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====== 第十四章 微分方程的应用 ======

===== 14.1 物理学应用 =====

**14.1.1 力学系统**

**牛顿第二定律**：$m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, t)$

**谐振子**：$m\ddot{x} + kx = 0$，解为 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$，$\omega = \sqrt{k/m}$

**阻尼振动**：$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$
  - $c < c_{cr} = 2\sqrt{km}$：欠阻尼，衰减振动
  - $c = c_{cr}$：临界阻尼
  - $c > c_{cr}$：过阻尼

**受迫振动**：$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)$

稳态解：$x = A\cos(\omega t - \phi)$，振幅
$$A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}$$

共振发生在 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^2}{2m^2}}$。

**14.1.2 单摆与复摆**

单摆方程：$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$

小角度近似：$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$，周期 $T = 2\pi\sqrt{l/g}$

大角度（椭圆积分）：周期依赖于振幅，用第一类完全椭圆积分表示。

**14.1.3 刚体转动**

欧拉方程：
$$\begin{cases}I_1\dot{\omega}_1 = (I_2-I_3)\omega_2\omega_3 + M_1 \\ I_2\dot{\omega}_2 = (I_3-I_1)\omega_3\omega_1 + M_2 \\ I_3\dot{\omega}_3 = (I_1-I_2)\omega_1\omega_2 + M_3\end{cases}$$

对称陀螺（$I_1 = I_2 \neq I_3$）可积，可用椭圆函数表示。

===== 14.2 电路系统 =====

**14.2.1 RLC电路**

串联RLC电路：$L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E(t)$

与阻尼谐振子数学形式相同。

**14.2.2 耦合振荡电路**

$$\begin{cases}L_1\ddot{q}_1 + \frac{q_1}{C_1} + M\ddot{q}_2 = 0 \\ L_2\ddot{q}_2 + \frac{q_2}{C_2} + M\ddot{q}_1 = 0\end{cases}$$

特征频率（简正模式）通过求解特征值问题得到。

===== 14.3 生物学应用 =====

**14.3.1 人口增长模型**

**指数增长**：$\frac{dN}{dt} = rN$，$N(t) = N_0e^{rt}$

**Logistic方程**：$\frac{dN}{dt} = rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$
  - $K$：环境容纳量
  - 解：$N(t) = \frac{K}{1+\left(\frac{K}{N_0}-1\right)e^{-rt}}$

**14.3.2 Lotka-Volterra捕食者-猎物模型**

$$\begin{cases}\frac{dx}{dt} = ax - bxy \\ \frac{dy}{dt} = -cy + dxy\end{cases}$$

其中 $x$ 为猎物，$y$ 为捕食者，$a,b,c,d > 0$。

**性质**：
1. 平衡点：$(0,0)$（鞍点），$(c/d, a/b)$（中心）
2. 存在首次积分：$H(x,y) = dx + by - c\ln x - a\ln y = \text{const}$
3. 轨道为闭曲线，种群周期性振荡

**14.3.3 传染病模型（SIR模型）**

$$\begin{cases}\frac{dS}{dt} = -\beta SI \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I\end{cases}$$

  - $S$：易感者，$I$：感染者，$R$：康复者
  - 基本再生数 $R_0 = \frac{\beta S_0}{\gamma}$
  - 若 $R_0 > 1$，发生疫情传播

===== 14.4 化学与热力学 =====

**14.4.1 化学反应动力学**

**一级反应**：$\frac{d[A]}{dt} = -k[A]$，$[A] = [A]_0e^{-kt}$

**二级反应**：$\frac{d[A]}{dt} = -k[A]^2$，$\frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A]_0} + kt$

**可逆反应**：$A \underset{k_-}{\stackrel{k_+}{\rightleftharpoons}} B$

$$\frac{d[A]}{dt} = -k_+[A] + k_-[B]$$

趋于平衡：$\frac{[B]_{eq}}{[A]_{eq}} = \frac{k_+}{k_-} = K$（平衡常数）

**14.4.2 热传导**

Fourier定律：$\mathbf{q} = -k\nabla T$

热方程：$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\nabla^2 T$，$\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$

===== 14.5 经济学应用 =====

**14.5.1 市场均衡模型**

价格调整：$\frac{dp}{dt} = k(D(p) - S(p))$

若 $D'(p) < 0 < S'(p)$，平衡点渐近稳定。

**14.5.2 索洛经济增长模型**

$$\frac{dk}{dt} = sf(k) - (n+\delta)k$$

其中 $k$ 为人均资本，$s$ 为储蓄率，$n$ 为人口增长率，$\delta$ 为折旧率。

稳态条件：$sf(k^*) = (n+\delta)k^*$

===== 14.6 控制理论 =====

**14.6.1 状态空间表示**

$$\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}, \quad \mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}$$

**14.6.2 能控性与能观性**

**能控性矩阵**：$\mathcal{C} = [B | AB | A^2B | \cdots | A^{n-1}B]$

系统能控当且仅当 $\text{rank}(\mathcal{C}) = n$。

**14.6.3 最优控制（Pontryagin原理）**

最小化 $J = \int_0^T L(x,u)dt$，受约束 $\dot{x} = f(x,u)$。

Hamiltonian：$H = L + \lambda^T f$

必要条件：$\dot{\lambda} = -\frac{\partial H}{\partial x}$，$\frac{\partial H}{\partial u} = 0$

===== 14.7 工程应用 =====

**14.7.1 结构动力学**

梁的振动：$EI\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + \rho A\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} = q(x,t)$

分离变量后化为S-L问题。

**14.7.2 流体力学**

Navier-Stokes方程：$\rho\left(\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{v} + \mathbf{f}$

边界层方程、势流等简化模型。

===== 14.8 习题 =====

**习题14.1**：质量为 $m$ 的物体在弹性系数为 $k$ 的弹簧作用下振动，初始位移 $x_0$，初速为零。求运动方程并分析临界阻尼条件。

**习题14.2**：证明Lotka-Volterra系统的首次积分 $H(x,y)$ 沿轨线守恒。

**习题14.3**：SIR模型中，证明 $S + I + R = N$（常数），并分析 $R_0$ 与疫情发展的关系。

**习题14.4**：求解串联RLC电路的零输入响应，讨论欠阻尼、临界阻尼、过阻尼三种情况。

**习题14.5**：在索洛模型中，设 $f(k) = k^\alpha$（$0 < \alpha < 1$），求稳态人均资本 $k^*$ 和稳态人均产出 $y^*$。

**习题14.6**：两个质量均为 $m$、弹簧常数均为 $k$ 的耦合振子，求简正模式和特征频率。