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====== 第九章 自治系统与相平面分析 ======

===== 9.1 自治系统与相空间 =====

**定义9.1.1（自治系统）**

设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{f}: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是连续可微函数。形如
$$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$$
的常微分方程组称为**自治系统**（Autonomous System）或**定常系统**。与之相对，若右端显含时间 $t$，即 $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$，则称为非自治系统。

自治系统的关键特征是：**系统的演化规律不依赖于绝对时间，只依赖于当前状态**。

**定理9.1.1（时间平移不变性）**

若 $\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)$ 是自治系统 $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$ 的解，则对任意常数 $c$，函数 $\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(t+c)$ 也是该系统的解。

*证明*：令 $\mathbf{\psi}(t) = \boldsymbol{\varphi}(t+c)$，则
$$\frac{d\mathbf{\psi}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{\varphi}}{d(t+c)} \cdot \frac{d(t+c)}{dt} = \mathbf{f}(\boldsymbol{\varphi}(t+c)) = \mathbf{f}(\mathbf{\psi}(t))$$
证毕。

**定义9.1.2（相空间与相轨线）**

对于自治系统，以 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 为坐标的空间称为**相空间**（Phase Space）。系统的一个解 $\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)$ 在相空间中描出的曲线称为**相轨线**（Phase Trajectory）或**轨道**（Orbit）。

**注**：不同的解曲线可能对应同一条相轨线（相差时间平移）。

===== 9.2 二维自治系统与相平面 =====

对于二维自治系统：
$$\begin{cases}\frac{dx}{dt} = P(x, y) \\[8pt] \frac{dy}{dt} = Q(x, y)\end{cases}$$

$(x, y)$ 平面称为**相平面**（Phase Plane）。相轨线的微分方程为：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{Q(x, y)}{P(x, y)} \quad (P(x, y) \neq 0)$$

**定义9.2.1（平衡点/奇点）**

若点 $(x^*, y^*)$ 满足 $P(x^*, y^*) = Q(x^*, y^*) = 0$，则称 $(x^*, y^*)$ 为系统的**平衡点**（Equilibrium Point）或**奇点**（Singular Point）、**驻点**（Stationary Point）。

在平衡点处，$\frac{dy}{dx}$ 无定义，相轨线可能相交。

===== 9.3 奇点的分类 =====

考虑线性自治系统：
$$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}, \quad A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

设 $\det A \neq 0$，则原点是唯一的平衡点。设 $\lambda_1, \lambda_2$ 为 $A$ 的特征值。

**情况一：实特征值**

(1) **结点（Node）**：$\lambda_1, \lambda_2$ 为同号实数
  - 当 $\lambda_1, \lambda_2 < 0$：稳定结点（渐近稳定）
  - 当 $\lambda_1, \lambda_2 > 0$：不稳定结点

(2) **鞍点（Saddle Point）**：$\lambda_1, \lambda_2$ 为异号实数，总是不稳定的。

**情况二：复特征值**

设 $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta$，$\beta \neq 0$

(3) **焦点（Focus）**：$\alpha \neq 0$
  - 当 $\alpha < 0$：稳定焦点（螺旋收敛）
  - 当 $\alpha > 0$：不稳定焦点（螺旋发散）

(4) **中心（Center）**：$\alpha = 0$，轨道为闭曲线族，李雅普诺夫稳定但非渐近稳定。

**情况三：重特征值**

(5) **退化结点/星形结点**：当特征值的几何重数小于代数重数时出现。

**判别准则**：设 $\Delta = \det A = ad - bc$，$\tau = \text{tr} A = a + d$，判别式 $\delta = \tau^2 - 4\Delta$

| 条件 | 奇点类型 | 稳定性 |
|------|----------|--------|
|$\Delta < 0$ | 鞍点 | 不稳定 |
|$\Delta > 0, \delta > 0, \tau < 0$ | 稳定结点 | 渐近稳定 |
|$\Delta > 0, \delta > 0, \tau > 0$ | 不稳定结点 | 不稳定 |
|$\Delta > 0, \delta < 0, \tau < 0$ | 稳定焦点 | 渐近稳定 |
|$\Delta > 0, \delta < 0, \tau > 0$ | 不稳定焦点 | 不稳定 |
|$\Delta > 0, \tau = 0$ | 中心 | 稳定 |

===== 9.4 线性化方法 =====

对于非线性自治系统：
$$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$$

设 $\mathbf{x}^*$ 是平衡点，在 $\mathbf{x}^*$ 附近展开：
$$\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{f}(\mathbf{x}^*) + D\mathbf{f}(\mathbf{x}^*)(\mathbf{x} - \mathbf{x}^*) + O(\|\mathbf{x} - \mathbf{x}^*\|^2)$$

由于 $\mathbf{f}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$，得线性化系统：
$$\frac{d\mathbf{\xi}}{dt} = A\mathbf{\xi}, \quad \mathbf{\xi} = \mathbf{x} - \mathbf{x}^*, \quad A = D\mathbf{f}(\mathbf{x}^*)$$

**定理9.4.1（Hartman-Grobman定理，简化版）**

若 $A$ 没有实部为零的特征值（即 $\mathbf{x}^*$ 是双曲平衡点），则非线性系统在其平衡点附近的轨线拓扑等价于线性化系统的轨线。

**例9.1**：分析系统 $\begin{cases}\dot{x} = x - y \\ \dot{y} = x^2 + y^2 - 2\end{cases}$ 的平衡点。

*解*：令 $\dot{x} = \dot{y} = 0$：
  - 由 $x = y$ 代入第二式：$2x^2 = 2$，得 $x = \pm 1$
  - 平衡点：$(1, 1)$ 和 $(-1, -1)$

雅可比矩阵：$J = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2x & 2y \end{pmatrix}$

在 $(1,1)$：$J = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$，$\det(J - \lambda I) = \lambda^2 - 3\lambda + 4 = 0$
$\lambda = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$，实部为正，故为**不稳定焦点**。

在 $(-1,-1)$：$J = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$，$\det(J - \lambda I) = \lambda^2 + \lambda - 4 = 0$
$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$，一正一负，故为**鞍点**。

===== 9.5 相平面分析技术 =====

**9.5.1 零倾线（Nullclines）**

$x$-零倾线：$P(x, y) = 0$，轨线垂直（$\dot{x} = 0$）

$y$-零倾线：$Q(x, y) = 0$，轨线水平（$\dot{y} = 0$）

平衡点即两零倾线的交点。

**9.5.2 方向场**

在相平面上各点画出向量 $(P, Q)$ 的方向，可直观了解轨线走向。

**9.5.3 能量方法**

对于保守系统 $\ddot{x} + V'(x) = 0$，令 $y = \dot{x}$，则
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{V'(x)}{y}$$

积分得能量守恒：$\frac{1}{2}y^2 + V(x) = E$（常数）

===== 9.6 解的延拓与全局行为 =====

**定义9.6.1（$\omega$-极限集与$\alpha$-极限集）**

设 $\mathbf{x}(t)$ 是定义在 $[0, +\infty)$ 上的解。点 $\mathbf{p}$ 称为该解的**$\omega$-极限点**，若存在序列 $t_n \to +\infty$ 使得 $\mathbf{x}(t_n) \to \mathbf{p}$。所有$\omega$-极限点的集合称为**$\omega$-极限集**，记为 $\omega(\mathbf{x})$。

类似可定义$\alpha$-极限集（$t \to -\infty$）。

**Poincaré-Bendixson定理（二维情形）**

设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭集，其中不含平衡点。若轨线进入 $D$ 后不再离开，则该轨线或者本身是闭轨，或者渐近趋于某闭轨。

**推论**：在 $\mathbb{R}^2$ 的有界区域内，非周期轨道的$\omega$-极限集只能是平衡点或闭轨。

===== 9.7 例题详解 =====

**例9.2**：分析Van der Pol方程的相图
$$\ddot{x} - \mu(1-x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0$$

*解*：令 $y = \dot{x}$，化为：
$$\begin{cases}\dot{x} = y \\ \dot{y} = \mu(1-x^2)y - x\end{cases}$$

唯一平衡点为 $(0, 0)$。线性化：$J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \mu \end{pmatrix}$

特征值：$\lambda^2 - \mu\lambda + 1 = 0$，$\lambda = \frac{\mu \pm \sqrt{\mu^2-4}}{2}$

  - 当 $0 < \mu < 2$：不稳定焦点
  - 当 $\mu > 2$：不稳定结点

由Poincaré-Bendixson定理，由于轨线被"拉回"原点附近的区域，必存在极限环（见第十一章）。

===== 9.8 习题 =====

**习题9.1**：求下列系统的平衡点并分类：
$$\begin{cases}\dot{x} = y \\ \dot{y} = x - x^3\end{cases}$$

**习题9.2**：绘制系统 $\begin{cases}\dot{x} = x(3-x-2y) \\ \dot{y} = y(2-x-y)\end{cases}$ 的零倾线，分析平衡点稳定性。

**习题9.3**：证明：若二维自治系统的散度 $\nabla \cdot \mathbf{f} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ 在某单连通区域内恒为正（或恒为负），则该区域不存在闭轨。

**习题9.4**：分析Lotka-Volterra捕食者-猎物模型：
$$\begin{cases}\dot{x} = ax - bxy \\ \dot{y} = -cy + dxy\end{cases}$$
其中 $x$ 为猎物数量，$y$ 为捕食者数量，$a,b,c,d > 0$。

**习题9.5**：对于系统 $\ddot{x} + x - x^3 = 0$，用能量法绘制相图，分析不同初始条件下的运动类型。