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====== 第十三章 特殊函数 ======

===== 13.1 Gamma函数与Beta函数 =====

**定义13.1.1（Gamma函数）**

对于 $\text{Re}(z) > 0$，**Gamma函数**定义为：
$$\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt$$

**基本性质**：
1. **递推公式**：$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$
2. **正整数**：$\Gamma(n+1) = n!$，$n = 0, 1, 2, \ldots$
3. **特殊值**：$\Gamma(1) = 1$，$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$
4. **余元公式**：$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$
5. **倍元公式**：$\Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})$

**定义13.1.2（Beta函数）**

$$B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt, \quad \text{Re}(p), \text{Re}(q) > 0$$

**与Gamma函数关系**：
$$B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$

===== 13.2 Legendre函数 =====

**定义13.2.1（Legendre方程）**

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \lambda y = 0$$

或展开为：$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda y = 0$

**性质**：$x = \pm 1$ 是正则奇点。

**级数解**：设 $y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，代入得递推关系：
$$a_{n+2} = \frac{n(n+1) - \lambda}{(n+1)(n+2)}a_n$$

**定义13.2.2（Legendre多项式）**

当 $\lambda = n(n+1)$（$n = 0, 1, 2, \ldots$）时，级数退化为多项式，称为**Legendre多项式** $P_n(x)$。

**Rodrigues公式**：
$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$

**前几项**：
  - $P_0(x) = 1$
  - $P_1(x) = x$
  - $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$
  - $P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3-3x)$

**正交性**：
$$\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x)dx = \frac{2}{2n+1}\delta_{mn}$$

**母函数**：
$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n$$

===== 13.3 连带Legendre函数 =====

**定义13.3.1（连带Legendre方程）**

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \left[\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right]y = 0$$

**连带Legendre函数**：
$$P_n^m(x) = (1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x), \quad m = 0, 1, \ldots, n$$

===== 13.4 Bessel函数 =====

**定义13.4.1（Bessel方程）**

$$x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$$

或标准形式：$\frac{d}{dx}\left(x\frac{dy}{dx}\right) + \left(x - \frac{\nu^2}{x}\right)y = 0$

**级数解**：设 $y = x^\nu\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，得**第一类Bessel函数**：
$$J_\nu(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}$$

**第二类Bessel函数（Neumann函数）**：
$$Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$

**基本性质**：
1. **递推关系**：$\frac{d}{dx}[x^\nu J_\nu] = x^\nu J_{\nu-1}$
2. **渐近行为**：$J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4})$（$x \to +\infty$）
3. **零点**：$J_\nu(x)$ 有无穷多个正零点

**整数阶**：$J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$

**正交性**：设 $0 < \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots$ 是 $J_\nu(x)$ 的正零点，则
$$\int_0^1 xJ_\nu(\alpha_m x)J_\nu(\alpha_n x)dx = \frac{1}{2}[J_{\nu+1}(\alpha_n)]^2\delta_{mn}$$

===== 13.5 修正Bessel函数 =====

**定义13.5.1（修正Bessel方程）**

$$x^2y'' + xy' - (x^2 + \nu^2)y = 0$$

**修正Bessel函数**：
$$I_\nu(x) = i^{-\nu}J_\nu(ix) = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}$$

$$K_\nu(x) = \frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x) - I_\nu(x)}{\sin(\nu\pi)}$$

$I_\nu(x)$ 指数增长，$K_\nu(x)$ 指数衰减。

===== 13.6 Hermite函数 =====

**定义13.6.1（Hermite方程）**

$$y'' - 2xy' + 2\lambda y = 0$$

**Hermite多项式**（$\lambda = n$ 时）：
$$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$

**Rodrigues公式**与**母函数**：
$$e^{2xt-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}t^n$$

**正交性**：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx = 2^n n! \sqrt{\pi}\delta_{mn}$$

**前几项**：$H_0 = 1$，$H_1 = 2x$，$H_2 = 4x^2-2$

===== 13.7 Laguerre函数 =====

**定义13.7.1（Laguerre方程）**

$$xy'' + (1-x)y' + \lambda y = 0$$

**Laguerre多项式**：
$$L_n(x) = \frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})$$

**连带Laguerre多项式**：
$$L_n^k(x) = \frac{d^k}{dx^k}L_{n+k}(x)$$

满足正交性：$\int_0^\infty L_m^k(x)L_n^k(x)x^k e^{-x}dx \propto \delta_{mn}$

===== 13.8 Chebyshev多项式 =====

**定义13.8.1（Chebyshev方程）**

$$(1-x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$$

**第一类Chebyshev多项式**：
$$T_n(x) = \cos(n\arccos x)$$

**第二类Chebyshev多项式**：
$$U_n(x) = \frac{\sin((n+1)\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}$$

**性质**：$T_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上最小最大偏差。

===== 13.9 超几何函数 =====

**定义13.9.1（超几何方程）**

$$x(1-x)y'' + [c-(a+b+1)x]y' - aby = 0$$

**超几何函数**（Gauss级数）：
$$_2F_1(a,b;c;x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{x^n}{n!}, \quad |x| < 1$$

其中 $(a)_n = a(a+1)\cdots(a+n-1)$ 为Pochhammer符号。

**特殊情形**：
  - $\ln(1+x) = x\,_2F_1(1,1;2;-x)$
  - $\arcsin x = x\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};x^2)$
  - $P_n(x) = {_2F_1}(-n,n+1;1;\frac{1-x}{2})$

===== 13.10 习题 =====

**习题13.1**：证明 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$，并计算 $\Gamma(\frac{5}{2})$。

**习题13.2**：证明Legendre多项式的正交性，并计算 $\int_{-1}^1 x^2 P_3(x)dx$。

**习题13.3**：验证 $J_{1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x$，并求 $J_{-1/2}(x)$。

**习题13.4**：证明Hermite多项式的递推关系：$H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) - 2nH_{n-1}(x)$。

**习题13.5**：将 $f(x) = x^4$ 展开为Legendre多项式级数。

**习题13.6**：证明Chebyshev多项式满足 $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$。