张叶安的小站

本页面只读。您可以查看源文件，但不能更改它。如果您觉得这是系统错误，请联系管理员。
====== 复变函数 (Complex Analysis) ======

===== 课程概述 =====

复变函数论是数学分析的重要分支，研究复数域上的函数理论。它以复数作为自变量，研究复值函数的解析性质、积分理论、级数展开、留数计算及其应用。

本课程是数学与应用数学专业的核心课程，也是物理学、工程学、信号处理等领域的重要数学工具。

===== 课程目标 =====

通过本课程的学习，学生将能够：

  * 掌握复数运算和复平面的几何性质
  * 理解解析函数的概念及其基本性质
  * 熟练运用复积分理论和Cauchy积分公式
  * 掌握幂级数、Laurent级数的展开方法
  * 运用留数定理计算实积分和复积分
  * 理解保角映射的理论和应用
  * 了解调和函数、整函数、亚纯函数等高级专题
  * 初步了解Riemann曲面的基本概念

===== 预备知识 =====

学习本课程需要具备以下基础：

  * 数学分析（微积分）：极限、连续性、微分、积分
  * 线性代数：向量空间、矩阵运算
  * 实变函数（有助于理解，但非必需）

===== 课程目录 =====

==== 第一部分：基础理论 ====

  - [[复变函数:第一章_复数与复平面|第一章 复数与复平面]]
    * 复数的代数表示与运算
    * 复数的几何表示
    * 复平面的拓扑结构
    * 球极投影与扩充复平面

  - [[复变函数:第二章_复变函数|第二章 复变函数]]
    * 复变函数的定义与表示
    * 极限与连续性
    * 可导性与解析性
    * Cauchy-Riemann条件

  - [[复变函数:第三章_初等解析函数|第三章 初等解析函数]]
    * 指数函数与对数函数
    * 幂函数与根式函数
    * 三角函数与双曲函数
    * 反三角函数

  - [[复变函数:第四章_复变函数的积分|第四章 复变函数的积分]]
    * 复积分的定义与性质
    * 原函数与不定积分
    * Cauchy积分定理
    * Cauchy积分公式与高阶导数公式

==== 第二部分：级数理论 ====

  - [[复变函数:第五章_复数项级数|第五章 复数项级数]]
    * 复数序列与级数
    * 收敛性与绝对收敛
    * 一致收敛性
    * Weierstrass判别法

  - [[复变函数:第六章_幂级数|第六章 幂级数]]
    * 幂级数的收敛半径
    * 收敛圆与收敛性质
    * 幂级数的解析性
    * Taylor展开定理

  - [[复变函数:第七章_Laurent级数|第七章 Laurent级数]]
    * 双边幂级数与Laurent级数
    * Laurent展开定理
    * 孤立奇点的分类
    * 解析延拓初步

==== 第三部分：留数理论 ====

  - [[复变函数:第八章_留数|第八章 留数]]
    * 留数的定义与计算
    * 留数定理
    * 利用留数计算实积分
    * 辐角原理的应用

  - [[复变函数:第九章_辐角原理与Rouché定理|第九章 辐角原理与Rouché定理]]
    * 对数留数与辐角原理
    * Rouché定理
    * 零点与极点的分布
    * 代数基本定理的证明

==== 第四部分：保角映射 ====

  - [[复变函数:第十章_保角映射的基本概念|第十章 保角映射的基本概念]]
    * 解析函数的映射性质
    * 保角性的几何意义
    * 伸缩率与旋转角
    * 单叶解析函数

  - [[复变函数:第十一章_分式线性变换|第十一章 分式线性变换]]
    * 分式线性变换的定义
    * 分式线性变换的性质
    * 圆周与直线的像
    * 对称点的保持

  - [[复变函数:第十二章_初等函数的映射|第十二章 初等函数的映射]]
    * 幂函数与根式函数的映射
    * 指数函数与对数函数的映射
    * Joukowsky变换
    * 共形映射的构造

  - [[复变函数:第十三章_保角映射的应用|第十三章 保角映射的应用]]
    * 边值问题的转换
    * 静电学中的应用
    * 流体力学中的应用
    * 热传导问题

==== 第五部分：调和函数与Dirichlet问题 ====

  - [[复变函数:第十四章_调和函数|第十四章 调和函数]]
    * 调和函数的定义与性质
    * 调和函数与解析函数的关系
    * 平均值性质
    * 极值原理

  - [[复变函数:第十五章_Dirichlet问题|第十五章 Dirichlet问题]]
    * Dirichlet问题的提法
    * 圆盘上的Dirichlet问题
    * Poisson积分公式
    * Schwarz积分公式

==== 第六部分：整函数与亚纯函数 ====

  - [[复变函数:第十六章_整函数|第十六章 整函数]]
    * 无穷乘积
    * Weierstrass分解定理
    * 整函数的级与型
    * Hadamard分解定理

  - [[复变函数:第十七章_亚纯函数|第十七章 亚纯函数]]
    * 亚纯函数的定义
    * 部分分式展开
    * Mittag-Leffler定理
    * 椭圆函数简介

==== 第七部分：Riemann曲面（选讲） ====

  - [[复变函数:第十八章_Riemann曲面简介|第十八章 Riemann曲面简介]]
    * 多值函数与分支
    * Riemann曲面的概念
    * 代数函数与代数曲线
    * 亏格与Riemann-Roch定理简介

===== 参考书目 =====

**中文教材**：
  * 钟玉泉，《复变函数论》（第四版），高等教育出版社
  * 余家荣，《复变函数》（第五版），高等教育出版社
  * 龚昇，《简明复分析》，北京大学出版社

**外文教材**：
  * L. V. Ahlfors, *Complex Analysis* (3rd ed.), McGraw-Hill
  * J. B. Conway, *Functions of One Complex Variable*, Springer
  * E. C. Titchmarsh, *The Theory of Functions*, Oxford University Press
  * S. Lang, *Complex Analysis*, Springer

===== 学习建议 =====

  * **理论与实践结合**：在理解定理证明的同时，多做习题巩固
  * **几何直观**：复变函数有很强的几何意义，建议画图辅助理解
  * **联系实分析**：对比复分析与实分析的异同，加深理解
  * **应用导向**：关注复变函数在物理、工程中的应用

===== 公式速查 =====

**欧拉公式**：
$$e^{iz} = \cos z + i\sin z$$

**Cauchy积分公式**：
$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz$$

**留数定理**：
$$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)$$

**Taylor展开**：
$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$$

**Poisson积分公式**：
$$u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\theta-\phi)+r^2} u(Re^{i\phi}) d\phi$$

----

本课程内容由 OpenClaw 自动生成，仅供学习参考。

最后更新：2025年