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====== 第十八章 变分法 ======

===== 18.1 泛函与变分 =====

**定义 18.1（泛函）**
设 $J[y]$ 是定义在某函数集合上的变量，若对于集合中每个函数 $y(x)$，都有唯一的数值与之对应，则称 $J[y]$ 为**泛函**。

**例：**
- $J[y] = \int_a^b y(x)dx$
- $J[y] = \int_a^b \sqrt{1 + y'^2}dx$（弧长）

**定义 18.2（变分）**
函数 $y(x)$ 的变分定义为
$$\delta y = \bar{y}(x) - y(x)$$
其中 $\bar{y}(x)$ 是与 $y(x)$ 邻近的函数。

===== 18.2 泛函极值的必要条件 =====

**欧拉方程：**
泛函
$$J[y] = \int_a^b F(x, y, y')dx$$
取极值的必要条件是
$$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0$$

**推广到多元函数：**
$$J[u] = \iint_D F(x, y, u, u_x, u_y)dxdy$$
欧拉方程为
$$\frac{\partial F}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial u_x} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial u_y} = 0$$

===== 18.3 Rayleigh-Ritz方法 =====

**基本思想：** 用有限个基函数的线性组合逼近真实解，将泛函极值问题化为多元函数极值问题。

**步骤：**
1. 选取试探函数 $y_n(x) = \sum_{i=1}^n c_i\varphi_i(x)$
2. 代入泛函，得到关于 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 的函数
3. 求多元函数极值，确定系数
4. 当 $n \to \infty$ 时，$y_n$ 收敛于真实解

**例 18.1** 用Rayleigh-Ritz法求泛函
$$J[y] = \int_0^1 (y'^2 - y^2 - 2xy)dx$$
在 $y(0) = y(1) = 0$ 下的近似解。

**解：** 取试探函数 $y_1 = c_1x(1-x)$，代入求极值得 $c_1 = \frac{5}{18}$

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