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====== 第二章 复变函数 ======

===== 2.1 复变函数的概念 =====

==== 2.1.1 定义 ====

**定义 2.1.1（复变函数）**：设 $D$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 上的一个点集，若对 $D$ 中每一个复数 $z$，按照某种对应法则 $f$，有唯一确定的复数 $w$ 与之对应，则称 $f$ 为 $D$ 上的**复变函数**，记为：
$$w = f(z), \quad z \in D$$

其中：
  * $D$ 称为函数 $f$ 的**定义域**
  * $f(D) = \{f(z) : z \in D\}$ 称为函数 $f$ 的**值域**

==== 2.1.2 单值函数与多值函数 ====

**定义 2.1.2**：
  * 若对每个 $z \in D$，$f(z)$ 的值唯一确定，称 $f$ 为**单值函数**
  * 若对每个 $z \in D$，$f(z)$ 有多个值与之对应，称 $f$ 为**多值函数**

本章主要研究单值函数，多值函数将在后续章节讨论。

==== 2.1.3 复变函数的表示 ====

设 $z = x + iy$，$w = u + iv$，则复变函数 $w = f(z)$ 可以表示为：
$$u + iv = f(x + iy)$$

即：
$$u = u(x, y), \quad v = v(x, y)$$

其中 $u(x, y)$ 称为 $f(z)$ 的**实部**，$v(x, y)$ 称为 $f(z)$ 的**虚部**。

**例 2.1.1**：设 $f(z) = z^2$，求实部和虚部

**解**：
$$f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$$

所以：
$$u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy$$

**例 2.1.2**：设 $f(z) = |z|^2$，分析其性质

**解**：
$$f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2$$

所以 $u(x, y) = x^2 + y^2$，$v(x, y) = 0$。

===== 2.2 复变函数的极限 =====

==== 2.2.1 极限的定义 ====

**定义 2.2.1（极限）**：设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域内有定义，若存在复数 $A$，使得对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时，有：
$$|f(z) - A| < \varepsilon$$

则称 $A$ 为 $f(z)$ 当 $z \to z_0$ 时的**极限**，记为：
$$\lim_{z \to z_0} f(z) = A \quad \text{或} \quad f(z) \to A \ (z \to z_0)$$

==== 2.2.2 极限的性质 ====

**定理 2.2.1**：设 $\lim_{z \to z_0} f(z) = A$，$\lim_{z \to z_0} g(z) = B$，则：

  * **线性性**：$\lim_{z \to z_0}[\alpha f(z) + \beta g(z)] = \alpha A + \beta B$（$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$）
  * **乘法**：$\lim_{z \to z_0}[f(z) \cdot g(z)] = A \cdot B$
  * **除法**：$\lim_{z \to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）

**定理 2.2.2**：$\lim_{z \to z_0} f(z) = A = a + ib$ 的充要条件是：
$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = a, \quad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = b$$

其中 $z_0 = x_0 + iy_0$，$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$。

**证明**：

必要性：设 $\lim_{z \to z_0} f(z) = A$，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时：
$$|f(z) - A| < \varepsilon$$

由于 $|u(x,y) - a| \leq |f(z) - A|$ 且 $|v(x,y) - b| \leq |f(z) - A|$，所以：
$$|u(x,y) - a| < \varepsilon, \quad |v(x,y) - b| < \varepsilon$$

充分性：设两个实极限成立，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ 时：
$$|u(x,y) - a| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad |v(x,y) - b| < \frac{\varepsilon}{2}$$

于是：
$$|f(z) - A| = \sqrt{(u-a)^2 + (v-b)^2} < \sqrt{\frac{\varepsilon^2}{4} + \frac{\varepsilon^2}{4}} = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}} < \varepsilon$$

==== 2.2.3 极限存在的条件 ====

**定理 2.2.3**：$\lim_{z \to z_0} f(z)$ 存在当且仅当 $z$ 沿任意路径趋于 $z_0$ 时，$f(z)$ 的极限都存在且相等。

**注意**：这与实函数不同。在复平面上，$z \to z_0$ 可以从任意方向、沿任意曲线进行。

**例 2.2.1**：证明 $\lim_{z \to 0} \frac{\bar{z}}{z}$ 不存在

**证明**：设 $z = x + iy$，则：
$$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{x - iy}{x + iy}$$

  * 沿实轴（$y = 0$）：$\frac{x}{x} = 1 \to 1$（当 $x \to 0$）
  * 沿虚轴（$x = 0$）：$\frac{-iy}{iy} = -1 \to -1$（当 $y \to 0$）

沿不同路径极限不同，故极限不存在。

**例 2.2.2**：求 $\lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{z - i}$

**解**：
$$\frac{z^2 + 1}{z - i} = \frac{(z + i)(z - i)}{z - i} = z + i \to 2i \quad (z \to i)$$

===== 2.3 复变函数的连续性 =====

==== 2.3.1 连续的定义 ====

**定义 2.3.1（连续）**：设 $f(z)$ 在 $z_0$ 的邻域内有定义，若：
$$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$$

则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处**连续**。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都连续，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续，记为 $f \in C(D)$。

==== 2.3.2 连续的性质 ====

**定理 2.3.1**：$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在 $z_0 = x_0 + iy_0$ 处连续的充要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都在 $(x_0, y_0)$ 处连续。

**定理 2.3.2**：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续。

**定理 2.3.3**：连续函数的复合函数仍连续。

**定理 2.3.4（有界性）**：若 $f(z)$ 在有界闭集 $E$ 上连续，则 $f(z)$ 在 $E$ 上有界，即存在 $M > 0$ 使得 $|f(z)| \leq M$ 对所有 $z \in E$ 成立。

**定理 2.3.5（最值性）**：若 $f(z)$ 在有界闭集 $E$ 上连续，则 $|f(z)|$ 在 $E$ 上能取得最大值和最小值。

**定理 2.3.6（一致连续性）**：若 $f(z)$ 在有界闭集 $E$ 上连续，则 $f(z)$ 在 $E$ 上一致连续。

===== 2.4 复变函数的导数 =====

==== 2.4.1 导数的定义 ====

**定义 2.4.1（导数）**：设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的邻域内有定义，若极限：
$$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$

存在，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处**可导**（或可微），该极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的**导数**，记为 $f'(z_0)$ 或 $\frac{df}{dz}(z_0)$。

等价地，令 $\Delta z = z - z_0$：
$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

==== 2.4.2 导数的性质 ====

**定理 2.4.1**：若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。

**证明**：
$$\lim_{z \to z_0} [f(z) - f(z_0)] = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \cdot (z - z_0) = f'(z_0) \cdot 0 = 0$$

**定理 2.4.2（求导法则）**：设 $f(z)$，$g(z)$ 在 $z$ 处可导，则：

  * **线性性**：$(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$（$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$）
  * **乘法**：$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
  * **除法**：$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$（$g \neq 0$）
  * **链式法则**：$[f(g(z))]' = f'(g(z)) \cdot g'(z)$

**定理 2.4.3**：
  * $(z^n)' = nz^{n-1}$（$n \in \mathbb{Z}$，$z \neq 0$ 当 $n < 0$）
  * $(c)' = 0$（$c$ 为常数）

==== 2.4.3 可导与实可微的关系 ====

**定理 2.4.4**：$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在 $z = x + iy$ 处可导的充要条件是：

  * $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微
  * 满足 **Cauchy-Riemann 条件**（简称 C-R 条件）：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

当条件满足时：
$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$$

**证明**：

设 $f(z)$ 在 $z$ 处可导，导数为 $f'(z) = a + ib$。由可导定义：
$$f(z + \Delta z) - f(z) = f'(z)\Delta z + o(|\Delta z|)$$

即：
$$\Delta u + i\Delta v = (a + ib)(\Delta x + i\Delta y) + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$
$$= (a\Delta x - b\Delta y) + i(b\Delta x + a\Delta y) + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$

比较实部、虚部：
$$\Delta u = a\Delta x - b\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$
$$\Delta v = b\Delta x + a\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$

这说明 $u, v$ 可微，且：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = a, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -b, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = b, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = a$$

于是得到 C-R 条件。

反之，若 $u, v$ 可微且满足 C-R 条件，则：
$$\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|)$$
$$\Delta v = \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|)$$

由 C-R 条件：
$$\Delta u + i\Delta v = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial v}{\partial x}\Delta y + i\left(\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial x}\Delta y\right) + o(|\Delta z|)$$
$$= \left(\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x + i\Delta y) + o(|\Delta z|)$$

所以：
$$\frac{\Delta f}{\Delta z} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{o(|\Delta z|)}{\Delta z} \to \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

即 $f(z)$ 可导。

===== 2.5 解析函数 =====

==== 2.5.1 解析的定义 ====

**定义 2.5.1（解析函数）**：若函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处**解析**（或全纯、正则）。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析（或全纯）。

**注**：
  * "解析" 是区域性质，"可导" 是点性质
  * 在区域 $D$ 内：解析 $\Leftrightarrow$ 处处可导
  * 在一点处：解析要求在该点及其邻域内可导

**定义 2.5.2（奇点）**：若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，但在 $z_0$ 的任意去心邻域内有解析点，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的**奇点**。

==== 2.5.2 解析的充要条件 ====

**定理 2.5.1**：$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是：

  * $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $D$ 内可微
  * $u, v$ 在 $D$ 内满足 C-R 条件

**推论**：若 $u, v$ 的一阶偏导数在 $D$ 内连续且满足 C-R 条件，则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

==== 2.5.3 解析函数的性质 ====

**定理 2.5.2**：解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍解析。

**定理 2.5.3**：解析函数的复合函数仍解析。

**定理 2.5.4**：多项式函数在整个复平面上解析。

**定理 2.5.5**：有理函数在分母不为零的点处解析。

===== 2.6 典型例题详解 =====

**例 2.6.1**：讨论 $f(z) = |z|^2$ 的可导性和解析性

**解**：$f(z) = x^2 + y^2$，所以 $u = x^2 + y^2$，$v = 0$。

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$

C-R 条件：
$$2x = 0, \quad 2y = 0$$

仅在 $z = 0$ 处满足。但 $f(z)$ 仅在一点可导，不满足邻域可导，故 $f(z)$ 在 $z = 0$ 处不解析，在整个复平面上不解析。

**例 2.6.2**：证明 $f(z) = e^x(\cos y + i\sin y)$ 在整个复平面上解析，并求 $f'(z)$

**解**：$u = e^x\cos y$，$v = e^x\sin y$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y$$
$$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x\cos y$$

C-R 条件：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

处处满足，且偏导数连续，故 $f(z)$ 处处解析。

$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\cos y + ie^x\sin y = f(z)$$

这实际上是复指数函数 $e^z$。

**例 2.6.3**：确定函数 $f(z) = x^2 + axy + by^2 + i(cx^2 + dxy + y^2)$ 的解析性条件

**解**：C-R 条件：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + ay = \frac{\partial v}{\partial y} = dx + 2y$$
$$\frac{\partial u}{\partial y} = ax + 2by = -\frac{\partial v}{\partial x} = -2cx - dy$$

比较系数：
$$a = 2, \quad d = 2, \quad a = -2c, \quad 2b = -d$$

解得：$a = 2, d = 2, c = -1, b = -1$

**例 2.6.4**：设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $|f(z)|$ 为常数，证明 $f(z)$ 为常数

**证明**：设 $|f(z)| = c$。若 $c = 0$，则 $f(z) = 0$。

若 $c \neq 0$，则 $f(z)\overline{f(z)} = c^2$，所以 $\overline{f(z)} = \frac{c^2}{f(z)}$。

由于 $f(z)$ 解析且不为零，$\overline{f(z)}$ 也解析。

设 $f = u + iv$，则 $\overline{f} = u - iv$ 解析，满足 C-R 条件：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$$

与 $f$ 的 C-R 条件联立：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$
$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x} = 0$$

同理 $u$ 的偏导数也为零，故 $f$ 为常数。

===== 2.7 本章习题 =====

**基础练习**：

1. 将下列函数表示为 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 的形式：
   a) $f(z) = z^3$
   b) $f(z) = \frac{1}{z}$（$z \neq 0$）
   c) $f(z) = z + \frac{1}{z}$（$z \neq 0$）

2. 求下列极限：
   a) $\lim_{z \to 1} \frac{z^2 - 1}{z - 1}$
   b) $\lim_{z \to 0} \frac{\text{Re}(z)}{z}$
   c) $\lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{|z|^2 + 1}$

3. 讨论下列函数的连续性：
   a) $f(z) = \begin{cases} \frac{z\text{Re}(z)}{|z|}, & z \neq 0 \\ 0, & z = 0 \end{cases}$
   b) $f(z) = \frac{z}{\bar{z}}$（$z \neq 0$）

4. 验证 C-R 条件，并求导数（若存在）：
   a) $f(z) = z^2 + z$
   b) $f(z) = x^2 - iy^2$
   c) $f(z) = 2x + 3iy$

**进阶练习**：

5. 设 $f(z) = u + iv$ 在区域 $D$ 内解析，证明：
   $$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2$$

6. 证明：若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $\text{Re}(f(z))$ 为常数，则 $f(z)$ 为常数。

7. 设 $f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta)$，其中 $z = re^{i\theta}$，推导极坐标下的 C-R 条件：
   $$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$

8. 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $f'(z) = 0$ 对所有 $z \in D$ 成立，证明 $f(z)$ 为常数。

9. 讨论 $f(z) = \sqrt{|xy|}$（$z = x + iy$）在 $z = 0$ 处的可导性。

10. 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $\overline{f(z)}$ 也在 $D$ 内解析，证明 $f(z)$ 为常数。

**思考题**：

11. 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，证明 $f(z)$ 的实部 $u$ 和虚部 $v$ 都是调和函数，即满足 Laplace 方程：
    $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$$

12. 设 $f(z)$ 在 $z = 0$ 处连续，且当 $z \to 0$ 时 $f(2z) - f(z) = O(z)$，证明 $f(z)$ 在 $z = 0$ 处可导。

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