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====== 第三章 初等解析函数 ======

===== 3.1 指数函数 =====

==== 3.1.1 定义 ====

**定义 3.1.1（复指数函数）**：对任意复数 $z = x + iy$，定义：
$$e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$$

==== 3.1.2 基本性质 ====

**定理 3.1.1**：复指数函数具有以下性质：

  * **解析性**：$e^z$ 在整个复平面上解析，且 $(e^z)' = e^z$
  * **加法公式**：$e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}$
  * **非零性**：$e^z \neq 0$ 对所有 $z \in \mathbb{C}$
  * **周期性**：$e^{z + 2k\pi i} = e^z$（$k \in \mathbb{Z}$），周期为 $2\pi i$
  * **模的性质**：$|e^z| = e^{\text{Re}(z)} = e^x$
  * **辐角性质**：$\arg(e^z) = \text{Im}(z) = y$

**证明**：

解析性：$e^z = e^x\cos y + ie^x\sin y$，所以 $u = e^x\cos y$，$v = e^x\sin y$。

$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

C-R 条件满足，故解析。导数为：
$$\frac{d}{dz}e^z = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\cos y + ie^x\sin y = e^z$$

加法公式：设 $z_1 = x_1 + iy_1$，$z_2 = x_2 + iy_2$
$$e^{z_1} \cdot e^{z_2} = e^{x_1}(\cos y_1 + i\sin y_1) \cdot e^{x_2}(\cos y_2 + i\sin y_2)$$
$$= e^{x_1+x_2}[\cos(y_1+y_2) + i\sin(y_1+y_2)] = e^{z_1+z_2}$$

周期性：
$$e^{z+2k\pi i} = e^{x+i(y+2k\pi)} = e^x[\cos(y+2k\pi) + i\sin(y+2k\pi)] = e^x(\cos y + i\sin y) = e^z$$

==== 3.1.3 指数函数的映射性质 ====

**定理 3.1.2**：$w = e^z$ 将：
  * 水平线 $y = y_0$ 映射为射线 $\arg w = y_0$
  * 垂直线 $x = x_0$ 映射为圆周 $|w| = e^{x_0}$
  * 带形区域 $-\pi < \text{Im}(z) < \pi$ 单叶映射为 $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$

===== 3.2 对数函数 =====

==== 3.2.1 定义 ====

**定义 3.2.1（复对数函数）**：对数函数定义为指数函数的反函数：
$$w = \text{Ln}\,z \Leftrightarrow z = e^w$$

设 $z = re^{i\theta}$，$w = u + iv$，则 $re^{i\theta} = e^{u+iv} = e^u \cdot e^{iv}$。

比较得：$e^u = r$，$v = \theta$，即：
$$\text{Ln}\,z = \ln|z| + i\text{Arg}\,z = \ln r + i(\theta + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

**主值**：取 $k = 0$，$-\pi < \arg z \leq \pi$：
$$\ln z = \ln|z| + i\arg z$$

==== 3.2.2 基本性质 ====

**定理 3.2.1**：
  * $\text{Ln}(z_1 z_2) = \text{Ln}\,z_1 + \text{Ln}\,z_2$（集合相等）
  * $\text{Ln}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{Ln}\,z_1 - \text{Ln}\,z_2$
  * $e^{\text{Ln}\,z} = z$
  * $\text{Ln}(e^z) = z + 2k\pi i$（$k \in \mathbb{Z}$）

**注意**：一般情况下 $\ln(z_1 z_2) \neq \ln z_1 + \ln z_2$。

**例 3.2.1**：计算 $\text{Ln}(-1)$ 和 $\ln(-1)$

**解**：
$$\text{Ln}(-1) = \ln|-1| + i\text{Arg}(-1) = i(\pi + 2k\pi) = (2k+1)\pi i$$
$$\ln(-1) = \pi i$$

==== 3.2.3 解析性 ====

**定理 3.2.2**：对数函数的主值分支 $\ln z$ 在 $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ 上解析，且：
$$\frac{d}{dz}\ln z = \frac{1}{z}$$

**证明**：设 $w = \ln z$，则 $z = e^w$，由反函数求导：
$$\frac{dw}{dz} = \frac{1}{\frac{dz}{dw}} = \frac{1}{e^w} = \frac{1}{z}$$

===== 3.3 幂函数 =====

==== 3.3.1 定义 ====

**定义 3.3.1（复幂函数）**：对 $z \neq 0$ 和复数 $\alpha$，定义：
$$z^\alpha = e^{\alpha \cdot \text{Ln}\,z} = e^{\alpha(\ln|z| + i\text{Arg}\,z)}$$

==== 3.3.2 分类讨论 ====

**（1）当 $\alpha = n \in \mathbb{Z}$ 时**：
$$z^n = e^{n(\ln|z| + i(\theta + 2k\pi))} = e^{n\ln|z|} \cdot e^{in\theta} = |z|^n e^{in\theta}$$

这与整数幂的通常定义一致，是单值函数。

**（2）当 $\alpha = \frac{1}{n}$（$n \in \mathbb{N}$）时**：
$$z^{1/n} = e^{\frac{1}{n}(\ln|z| + i(\theta + 2k\pi))} = |z|^{1/n} e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}$$

$k = 0, 1, \ldots, n-1$ 给出 $n$ 个不同的值，即 $n$ 次方根。

**（3）当 $\alpha$ 为无理数或复数时**：
$z^\alpha$ 有无穷多个值。

==== 3.3.3 幂函数的解析性 ====

**定理 3.3.1**：对固定的分支，$z^\alpha$ 在 $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ 上解析，且：
$$\frac{d}{dz}z^\alpha = \alpha z^{\alpha-1}$$

===== 3.4 三角函数 =====

==== 3.4.1 定义 ====

利用欧拉公式，将实三角函数推广到复数域：

**定义 3.4.1**：
$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$
$$\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \quad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$$

==== 3.4.2 基本性质 ====

**定理 3.4.1**：

  * **解析性**：$\cos z$ 和 $\sin z$ 在整个复平面上解析
  * **导数**：$(\cos z)' = -\sin z$，$(\sin z)' = \cos z$
  * **奇偶性**：$\cos(-z) = \cos z$（偶），$\sin(-z) = -\sin z$（奇）
  * **周期性**：周期为 $2\pi$
  * **恒等式**：$\cos^2 z + \sin^2 z = 1$
  * **加法公式**：
    $$\cos(z_1 \pm z_2) = \cos z_1 \cos z_2 \mp \sin z_1 \sin z_2$$
    $$\sin(z_1 \pm z_2) = \sin z_1 \cos z_2 \pm \cos z_1 \sin z_2$$

**证明**：以 $\cos^2 z + \sin^2 z = 1$ 为例：
$$\cos^2 z + \sin^2 z = \frac{(e^{iz} + e^{-iz})^2}{4} + \frac{(e^{iz} - e^{-iz})^2}{-4}$$
$$= \frac{e^{2iz} + 2 + e^{-2iz} - e^{2iz} + 2 - e^{-2iz}}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

==== 3.4.3 模的公式 ====

**定理 3.4.2**：
$$|\cos z|^2 = \cos^2 x + \sinh^2 y$$
$$|\sin z|^2 = \sin^2 x + \sinh^2 y$$

**证明**：
$$\cos z = \cos(x+iy) = \cos x \cos iy - \sin x \sin iy = \cos x \cosh y - i\sin x \sinh y$$

所以：
$$|\cos z|^2 = \cos^2 x \cosh^2 y + \sin^2 x \sinh^2 y$$
$$= \cos^2 x(1 + \sinh^2 y) + \sin^2 x \sinh^2 y = \cos^2 x + \sinh^2 y$$

**推论**：$\cos z$ 和 $\sin z$ 在复平面上无界。

===== 3.5 双曲函数 =====

==== 3.5.1 定义 ====

**定义 3.5.1**：
$$\cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}, \quad \sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$$
$$\tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z}$$

==== 3.5.2 与三角函数的关系 ====

**定理 3.5.1**：
$$\cosh z = \cos(iz), \quad \sinh z = -i\sin(iz)$$
$$\cos z = \cosh(iz), \quad \sin z = -i\sinh(iz)$$

**定理 3.5.2**：
$$\cosh^2 z - \sinh^2 z = 1$$

===== 3.6 反三角函数与反双曲函数 =====

==== 3.6.1 反正弦函数 ====

**定义**：$w = \text{Arcsin}\,z$ 是 $\sin w = z$ 的解。

由 $\frac{e^{iw} - e^{-iw}}{2i} = z$，设 $t = e^{iw}$：
$$t - \frac{1}{t} = 2iz \Rightarrow t^2 - 2izt - 1 = 0$$

解得：
$$t = iz + \sqrt{1-z^2}$$

所以：
$$\text{Arcsin}\,z = -i\text{Ln}(iz + \sqrt{1-z^2})$$

==== 3.6.2 反正切函数 ====

$$\text{Arctan}\,z = \frac{i}{2}\text{Ln}\frac{i+z}{i-z}$$

==== 3.6.3 反双曲函数 ====

$$\text{Arccosh}\,z = \text{Ln}(z + \sqrt{z^2-1})$$
$$\text{Arcsinh}\,z = \text{Ln}(z + \sqrt{z^2+1})$$

===== 3.7 典型例题详解 =====

**例 3.7.1**：求 $(1+i)^i$ 的所有值

**解**：
$$(1+i)^i = e^{i\text{Ln}(1+i)} = e^{i[\ln\sqrt{2} + i(\frac{\pi}{4} + 2k\pi)]}$$
$$= e^{i\ln\sqrt{2} - (\frac{\pi}{4} + 2k\pi)} = e^{-(\frac{\pi}{4} + 2k\pi)} \cdot e^{i\frac{\ln 2}{2}}$$

$k = 0$ 时主值为 $e^{-\pi/4}[\cos(\frac{\ln 2}{2}) + i\sin(\frac{\ln 2}{2})]$。

**例 3.7.2**：求 $\sin(1+i)$

**解**：
$$\sin(1+i) = \sin 1 \cos i + \cos 1 \sin i = \sin 1 \cosh 1 + i\cos 1 \sinh 1$$

**例 3.7.3**：解方程 $\cos z = 2$

**解**：
$$\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = 2 \Rightarrow e^{iz} + e^{-iz} = 4$$

设 $t = e^{iz}$：
$$t + \frac{1}{t} = 4 \Rightarrow t^2 - 4t + 1 = 0$$
$$t = 2 \pm \sqrt{3}$$

所以：
$$z = -i\text{Ln}(2 \pm \sqrt{3}) = -i[\ln(2 \pm \sqrt{3}) + 2k\pi i] = 2k\pi - i\ln(2 \pm \sqrt{3})$$

**例 3.7.4**：确定 $w = \sqrt[3]{z}$ 的支割线，并求在正实轴上岸值为正实数的分支在 $z = i$ 处的值

**解**：取负实轴为支割线。在正实轴上岸值为正，即辐角取 $(-\pi, \pi]$。

对于 $z = i = e^{i\pi/2}$：
$$\sqrt[3]{i} = e^{i\frac{\pi/2 + 2k\pi}{3}} = e^{i\frac{\pi}{6}}, e^{i\frac{5\pi}{6}}, e^{-i\frac{\pi}{2}}$$

主值为 $e^{i\pi/6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$。

===== 3.8 本章习题 =====

**基础练习**：

1. 计算：
   a) $e^{1+i\pi}$
   b) $\text{Ln}(-i)$
   c) $(-1)^{\sqrt{2}}$
   d) $\sin(2i)$

2. 求下列函数的实部和虚部：
   a) $e^{z^2}$
   b) $\sin\bar{z}$
   c) $z^{1+i}$

3. 解方程：
   a) $e^z = 1 + i$
   b) $\sin z = 0$
   c) $\cosh z = \frac{1}{2}$

4. 证明：$|\sin z| \geq |\sinh y|$，其中 $z = x + iy$。

**进阶练习**：

5. 证明：$\overline{e^z} = e^{\bar{z}}$，并讨论 $\overline{\sin z} = \sin\bar{z}$ 是否成立。

6. 设 $f(z) = z^z$（主值分支），求 $f(i)$ 和 $f'(i)$。

7. 求 $\tan z$ 的实部和虚部。

8. 证明：$|\text{Im}(z)| \leq |\sin z| \leq e^{|\text{Im}(z)|}$。

9. 确定 $w = \sqrt{z(z-1)}$ 的支点，并讨论其分支。

10. 证明：$\text{Arctan}\,z = \int_0^z \frac{d\zeta}{1+\zeta^2}$（沿不经过 $\pm i$ 的路径）。

**思考题**：

11. 研究函数 $f(z) = z^{z^z}$ 的多值性。

12. 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $|f(z)|$ 在 $D$ 内恒等于常数 $c$。若 $c = 0$，证明 $f(z) \equiv 0$；若 $c \neq 0$，讨论 $f(z)$ 的形式。

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