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====== 第十三章 格林函数 ======

===== 13.1 引言 =====

格林函数（Green's function）是求解线性微分方程边值问题的重要工具。它将微分方程的解表示为积分形式，把微分运算转化为积分运算。格林函数方法在数学物理、量子力学、电磁学等领域有广泛应用。

===== 13.2 格林函数的基本概念 =====

==== 13.2.1 定义 ====

考虑线性微分算子 $L$ 作用于函数 $u$ 的方程：
$$Lu(x) = f(x) \quad (13.1)$$

**定义 13.1** 算子 $L$ 在给定边界条件下的**格林函数** $G(x, \xi)$ 满足：
$$LG(x, \xi) = \delta(x - \xi) \quad (13.2)$$

其中 $\delta(x - \xi)$ 是Dirac delta函数，满足：
$$\delta(x - \xi) = \begin{cases} 0, & x \neq \xi \\ \infty, & x = \xi \end{cases}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - \xi) dx = 1 \quad (13.3)$$

==== 13.2.2 解的积分表示 ====

**定理 13.1** 如果 $G(x, \xi)$ 是格林函数，则方程 $(13.1)$ 的解可表示为：
$$u(x) = \int G(x, \xi) f(\xi) d\xi \quad (13.4)$$

**证明：**
$$Lu(x) = L\int G(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int LG(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int \delta(x - \xi) f(\xi) d\xi = f(x)$$

===== 13.3 常微分方程的格林函数 =====

==== 13.3.1 二阶ODE的格林函数 ====

考虑Sturm-Liouville问题：
$$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = -f(x) \quad (13.5)$$
$$\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0 \quad (13.6)$$

**定理 13.2** 设 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 分别是齐次方程满足左、右边界条件的解，且它们在 $[a, b]$ 上线性无关（即朗斯基行列式 $W \neq 0$）。则格林函数为：
$$G(x, \xi) = \begin{cases} \frac{y_1(x)y_2(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}, & a \leq x \leq \xi \\ \frac{y_1(\xi)y_2(x)}{p(\xi)W(\xi)}, & \xi \leq x \leq b \end{cases} \quad (13.7)$$

其中 $W(\xi) = y_1(\xi)y_2'(\xi) - y_1'(\xi)y_2(\xi)$ 是朗斯基行列式。

==== 13.3.2 格林函数的性质 ====

**性质 1：对称性**
$$G(x, \xi) = G(\xi, x) \quad (13.8)$$
（对于自伴算子）

**性质 2：连续性**
$G(x, \xi)$ 在 $x = \xi$ 处连续。

**性质 3：导数跃变**
$$\left.\frac{\partial G}{\partial x}\right|_{x=\xi^+} - \left.\frac{\partial G}{\partial x}\right|_{x=\xi^-} = \frac{1}{p(\xi)} \quad (13.9)$$

==== 13.3.3 例题解析 ====

**例 13.1** 求边值问题 $y'' = -f(x)$，$y(0) = y(1) = 0$ 的格林函数。

**解：** 齐次方程 $y'' = 0$ 的通解为 $y = c_1 + c_2 x$。

满足 $y(0) = 0$ 的解：$y_1(x) = x$

满足 $y(1) = 0$ 的解：$y_2(x) = 1 - x$

朗斯基行列式：
$$W = \begin{vmatrix} x & 1-x \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -x - (1-x) = -1$$

$p(x) = 1$，所以：
$$G(x, \xi) = \begin{cases} x(1-\xi), & 0 \leq x \leq \xi \\ \xi(1-x), & \xi \leq x \leq 1 \end{cases}$$

**例 13.2** 求 $y'' + k^2 y = -f(x)$，$y(0) = y(L) = 0$ 的格林函数（$k \neq \frac{n\pi}{L}$）。

**解：** 齐次解：$y = c_1 \cos kx + c_2 \sin kx$

$y_1(x)$ 满足 $y(0) = 0$：$y_1(x) = \sin kx$

$y_2(x)$ 满足 $y(L) = 0$：$y_2(x) = \sin k(L-x)$

朗斯基行列式：
$$W = \begin{vmatrix} \sin kx & \sin k(L-x) \\ k\cos kx & -k\cos k(L-x) \end{vmatrix} = -k\sin kx \cos k(L-x) - k\cos kx \sin k(L-x)$$
$$= -k\sin(kx + k(L-x)) = -k\sin kL$$

格林函数：
$$G(x, \xi) = \begin{cases} \frac{\sin kx \cdot \sin k(L-\xi)}{k\sin kL}, & x \leq \xi \\ \frac{\sin k\xi \cdot \sin k(L-x)}{k\sin kL}, & x \geq \xi \end{cases}$$

===== 13.4 偏微分方程的格林函数 =====

==== 13.4.1 拉普拉斯方程的格林函数 ====

三维拉普拉斯算子：$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

**定义 13.2** 三维自由空间格林函数满足：
$$\nabla^2 G(\vec{r}, \vec{r}') = -\delta(\vec{r} - \vec{r}') \quad (13.10)$$

**定理 13.3** 三维自由空间格林函数为：
$$G(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{1}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.11)$$

**证明概要：** 在球坐标系中，当 $\vec{r} \neq \vec{r}'$ 时，$\nabla^2 G = 0$，解为 $G = \frac{A}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$。由积分 $\int \nabla^2 G dV = -1$ 确定 $A = \frac{1}{4\pi}$。

==== 13.4.2 亥姆霍兹方程的格林函数 ====

$$\nabla^2 G + k^2 G = -\delta(\vec{r} - \vec{r}') \quad (13.12)$$

**出射波格林函数：**
$$G^{(+)}(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.13)$$

**入射波格林函数：**
$$G^{(-)}(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{e^{-ik|\vec{r} - \vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.14)$$

==== 13.4.3 波动方程的格林函数 ====

三维波动方程：
$$\nabla^2 u - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -f(\vec{r}, t) \quad (13.15)$$

**推迟格林函数：**
$$G_R(\vec{r}, t; \vec{r}', t') = \frac{\delta(t - t' - \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c})}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.16)$$

**超前格林函数：**
$$G_A(\vec{r}, t; \vec{r}', t') = \frac{\delta(t - t' + \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c})}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.17)$$

==== 13.4.4 二维格林函数 ====

二维拉普拉斯方程：
$$\nabla^2 G = -\delta(\vec{\rho} - \vec{\rho}') \quad (13.18)$$

格林函数：
$$G(\vec{\rho}, \vec{\rho}') = -\frac{1}{2\pi}\ln|\vec{\rho} - \vec{\rho}'| \quad (13.19)$$

===== 13.5 格林函数的应用 =====

==== 13.5.1 静电学 ====

电势满足泊松方程：
$$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad (13.20)$$

解：
$$\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} d^3r' \quad (13.21)$$

==== 13.5.2 量子力学散射 ====

定态薛定谔方程：
$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})\right)\psi = E\psi \quad (13.22)$$

改写为：
$$\left(\nabla^2 + k^2\right)\psi = U(\vec{r})\psi \quad (13.23)$$

其中 $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$，$U = \frac{2mV}{\hbar^2}$。

利用格林函数，得到Lippmann-Schwinger方程：
$$\psi(\vec{r}) = \phi(\vec{r}) + \int G^{(+)}(\vec{r}, \vec{r}')U(\vec{r}')\psi(\vec{r}')d^3r' \quad (13.24)$$

===== 13.6 本征函数展开法 =====

**定理 13.4** 如果 $\{\phi_n(x)\}$ 是算子 $L$ 的正交归一本征函数系，对应本征值 $\lambda_n$，则格林函数可展开为：
$$G(x, \xi) = \sum_n \frac{\phi_n(x)\phi_n(\xi)}{\lambda_n} \quad (13.25)$$

**例 13.3** 用本征函数展开法求 $y'' = -f(x)$，$y(0) = y(\pi) = 0$ 的格林函数。

**解：** 本征值问题 $-y'' = \lambda y$，$y(0) = y(\pi) = 0$

本征值：$\lambda_n = n^2$，$n = 1, 2, 3, \ldots$

本征函数：$\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nx$

格林函数：
$$G(x, \xi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\sin nx \sin n\xi}{\pi n^2}$$

===== 13.7 习题 =====

**习题 13.1** 求边值问题 $y'' - y = -f(x)$，$y(0) = y'(0)$，$y(1) + y'(1) = 0$ 的格林函数。

**习题 13.2** 证明格林函数的对称性 $G(x, \xi) = G(\xi, x)$。

**习题 13.3** 验证例13.1中的格林函数满足导数跃变条件。

**习题 13.4** 用格林函数求解 $y'' = -1$，$y(0) = y(1) = 0$。

**习题 13.5** 证明二维拉普拉斯方程格林函数 $G = -\frac{1}{2\pi}\ln\rho$ 满足 $\nabla^2 G = -\delta(\vec{\rho})$。

**习题 13.6** 用本征函数展开法求圆域内拉普拉斯方程的格林函数。

**习题 13.7** 推导热传导方程的格林函数。

===== 13.8 本章小结 =====

1. **格林函数定义**：$LG = \delta(x - \xi)$

2. **ODE格林函数**：用齐次解构造，在 $x = \xi$ 处连续，导数有跃变

3. **PDE格林函数**：
   - 三维拉普拉斯：$G = \frac{1}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|}$
   - 二维拉普拉斯：$G = -\frac{1}{2\pi}\ln|\vec{\rho} - \vec{\rho}'|$
   - 亥姆霍兹方程：$G = \frac{e^{ikR}}{4\pi R}$

4. **应用**：将微分方程转化为积分方程，简化求解

===== 参考文献 =====

1. Stakgold, I. Green's Functions and Boundary Value Problems.
2. Barton, G. Elements of Green's Functions and Propagation.
3. Jackson, J.D. Classical Electrodynamics (Chapter on Green's functions).

====== 章节信息 ======
编辑次数：1
创建日期：2025-01-15
最后修改：2025-01-15