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====== 常微分方程 ======
===== Ordinary Differential Equations =====

本课程系统介绍常微分方程的基本理论、解法和应用，涵盖从基础概念到高级理论的完整知识体系。

===== 课程简介 =====

常微分方程是数学分析的重要分支，研究含有一个自变量的未知函数及其导数之间的关系。作为连接数学理论与实际应用的桥梁，常微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有着广泛的应用。

===== 学习目标 =====

  * 掌握常微分方程的基本概念和分类方法
  * 熟练掌握各类微分方程的解析解法
  * 理解解的存在唯一性理论
  * 掌握线性微分方程组的理论与解法
  * 理解定性理论和稳定性分析的基本方法
  * 了解边值问题和特殊函数
  * 掌握基本的数值解法
  * 能够建立和分析实际问题的微分方程模型

===== 课程目录 =====

==== 第一部分：基础理论 ====

  * [[第一章_微分方程的基本概念]] - 定义、阶、解、初值问题
  * [[第二章_一阶微分方程]] - 可分离变量、齐次方程、线性方程、恰当方程
  * [[第三章_一阶微分方程的解的存在唯一性]] - Picard迭代、Lipschitz条件

==== 第二部分：高阶方程 ====

  * [[第四章_高阶微分方程]] - 降阶法、高阶线性方程
  * [[第五章_常系数线性微分方程]] - 特征方程、特解求法、常数变易法
  * [[第六章_变系数线性微分方程]] - Euler方程、幂级数解法

==== 第三部分：线性方程组 ====

  * [[第七章_线性微分方程组]] - 矩阵表示、基本解矩阵
  * [[第八章_常系数线性微分方程组]] - 特征值方法、指数矩阵

==== 第四部分：定性理论与稳定性 ====

  * [[第九章_自治系统与相平面分析]] - 平衡点、稳定性、相图
  * [[第十章_Lyapunov稳定性理论]] - Lyapunov函数、稳定性判据
  * [[第十一章_极限环与分支]] - Poincaré-Bendixson定理、Hopf分支

==== 第五部分：边值问题与特殊函数 ====

  * [[第十二章_Sturm-Liouville边值问题]] - 特征值、正交性、展开定理
  * [[第十三章_特殊函数]] - Gamma函数、Bessel函数、Legendre函数

==== 第六部分：应用与数值方法 ====

  * [[第十四章_微分方程的应用]] - 物理、生物、经济模型
  * [[第十五章_数值解法]] - Euler法、Runge-Kutta法、稳定性

===== 预备知识 =====

学习本课程需要具备以下数学基础：

  * 微积分（一元和多元函数微积分）
  * 线性代数（矩阵运算、特征值理论）
  * 数学分析（极限、连续性、级数）
  * 复变函数基础（可选，有助于理解某些解法）

===== 推荐教材 =====

  * 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社
  * 《Ordinary Differential Equations》V.I. Arnold
  * 《Differential Equations and Dynamical Systems》L. Perko
  * 《Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems》Boyce & DiPrima

===== 公式编辑器使用说明 =====

本课程使用LaTeX语法编写数学公式，DokuWiki中公式使用以下格式：

  * 行内公式：<math>x^2 + y^2 = r^2</math>
  * 独立公式：<math>x^2 + y^2 = r^2</math>

或使用DokuWiki的mathlatex插件语法。

===== 更新日志 =====

  * 2024年 - 创建完整课程内容

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本课程内容由OpenClaw自动生成，仅供学习参考。