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====== 第十五章 分离变量法 ======

===== 15.1 引言 =====

分离变量法（Method of Separation of Variables）是求解线性偏微分方程定解问题最基本、最重要的方法。其基本思想是将多元函数表示为单变量函数的乘积，从而将偏微分方程转化为常微分方程求解。

===== 15.2 分离变量法的基本思想 =====

==== 15.2.1 基本假设 ====

设解可以表示为各变量函数的乘积形式：
$$u(x, y, z, t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t) \quad (15.1)$$

代入偏微分方程后，通过适当变形使方程两边只依赖于不同变量，从而等于常数（分离常数）。

==== 15.2.2 实施步骤 ====

**步骤 1**：设分离变量形式的解

**步骤 2**：代入方程，分离变量，得到常微分方程组

**步骤 3**：结合边界条件求解本征值问题

**步骤 4**：叠加所有本征解，利用初始条件确定系数

===== 15.3 弦振动问题 =====

==== 15.3.1 问题描述 ====

考虑两端固定的弦的自由振动：
$$u_{tt} = a^2 u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \quad (15.2)$$
$$u(0,t) = u(L,t) = 0 \quad (15.3)$$
$$u(x,0) = \varphi(x), \quad u_t(x,0) = \psi(x) \quad (15.4)$$

==== 15.3.2 分离变量 ====

设 $u(x,t) = X(x)T(t)$，代入方程：
$$X(x)T''(t) = a^2 X''(x)T(t)$$

$$\frac{T''}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \quad (15.5)$$

得到两个常微分方程：
$$X'' + \lambda X = 0 \quad (15.6)$$
$$T'' + a^2\lambda T = 0 \quad (15.7)$$

==== 15.3.3 求解本征值问题 ====

边界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ 转化为：
$$X(0) = 0, \quad X(L) = 0 \quad (15.8)$$

**情况分析：**

1. $\lambda < 0$：只有零解（舍去）
2. $\lambda = 0$：只有零解（舍去）
3. $\lambda > 0$：设 $\lambda = k^2$

$$X(x) = A\cos kx + B\sin kx$$

由 $X(0) = 0$：$A = 0$

由 $X(L) = 0$：$B\sin kL = 0$

非零解要求 $\sin kL = 0$，即 $kL = n\pi$，$n = 1, 2, 3, \ldots$

**本征值**：
$$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \quad (15.9)$$

**本征函数**：
$$X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.10)$$

==== 15.3.4 时间部分的解 ====

$$T_n'' + \left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 T_n = 0$$

解为：
$$T_n(t) = C_n\cos\frac{na\pi t}{L} + D_n\sin\frac{na\pi t}{L} \quad (15.11)$$

==== 15.3.5 叠加与系数确定 ====

一般解：
$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n\cos\frac{na\pi t}{L} + B_n\sin\frac{na\pi t}{L}\right)\sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.12)$$

由初始条件：
$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin\frac{n\pi x}{L} = \varphi(x) \quad (15.13)$$
$$u_t(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n\frac{na\pi}{L}\sin\frac{n\pi x}{L} = \psi(x) \quad (15.14)$$

利用正交性：
$$A_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \quad (15.15)$$
$$B_n = \frac{2}{na\pi}\int_0^L \psi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \quad (15.16)$$

===== 15.4 热传导问题 =====

==== 15.4.1 一维热传导 ====

$$u_t = a^2 u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \quad (15.17)$$
$$u(0,t) = u(L,t) = 0 \quad (15.18)$$
$$u(x,0) = \varphi(x) \quad (15.19)$$

设 $u(x,t) = X(x)T(t)$：
$$\frac{T'}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \quad (15.20)$$$
$$X'' + \lambda X = 0, \quad X(0) = X(L) = 0 \quad (15.21)$$

本征值和本征函数与弦振动相同：
$$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.22)$$

时间部分：
$$T_n' + \left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 T_n = 0 \Rightarrow T_n(t) = C_n e^{-\left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 t} \quad (15.23)$$

解：
$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-\left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 t}\sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.24)$$

$$A_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \quad (15.25)$$

==== 15.4.2 二维热传导 ====

$$u_t = a^2(u_{xx} + u_{yy}) \quad (15.26)$$

设 $u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$，逐步分离变量。

===== 15.5 极坐标分离变量 =====

==== 15.5.1 拉普拉斯方程 ====

二维极坐标：
$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0 \quad (15.27)$$

设 $u(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta)$：
$$\frac{r}{R}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{1}{\Theta}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} = \lambda \quad (15.28)$$

**角度部分**：
$$\Theta'' + \lambda\Theta = 0 \quad (15.29)$$

周期性边界条件 $\Theta(\theta + 2\pi) = \Theta(\theta)$ 要求 $\lambda = n^2$，$n = 0, 1, 2, \ldots$

$$\Theta_n(\theta) = \begin{cases} A_0, & n = 0 \\ A_n\cos n\theta + B_n\sin n\theta, & n \geq 1 \end{cases} \quad (15.30)$$

**径向部分**：
$$r^2 R'' + r R' - n^2 R = 0 \quad (15.31)$$

这是Euler方程，解为：
$$R_n(r) = \begin{cases} C_0 + D_0\ln r, & n = 0 \\ C_n r^n + D_n r^{-n}, & n \geq 1 \end{cases} \quad (15.32)$$

==== 15.5.2 圆域内的拉普拉斯问题 ====

若要求解在圆内有限（$r = 0$ 处），则 $D_n = 0$：
$$u(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r^n(a_n\cos n\theta + b_n\sin n\theta) \quad (15.33)$$

===== 15.6 柱坐标分离变量 =====

柱坐标 $(\rho, \varphi, z)$：
$$\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial u}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \quad (15.34)$$

设 $u = R(\rho)\Phi(\varphi)Z(z)$：
$$\frac{1}{R}\left(R'' + \frac{1}{\rho}R'\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\Phi''}{\Phi} + \frac{Z''}{Z} = 0 \quad (15.35)$$

分离得到：
$$Z'' + \mu Z = 0 \quad (15.36)$$
$$\Phi'' + m^2\Phi = 0 \quad (15.37)$$
$$\rho^2 R'' + \rho R' + (\mu\rho^2 - m^2)R = 0 \quad (15.38)$$

方程 $(15.38)$ 是Bessel方程，解为Bessel函数。

===== 15.7 球坐标分离变量 =====

球坐标 $(r, \theta, \varphi)$：
$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2} = 0 \quad (15.39)$$

设 $u = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$，分离后得到：
$$\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) - l(l+1)R = 0 \quad (15.40)$$
$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta = 0 \quad (15.41)$$
$$\Phi'' + m^2\Phi = 0 \quad (15.42)$$

方程 $(15.41)$ 是连带Legendre方程，$(15.40)$ 的解为 $r^l$ 和 $r^{-l-1}$。

===== 15.8 习题 =====

**习题 15.1** 用分离变量法求解：$u_{tt} = u_{xx}$，$u(0,t) = u(1,t) = 0$，$u(x,0) = \sin\pi x$，$u_t(x,0) = 0$。

**习题 15.2** 求解热传导问题：$u_t = u_{xx}$，$u_x(0,t) = u_x(\pi,t) = 0$，$u(x,0) = x$。

**习题 15.3** 求解圆环上的拉普拉斯方程，边界条件为 $u(a,\theta) = f(\theta)$。

**习题 15.4** 证明柱坐标分离变量后得到的径向方程是Bessel方程。

**习题 15.5** 求解矩形膜振动问题：$u_{tt} = u_{xx} + u_{yy}$，$0 < x < a$，$0 < y < b$，四边固定。

**习题 15.6** 用分离变量法求解球内拉普拉斯方程。

**习题 15.7** 讨论非齐次边界条件的处理方法。

===== 15.9 本章小结 =====

1. **基本思想**：$u = X(x)Y(y)\cdots$，将PDE化为ODE

2. **弦振动**：本征函数 $\sin\frac{n\pi x}{L}$，驻波解

3. **热传导**：指数衰减模态，本征函数与波动相同

4. **极坐标**：角度部分为三角函数，径向部分为幂函数

5. **柱坐标**：径向部分为Bessel函数

6. **球坐标**：角度部分为球谐函数，径向部分为幂函数

===== 参考文献 =====

1. Haberman, R. Applied Partial Differential Equations.
2. 谷超豪, 李大潜, 陈恕行. 数学物理方程.
3. Zauderer, E. Partial Differential Equations of Applied Mathematics.

====== 章节信息 ======
编辑次数：1
创建日期：2025-01-15
最后修改：2025-01-15