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====== 第五章 复数项级数 ======

===== 5.1 复数序列 =====

==== 5.1.1 序列的极限 ====

**定义 5.1.1（复数序列）**：设 $\{z_n\}$ 是复数序列，$z_0 \in \mathbb{C}$。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时：
$$|z_n - z_0| < \varepsilon$$

则称 $\{z_n\}$ **收敛**于 $z_0$，记为 $\lim_{n \to \infty} z_n = z_0$。

**定理 5.1.1**：设 $z_n = x_n + iy_n$，$z_0 = x_0 + iy_0$，则：
$$\lim_{n \to \infty} z_n = z_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \text{ 且 } \lim_{n \to \infty} y_n = y_0$$

==== 5.1.2 序列极限的性质 ====

**定理 5.1.2**：设 $\lim_{n \to \infty} z_n = z_0$，$\lim_{n \to \infty} w_n = w_0$，则：
  * $\lim_{n \to \infty}(z_n + w_n) = z_0 + w_0$
  * $\lim_{n \to \infty}(z_n \cdot w_n) = z_0 \cdot w_0$
  * $\lim_{n \to \infty}\frac{z_n}{w_n} = \frac{z_0}{w_0}$（$w_0 \neq 0$）

**定理 5.1.3（Cauchy收敛准则）**：复数序列 $\{z_n\}$ 收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m, n > N$ 时：
$$|z_m - z_n| < \varepsilon$$

===== 5.2 复数项级数 =====

==== 5.2.1 级数的收敛性 ====

**定义 5.2.1（复数项级数）**：设 $\{z_n\}$ 是复数序列，称：
$$\sum_{n=1}^{\infty} z_n = z_1 + z_2 + \cdots$$

为**复数项级数**。称 $S_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n$ 为**部分和**。

若 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 存在，则称级数**收敛**，和为 $S$。

**定理 5.2.1**：设 $z_n = x_n + iy_n$，则 $\sum z_n$ 收敛的充要条件是 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 都收敛，且：
$$\sum_{n=1}^{\infty} z_n = \sum_{n=1}^{\infty} x_n + i\sum_{n=1}^{\infty} y_n$$

==== 5.2.2 收敛的必要条件 ====

**定理 5.2.2**：若 $\sum z_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} z_n = 0$。

**证明**：$z_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$。

===== 5.3 绝对收敛 =====

==== 5.3.1 定义 ====

**定义 5.3.1（绝对收敛）**：若级数 $\sum |z_n|$ 收敛，则称 $\sum z_n$ **绝对收敛**。

**定理 5.3.1**：绝对收敛的级数必收敛。

**证明**：由 $|x_n| \leq |z_n|$，$|y_n| \leq |z_n|$，若 $\sum |z_n|$ 收敛，则 $\sum |x_n|$ 和 $\sum |y_n|$ 收敛，故 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 绝对收敛，从而收敛。

==== 5.3.2 绝对收敛的性质 ====

**定理 5.3.2**：绝对收敛级数可任意重排，和不变。

**定理 5.3.3（比较判别法）**：若 $|z_n| \leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum z_n$ 绝对收敛。

**定理 5.3.4（比值判别法）**：设 $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right| = L$，则：
  * $L < 1$ 时，级数绝对收敛
  * $L > 1$ 时，级数发散
  * $L = 1$ 时，判别法失效

**定理 5.3.5（根值判别法）**：设 $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|z_n|} = L$，则：
  * $L < 1$ 时，级数绝对收敛
  * $L > 1$ 时，级数发散
  * $L = 1$ 时，判别法失效

===== 5.4 一致收敛 =====

==== 5.4.1 函数项级数 ====

**定义 5.4.1（函数项级数）**：设 $\{f_n(z)\}$ 是区域 $D$ 上的函数序列，称：
$$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)$$

为 $D$ 上的**函数项级数**。

**定义 5.4.2（点态收敛）**：若对每个固定的 $z \in D$，数项级数 $\sum f_n(z)$ 收敛，则称级数在 $D$ 上**点态收敛**。

==== 5.4.2 一致收敛的定义 ====

**定义 5.4.3（一致收敛）**：设级数 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上收敛于 $S(z)$。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$（与 $z$ 无关），使得当 $n > N$ 时，对所有 $z \in D$：
$$\left|\sum_{k=1}^n f_k(z) - S(z)\right| < \varepsilon$$

则称级数在 $D$ 上**一致收敛**于 $S(z)$。

==== 5.4.3 一致收敛的判别法 ====

**定理 5.4.1（Weierstrass判别法/M-判别法）**：若 $|f_n(z)| \leq M_n$ 对所有 $z \in D$ 成立，且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上绝对且一致收敛。

**定理 5.4.2（一致收敛的Cauchy准则）**：$\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n > m > N$ 时，对所有 $z \in D$：
$$\left|\sum_{k=m+1}^n f_k(z)\right| < \varepsilon$$

==== 5.4.4 一致收敛的性质 ====

**定理 5.4.3**：若 $f_n(z)$ 在 $D$ 上连续，且 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S(z)$，则 $S(z)$ 在 $D$ 上连续。

**定理 5.4.4**：若 $f_n(z)$ 在曲线 $C$ 上连续，且 $\sum f_n(z)$ 在 $C$ 上一致收敛，则：
$$\int_C \sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)dz = \sum_{n=1}^{\infty} \int_C f_n(z)dz$$

即积分与求和可交换。

**定理 5.4.5（Weierstrass定理）**：若 $f_n(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 的任意紧子集上一致收敛于 $S(z)$，则：
  * $S(z)$ 在 $D$ 内解析
  * $S^{(k)}(z) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n^{(k)}(z)$（可逐项求导）

===== 5.5 典型例题详解 =====

**例 5.5.1**：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{n}$ 的收敛性

**解**：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}i + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k}$$

实部和虚部都是交错级数，由 Leibniz 判别法收敛，故级数收敛。

但 $\sum \left|\frac{i^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}$ 发散，故条件收敛。

**例 5.5.2**：判断 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ 的收敛性

**解**：用比值判别法：
$$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{z^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{z^n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{|z|}{n+1} = 0 < 1$$

对所有 $z \in \mathbb{C}$ 收敛，即在整个复平面上绝对收敛。

**例 5.5.3**：证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ 在 $|z| \leq 1$ 上一致收敛

**解**：当 $|z| \leq 1$：
$$\left|\frac{z^n}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$$

$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，由 M-判别法，级数在 $|z| \leq 1$ 上一致收敛。

===== 5.6 本章习题 =====

**基础练习**：

1. 判断下列序列的收敛性，若收敛求极限：
   a) $z_n = \left(1 + \frac{i}{n}\right)^n$
   b) $z_n = \frac{n+i}{n-i}$
   c) $z_n = i^n$

2. 判断下列级数的收敛性：
   a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{n}$
   b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+i}{2^n}$
   c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{\sqrt{n}}$

3. 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1+i}{2}\right)^n$ 的和。

4. 证明：若 $\sum z_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} z_n = 0$。

5. 用 M-判别法证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}$ 在 $\text{Re}(z) \geq 1 + \delta$（$\delta > 0$）上一致收敛。

**进阶练习**：

6. 设 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n\}$ 是有界单调序列，证明 $\sum a_n b_n$ 收敛。

7. 证明：若 $\sum |z_n|^2$ 收敛，则 $\sum \frac{z_n}{n}$ 绝对收敛。

8. 设级数 $\sum f_n(z)$ 在集合 $E$ 上一致收敛，$g(z)$ 在 $E$ 上有界，证明 $\sum g(z)f_n(z)$ 在 $E$ 上一致收敛。

9. 证明：若 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z = z_0$ 处收敛，则它在 $|z| < |z_0|$ 内绝对收敛。

10. 设 $\{f_n(z)\}$ 是区域 $D$ 内的解析函数序列，在 $D$ 的任意紧子集上一致收敛于 $f(z)$，证明 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

**思考题**：

11. 研究级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{1-z^n}$ 的收敛性。

12. 设 $\sum a_n$ 是复数项级数，$A_n = a_1 + \cdots + a_n$。若 $\{A_n\}$ 有界，$b_n \downarrow 0$，证明 $\sum a_n b_n$ 收敛。

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