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====== 工程数学 ======

工程数学是理工科学生的重要基础课程，涵盖复变函数、积分变换、特殊函数与方程、数理方程等核心内容。本课程为后续专业课程如电磁场理论、信号处理、量子力学、弹性力学等奠定数学基础。

===== 课程目标 =====

通过本课程的学习，学生应达到以下目标：

  * 掌握复变函数的基本理论和方法
  * 熟练运用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换工具
  * 了解勒让德函数、贝塞尔函数等特殊函数的性质与应用
  * 掌握数学物理方程的常用求解方法
  * 培养运用数学工具解决工程实际问题的能力

===== 课程结构 =====

本课程共分为四个部分，十八章内容：

==== 第一部分：复变函数 ====

  - [[工程数学:第一章_复数与复变函数|第一章 复数与复变函数]] — 复数运算、复平面、复变函数、极限与连续
  - [[工程数学:第二章_解析函数|第二章 解析函数]] — 导数、柯西-黎曼条件、调和函数、初等函数
  - [[工程数学:第三章_复变函数的积分|第三章 复变函数的积分]] — 复积分、柯西积分定理、柯西积分公式
  - [[工程数学:第四章_级数|第四章 级数]] — 复数项级数、幂级数、泰勒级数、洛朗级数
  - [[工程数学:第五章_留数理论|第五章 留数理论]] — 孤立奇点、留数计算、留数定理、围道积分
  - [[工程数学:第六章_保角映射|第六章 保角映射]] — 保角性、分式线性映射、初等函数映射、施瓦茨-克里斯托费尔映射

==== 第二部分：积分变换 ====

  - [[工程数学:第七章_傅里叶变换|第七章 傅里叶变换]] — 傅里叶积分、傅里叶变换、性质、卷积定理
  - [[工程数学:第八章_拉普拉斯变换|第八章 拉普拉斯变换]] — 定义、性质、逆变换、卷积、应用
  - [[工程数学:第九章_Z变换|第九章 Z变换]] — 定义、收敛域、性质、逆Z变换、差分方程求解

==== 第三部分：特殊函数与方程 ====

  - [[工程数学:第十章_常微分方程级数解法|第十章 常微分方程级数解法]] — 幂级数解法、Frobenius方法、正则奇点
  - [[工程数学:第十一章_勒让德函数|第十一章 勒让德函数]] — 勒让德方程、勒让德多项式、正交性、球函数
  - [[工程数学:第十二章_贝塞尔函数|第十二章 贝塞尔函数]] — 贝塞尔方程、贝塞尔函数、性质、应用
  - [[工程数学:第十三章_格林函数|第十三章 格林函数]] — 格林函数概念、常微分方程格林函数、偏微分方程格林函数

==== 第四部分：数理方程 ====

  - [[工程数学:第十四章_数学物理方程|第十四章 数学物理方程]] — 波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程、定解条件
  - [[工程数学:第十五章_分离变量法|第十五章 分离变量法]] — 弦振动、热传导、极坐标分离、柱坐标分离
  - [[工程数学:第十六章_本征值问题|第十六章 本征值问题]] — Sturm-Liouville问题、正交函数系、展开定理
  - [[工程数学:第十七章_积分变换法|第十七章 积分变换法]] — 傅里叶变换解PDE、拉普拉斯变换解PDE
  - [[工程数学:第十八章_变分法|第十八章 变分法]] — 泛函极值、欧拉方程、Rayleigh-Ritz方法

===== 学习方法建议 =====

  * **理论学习**：深入理解基本概念和定理的证明过程
  * **例题研习**：通过典型例题掌握解题方法和技巧
  * **习题训练**：独立完成每章习题，巩固所学知识
  * **工程应用**：关注数学方法在工程实际问题中的应用
  * **软件辅助**：适当使用MATLAB、Mathematica等软件进行数值验证

===== 参考教材 =====

  * 梁昆淼，《数学物理方法》，高等教育出版社
  * 吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社
  * 王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概论》，北京大学出版社
  * G. B. Arfken & H. J. Weber, **Mathematical Methods for Physicists**, Academic Press
  * E. Kreyszig, **Advanced Engineering Mathematics**, Wiley

===== 数学符号说明 =====

本课程使用以下数学符号约定：

  * $i$ — 虚数单位，$i^2 = -1$
  * $\mathbb{C}$ — 复数集合
  * $\mathbb{R}$ — 实数集合
  * $\mathbb{Z}$ — 整数集合
  * $\mathbb{N}$ — 自然数集合
  * $\Re(z)$ — 复数 $z$ 的实部
  * $\Im(z)$ — 复数 $z$ 的虚部
  * $|z|$ — 复数 $z$ 的模
  * $\arg(z)$ — 复数 $z$ 的辐角
  * $\bar{z}$ 或 $z^*$ — 复数 $z$ 的共轭
  * $\nabla$ — 梯度算子（Nabla算子）
  * $\nabla^2$ 或 $\Delta$ — Laplace算子
  * $\delta(t)$ — Dirac delta函数
  * $\Gamma(z)$ — Gamma函数
  * $J_\nu(z)$ — 第一类Bessel函数
  * $P_n(x)$ — Legendre多项式

===== 课程进度安排 =====

建议按以下进度学习本课程内容：

^ 周次 ^ 学习内容 ^ 课时 ^
| 1-2 | 第一章 复数与复变函数 | 6 |
| 3-4 | 第二章 解析函数 | 6 |
| 5-6 | 第三章 复变函数的积分 | 6 |
| 7 | 第四章 级数 | 4 |
| 8 | 第五章 留数理论 | 4 |
| 9 | 第六章 保角映射 | 4 |
| 10 | 第七章 傅里叶变换 | 4 |
| 11 | 第八章 拉普拉斯变换 | 4 |
| 12 | 第九章 Z变换 | 4 |
| 13 | 第十章 常微分方程级数解法 | 4 |
| 14 | 第十一章 勒让德函数 | 4 |
| 15 | 第十二章 贝塞尔函数 | 4 |
| 16 | 第十三章 格林函数 | 4 |
| 17-18 | 第十四-十五章 数理方程与分离变量法 | 8 |
| 19 | 第十六章 本征值问题 | 4 |
| 20 | 第十七-十八章 积分变换法与变分法 | 4 |

===== 考核方式 =====

  * 平时作业：30%
  * 期中考试：20%
  * 期末考试：50%

===== 开始学习 =====

请从 [[工程数学:第一章_复数与复变函数|第一章 复数与复变函数]] 开始您的学习之旅！

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本课程所有公式均使用LaTeX格式书写，可在支持MathJax的浏览器中正确显示。如遇到公式显示问题，请检查浏览器设置或刷新页面。
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