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====== 第十七章 积分变换法 ======

===== 17.1 傅里叶变换解偏微分方程 =====

**基本思想：** 对空间变量作傅里叶变换，将PDE化为ODE求解。

**例 17.1** 无限长弦的自由振动
$$\begin{cases} u_{tt} = a^2u_{xx}, & -\infty < x < +\infty, t > 0 \\ u(x,0) = \varphi(x), & u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases}$$

**解：** 对 $x$ 作傅里叶变换，记 $\tilde{u}(\omega, t) = \mathcal{F}[u(x,t)]$

$$\frac{d^2\tilde{u}}{dt^2} = -a^2\omega^2\tilde{u}$$

解得：$\tilde{u}(\omega, t) = A(\omega)\cos(a\omega t) + B(\omega)\sin(a\omega t)$

由初始条件确定系数后，作逆变换得
$$u(x,t) = \frac{\varphi(x+at) + \varphi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi$$

这就是**达朗贝尔公式**。

===== 17.2 拉普拉斯变换解偏微分方程 =====

**基本思想：** 对时间变量作拉普拉斯变换，将PDE化为ODE。

**例 17.2** 半无限长杆的热传导
$$\begin{cases} u_t = a^2u_{xx}, & x > 0, t > 0 \\ u(x,0) = 0 \\ u(0,t) = u_0 \end{cases}$$

**解：** 对 $t$ 作拉普拉斯变换
$$s\tilde{u} = a^2\frac{d^2\tilde{u}}{dx^2}$$

解得：$\tilde{u}(x,s) = \frac{u_0}{s}e^{-\frac{\sqrt{s}}{a}x}$

查表或留数计算逆变换得
$$u(x,t) = u_0\text{erfc}\left(\frac{x}{2a\sqrt{t}}\right)$$

===== 17.3 汉克尔变换 =====

**定义 17.1（汉克尔变换）**
$$F_n(\rho) = \int_0^{\infty} rf(r)J_n(\rho r)dr$$
逆变换：
$$f(r) = \int_0^{\infty} \rho F_n(\rho)J_n(\rho r)d\rho$$

**应用：** 柱坐标下的拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。

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