底面光滑
3. 浅基础($d < b$)

$$p_u = c N_c + q N_q$$

其中：$q = \gamma_0 d$为旁侧荷载，$N_c$、$N_q$为承载力系数。

**普朗特尔承载力系数：**

$$N_q = \tan^2\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right) \cdot e^{\pi \tan\varphi}$$

$$N_c = (N_q - 1) \cdot \cot\varphi$$

对于$\varphi = 0$的饱和粘土：$N_c = 5.14$，$N_q = 1.0$

==== 15.4.3 太沙基极限承载力公式 ====

太沙基(Terzaghi)于1943年考虑了土体重度的影响，提出了更完善的承载力公式。

假设条件：
1. 基础底面粗糙
2. 考虑土体重度
3. 条形基础

$$p_u = \frac{1}{2} \gamma b N_\gamma + c N_c + q N_q$$

**太沙基承载力系数（近似公式）：**

对于$\varphi = 0$：$N_c = 5.7$，$N_q = 1.0$，$N_\gamma = 0$

对于$\varphi > 0$：

$$N_q = \frac{e^{(3\pi/2 - \varphi/2)\tan\varphi}}{2\cos^2(45° + \varphi/2)}$$

$$N_c = (N_q - 1)\cot\varphi$$

$$N_\gamma = \frac{\tan\varphi}{2}\left(\frac{K_{p\gamma}}{\cos^2\varphi} - 1\right)$$

其中$K_{p\gamma}$为被动土压力系数。

**太沙基承载力系数表：**

| $\varphi$ (°) | $N_c$ | $N_q$ | $N_\gamma$ |
|-------------|-------|-------|-----------|
| 0 | 5.7 | 1.0 | 0 |
| 5 | 7.3 | 1.6 | 0.5 |
| 10 | 9.6 | 2.7 | 1.2 |
| 15 | 12.9 | 4.4 | 2.5 |
| 20 | 17.7 | 7.4 | 5.0 |
| 25 | 25.1 | 12.7 | 9.7 |
| 30 | 37.2 | 22.5 | 19.7 |
| 35 | 57.8 | 41.4 | 42.4 |
| 40 | 95.7 | 81.3 | 100.4 |
| 45 | 172.3 | 173.3 | 297.5 |

==== 15.4.4 汉森极限承载力公式 ====

汉森(Hansen)于1970年提出了考虑基础形状、荷载倾斜、地面倾斜、基底倾斜等因素的修正公式：

$$p_u = \frac{1}{2} \gamma b N_\gamma s_\gamma d_\gamma i_\gamma g_\gamma b_\gamma + c N_c s_c d_c i_c g_c b_c + q N_q s_q d_q i_q g_q b_q$$

其中：
- $s$为基础形状修正系数
- $d$为基础深度修正系数
- $i$为荷载倾斜修正系数
- $g$为地面倾斜修正系数
- $b$为基底倾斜修正系数

**形状修正系数：**
- 条形基础：$s_c = s_q = s_\gamma = 1.0$
- 矩形基础：$s_c = 1 + \frac{b}{l} \cdot \frac{N_q}{N_c}$，$s_q = 1 + \frac{b}{l}\tan\varphi$，$s_\gamma = 1 - 0.4\frac{b}{l}$
- 圆形/方形基础：$s_c = 1 + \frac{N_q}{N_c}$，$s_q = 1 + \tan\varphi$，$s_\gamma = 0.6$

==== 15.4.5 魏锡克极限承载力公式 ====

魏锡克(Vesic)提出的公式与汉森公式形式类似，但承载力系数$N_\gamma$的计算方法不同：

$$N_\gamma = 2(N_q + 1)\tan\varphi$$

===== 15.5 地基承载力特征值的确定 =====

==== 15.5.1 按理论公式计算 ====

地基承载力特征值$f_a$可根据极限承载力除以安全系数确定：

$$f_a = \frac{p_u}{K}$$

一般取安全系数$K = 2 \sim 3$。

或采用临界荷载$p_{1/4}$作为承载力特征值。

==== 15.5.2 按规范公式计算 ====

《建筑地基基础设计规范》(GB 50007)给出的地基承载力特征值计算公式：

$$f_a = M_b \gamma b + M_d \gamma_m d + M_c c_k$$

其中：
- $M_b$、$M_d$、$M_c$为承载力系数，根据土的内摩擦角标准值$\varphi_k$确定
- $\gamma$为基础底面以下土的重度
- $b$为基础底面宽度（大于6m按6m取值，砂土小于3m按3m取值）
- $\gamma_m$为基础底面以上土的加权平均重度
- $d$为基础埋置深度
- $c_k$为粘聚力标准值

**规范承载力系数表：**

| $\varphi_k$ (°) | $M_b$ | $M_d$ | $M_c$ |
|---------------|-------|-------|-------|
| 0 | 0 | 1.00 | 3.14 |
| 2 | 0.03 | 1.12 | 3.32 |
| 4 | 0.06 | 1.25 | 3.51 |
| 6 | 0.10 | 1.39 | 3.71 |
| 8 | 0.14 | 1.55 | 3.93 |
| 10 | 0.18 | 1.73 | 4.17 |
| 12 | 0.23 | 1.94 | 4.42 |
| 14 | 0.29 | 2.17 | 4.69 |
| 16 | 0.36 | 2.43 | 5.00 |
| 18 | 0.43 | 2.72 | 5.31 |
| 20 | 0.51 | 3.06 | 5.66 |
| 22 | 0.61 | 3.44 | 6.04 |
| 24 | 0.80 | 3.87 | 6.45 |
| 26 | 1.10 | 4.37 | 6.90 |
| 28 | 1.40 | 4.93 | 7.40 |
| 30 | 1.90 | 5.59 | 7.95 |
| 32 | 2.60 | 6.35 | 8.55 |
| 34 | 3.40 | 7.21 | 9.22 |
| 36 | 4.20 | 8.25 | 9.97 |
| 38 | 5.00 | 9.44 | 10.80 |
| 40 | 5.80 | 10.84 | 11.73 |

==== 15.5.3 按载荷试验确定 ====

载荷试验是确定地基承载力最可靠的方法。

**试验要点：**
1. 承压板面积：一般0.25~0.50m²（软土不小于0.50m²）
2. 加载分级：不少于8级，最大加载量不小于设计要求的2倍
3. 沉降观测：每级加载后按时间间隔测读沉降
4. 稳定标准：连续两小时内每小时沉降小于0.1mm

**承载力特征值确定：**

1. **强度控制法**：当$p-s$曲线有明显比例界限时，取比例界限对应的荷载值；当极限荷载小于比例界限的2倍时，取极限荷载的一半。

2. **相对变形控制法**：当$p-s$曲线为缓变型时，对浅层平板载荷试验，取$s/b = 0.01 \sim 0.015$对应的荷载，但不大于最大加载量的一半。

==== 15.5.4 按原位测试确定 ====

**1. 静力触探试验(CPT)**

根据比贯入阻力$p_s$估算承载力：

$$f_a = 24.8 + 0.54p_s \quad (kPa)$$

**2. 标准贯入试验(SPT)**

根据标贯击数$N_{63.5}$估算承载力：

对砂土：$f_a = (20 \sim 30)N_{63.5}$ (kPa)

对粘性土：$f_a = 30 + 10N_{63.5}$ (kPa)

**3. 旁压试验**

根据旁压试验临塑压力$p_f$或极限压力$p_L$确定承载力。

==== 15.5.5 按经验确定 ====

根据土的物理性质指标查表确定，如根据孔隙比$e$和液性指数$I_L$查表确定粘性土承载力特征值。

===== 15.6 影响地基承载力的因素 =====

**1. 土的物理力学性质**

- 内摩擦角$\varphi$：影响最大，$\varphi$越大，承载力越高
- 粘聚力$c$：对粘性土承载力有重要贡献
- 重度$\gamma$：影响滑动土体的自重和旁侧荷载

**2. 基础宽度$b$**

基础宽度越大，承载力越高。但对饱和软土（$\varphi = 0$），基础宽度对承载力无影响。

**3. 基础埋深$d$**

基础埋深越大，承载力越高。埋深引起的超载$q = \gamma_0 d$能有效提高承载力。

**4. 地下水**

地下水位上升，土的有效重度减小，承载力降低。

**5. 基础形状**

方形、圆形基础的承载力一般比条形基础高。

===== 15.7 例题 =====

**例题15.1：临塑荷载与临界荷载计算**

某条形基础宽$b = 2.0m$，埋深$d = 1.5m$。地基土为粉质粘土，$\gamma = 18.5$kN/m³，$c = 20$kPa，$\varphi = 20°$。试计算临塑荷载$p_{cr}$和临界荷载$p_{1/4}$。

**解：**

查表得：$\varphi = 20°$时，$N_q = 2.44$，$N_c = 5.65$，$N_\gamma = 0.51$

（1）临塑荷载

$$p_{cr} = N_q \gamma_0 d + N_c c$$
$$= 2.44 \times 18.5 \times 1.5 + 5.65 \times 20$$
$$= 67.7 + 113.0 = 180.7 \text{kPa}$$

（2）临界荷载$p_{1/4}$

$$p_{1/4} = N_q \gamma_0 d + N_c c + N_\gamma \gamma b$$
$$= 180.7 + 0.51 \times 18.5 \times 2.0$$
$$= 180.7 + 18.9 = 199.6 \text{kPa}$$

**例题15.2：极限承载力计算**

某矩形基础宽$b = 3m$，长$l = 4m$，埋深$d = 2m$。地基土为砂土，$\gamma = 19$kN/m³，$c = 0$，$\varphi = 30°$。用太沙基公式计算极限承载力。

**解：**

查表得：$\varphi = 30°$时，$N_q = 22.5$，$N_\gamma = 19.7$（$N_c = 37.2$，但$c = 0$）

对于矩形基础，采用形状修正：
$$s_\gamma = 1 - 0.4\frac{b}{l} = 1 - 0.4 \times \frac{3}{4} = 0.70$$
$$s_q = 1 + \frac{b}{l}\tan\varphi = 1 + \frac{3}{4} \times 0.577 = 1.43$$

极限承载力：
$$p_u = \frac{1}{2} \gamma b N_\gamma s_\gamma + \gamma_0 d N_q s_q$$

取$\gamma_0 = \gamma = 19$kN/m³：
$$p_u = 0.5 \times 19 \times 3 \times 19.7 \times 0.70 + 19 \times 2 \times 22.5 \times 1.43$$
$$= 392.5 + 1223.3 = 1615.8 \text{kPa}$$

取安全系数$K = 3$，承载力特征值：
$$f_a = \frac{1615.8}{3} = 538.6 \text{kPa}$$

===== 15.8 习题 =====

**习题15.1**
某条形基础宽$b = 1.5m$，埋深$d = 1.0m$。地基土$c = 15$kPa，$\varphi = 18°$，$\gamma = 17.5$kN/m³。试计算临塑荷载和$p_{1/4}$临界荷载。

**习题15.2**
用太沙基公式计算例题15.1中地基的极限承载力（按条形基础），并与临界荷载比较。

**习题15.3**
某方形基础宽3m，埋深2m，建于砂土地基上。砂土$\gamma = 18$kN/m³，$\varphi = 32°$，$c = 0$。用规范公式计算地基承载力特征值。

**习题15.4**
分析地下水位从基础底面以下2m上升至基础底面时，地基承载力的变化百分比（砂土，$\gamma_{sat} = 20$kN/m³，$\gamma = 18$kN/m³）。

**习题15.5**
比较普朗特尔、太沙基、汉森三种极限承载力公式的基本假设和适用范围。

===== 15.9 小结 =====

本章系统地介绍了地基承载力的计算方法，主要内容概括如下：

1. **地基破坏形式**：整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏，对应不同的地基土质条件。

2. **临塑荷载**：地基开始出现塑性区时的荷载，是弹性阶段的界限荷载。

3. **极限荷载**：地基发生整体剪切破坏时的荷载，是地基的极限承载能力。普朗特尔、太沙基、汉森等公式从不同角度给出了极限承载力的计算方法。

4. **承载力确定方法**：
   - 理论公式计算法
   - 规范公式法（GB 50007）
   - 载荷试验法（最可靠）
   - 原位测试法（CPT、SPT、旁压试验）
   - 经验查表法

5. **影响因素**：土的$\varphi$、$c$、$\gamma$，基础宽度$b$，埋深$d$，地下水位等都会影响地基承载力。

**参考文献**

[1] 中华人民共和国住房和城乡建设部. 建筑地基基础设计规范(GB 50007-2011). 北京: 中国建筑工业出版社, 2011.
[2] 赵明华. 土力学与基础工程(第4版). 武汉: 武汉理工大学出版社, 2014.
[3] Das B M. Principles of Geotechnical Engineering(8th ed.). Stamford: Cengage Learning, 2014.