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====== 第六章 变系数线性微分方程 ======

===== 6.1 引言 =====

当线性微分方程的系数不是常数而是自变量的函数时，方程称为变系数线性微分方程。这类方程通常没有通用的初等解法，但在特定情况下（如某些系数为多项式、幂函数等），可用幂级数解法或特殊函数法求解。

本章重点介绍幂级数解法和几种重要的特殊方程。

===== 6.2 解析系数方程与幂级数解 =====

==== 6.2.1 解析函数 ====

**定义 6.1** 若函数 <math>f(x)</math> 在点 <math>x_0</math> 的某邻域内可展开为幂级数
<math>f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n</math>
则称 <math>f</math> 在 <math>x_0</math> 处**解析**。

**定理 6.1** 若方程 <math>y'' + p(x)y' + q(x)y = 0</math> 的系数 <math>p(x), q(x)</math> 在 <math>x_0</math> 处解析，则方程在 <math>x_0</math> 的某邻域内存在解析解，可表示为幂级数。

==== 6.2.2 幂级数解法 ====

设解为 <math>y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n</math>，代入方程，比较同次幂系数确定 <math>a_n</math>。

**例 6.1** 用幂级数求解 <math>y'' + y = 0</math> 在 <math>x = 0</math> 附近的解。

**解：** 设 <math>y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math>，则
<math>y' = \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}</math>
<math>y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n</math>

代入方程：
<math>\sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_n]x^n = 0</math>

故递推关系：
<math>a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots</math>

令 <math>a_0 = C_1, a_1 = C_2</math>：
<math>a_2 = -\frac{a_0}{2!}, a_4 = \frac{a_0}{4!}, \ldots, a_{2k} = \frac{(-1)^k a_0}{(2k)!}</math>
<math>a_3 = -\frac{a_1}{3!}, a_5 = \frac{a_1}{5!}, \ldots, a_{2k+1} = \frac{(-1)^k a_1}{(2k+1)!}</math>

因此：
<math>y = C_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + C_2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}</math>
<math>= C_1\cos x + C_2\sin x</math>

这与已知结果一致。

===== 6.3 正则奇点与Frobenius方法 =====

==== 6.3.1 奇点的分类 ====

**定义 6.2** 若 <math>p(x)</math> 或 <math>q(x)</math> 在 <math>x_0</math> 处不解析，则称 <math>x_0</math> 为方程的**奇点**。

**定义 6.3** 若 <math>(x-x_0)p(x)</math> 和 <math>(x-x_0)^2q(x)</math> 在 <math>x_0</math> 处解析，则称 <math>x_0</math> 为**正则奇点**；否则为**非正则奇点**。

==== 6.3.2 Frobenius方法 ====

在正则奇点 <math>x_0</math> 附近，方程有形如
<math>y = (x-x_0)^r\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n+r}</math>
的解，其中 <math>r</math> 为待定常数，<math>a_0 \neq 0</math>。

这称为**Frobenius级数**或**广义幂级数**。

代入方程后，由最低次幂系数为零得到**指标方程**，确定 <math>r</math> 的值。

===== 6.4 Legendre方程与Legendre函数 =====

==== 6.4.1 Legendre方程 ====

**定义 6.4** 方程
<math>(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0</math>
称为 **<math>n</math> 阶Legendre方程**。

==== 6.4.2 幂级数解 ====

<math>x = 0</math> 是常点。设 <math>y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k</math>，代入得递推关系：
<math>a_{k+2} = \frac{k(k+1) - n(n+1)}{(k+2)(k+1)}a_k = -\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}a_k</math>

当 <math>n</math> 为非负整数时，级数在有限项后截断，得到**Legendre多项式**。

**Legendre多项式：**
<math>P_n(x) = \sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k \frac{(2n-2k)!}{2^n k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}</math>

或Rodrigues公式：
<math>P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n</math>

前几项：
<math>P_0(x) = 1</math>
<math>P_1(x) = x</math>
<math>P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)</math>
<math>P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)</math>
<math>P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)</math>

==== 6.4.3 正交性 ====

<math>\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)dx = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \frac{2}{2n+1}, & m = n \end{cases}</math>

===== 6.5 Bessel方程与Bessel函数 =====

==== 6.5.1 Bessel方程 ====

**定义 6.5** 方程
<math>x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0</math>
称为 **<math>\nu</math> 阶Bessel方程**。

==== 6.5.2 解法 ====

<math>x = 0</math> 是正则奇点。用Frobenius方法，设 <math>y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}</math>。

指标方程：<math>r^2 - \nu^2 = 0</math>，即 <math>r = \pm \nu</math>。

**第一类Bessel函数**（<math>r = \nu \geq 0</math>）：
<math>J_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}</math>

其中 <math>\Gamma</math> 是Gamma函数。

当 <math>\nu = n</math>（非负整数）：
<math>J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(k+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}</math>

前几项：
<math>J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{64} - \cdots</math>
<math>J_1(x) = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^5}{384} - \cdots</math>

**第二类Bessel函数**（Neumann函数）：
当 <math>\nu</math> 不是整数时，<math>J_\nu(x)</math> 和 <math>J_{-\nu}(x)</math> 线性无关。

当 <math>\nu = n</math> 为整数时，定义：
<math>Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}</math>

通解：<math>y = C_1J_\nu(x) + C_2Y_\nu(x)</math>

==== 6.5.3 性质 ====

  * 递推关系：
    <math>J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x)</math>
    <math>J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) = 2J_\nu'(x)</math>
  
  * 正交性：
    <math>\int_0^1 xJ_n(\alpha_{nk}x)J_n(\alpha_{nj}x)dx = \frac{1}{2}[J_{n+1}(\alpha_{nk})]^2\delta_{kj}</math>
    其中 <math>\alpha_{nk}</math> 是 <math>J_n(x) = 0</math> 的正根。

===== 6.6 习题 =====

**习题 6.1** 用幂级数法求下列方程在 <math>x = 0</math> 附近的通解：
  a) <math>y'' - xy' - y = 0</math>
  b) <math>(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0</math>

**习题 6.2** 验证 <math>P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)</math> 满足Legendre方程（<math>n = 2</math>）。

**习题 6.3** 验证 <math>J_0(x)</math> 满足零阶Bessel方程。

**习题 6.4** 利用递推关系证明：<math>J_1'(x) = J_0(x) - \frac{1}{x}J_1(x)</math>。

**习题 6.5** 计算 <math>\int_{-1}^{1} P_2(x)P_4(x)dx</math>。

**习题 6.6** 用Frobenius方法求方程 <math>xy'' + y' + xy = 0</math>（零阶Bessel方程）在 <math>x = 0</math> 附近的级数解。

===== 6.7 参考答案 =====

**习题 6.1**
  a) <math>y = a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2^k k!} + a_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k k! x^{2k+1}}{(2k+1)!}</math>
  b) <math>y = C_1x + C_2(1 - x\text{arctanh}x)</math> 或级数形式

**习题 6.2** 直接代入验证。

**习题 6.3** 直接代入验证。

**习题 6.4** 利用递推关系 <math>J_0'(x) = -J_1(x)</math> 和 <math>J_1'(x) = J_0(x) - \frac{1}{x}J_1(x)</math>。

**习题 6.5** 0（正交性）

**习题 6.6** 级数形式即为 <math>J_0(x)</math>。

===== 6.8 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **幂级数解法**：适用于解析系数方程在常点附近
    - 设解为幂级数，代入比较系数
    - 得到递推关系确定各项系数
  
  * **Frobenius方法**：适用于正则奇点附近
    - 设解为广义幂级数 <math>(x-x_0)^r\sum a_n(x-x_0)^n</math>
    - 指标方程确定 <math>r</math>
  
  * **Legendre方程与Legendre多项式**
    - 在 <math>n</math> 为整数时有多项式解
    - 具有正交性，是重要的特殊函数
  
  * **Bessel方程与Bessel函数**
    - 在物理和工程中有广泛应用
    - 两类Bessel函数 <math>J_\nu, Y_\nu</math> 构成基本解组

这些特殊函数是数学物理方法中的重要工具。