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====== 微分几何 ======

微分几何是数学的一个重要分支，它运用微积分和微分方程等分析工具来研究曲线、曲面以及更一般的高维流形的几何性质。这门学科在理论物理、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

===== 课程概述 =====

本课程系统地介绍微分几何的基本理论和方法，从三维欧氏空间中的曲线论和曲面论出发，逐步深入到内蕴几何、张量分析、Riemann几何等现代微分几何的核心内容。

===== 学习目标 =====

通过本课程的学习，学生将能够：

  - 掌握曲线和曲面的局部微分几何理论
  - 理解曲面的内蕴几何与Gauss绝妙定理
  - 熟练运用张量分析工具研究微分流形
  - 掌握Riemann几何的基本概念和方法
  - 了解复几何和李群的基础知识

===== 课程大纲 =====

==== 第一部分：曲线论 ====

  - [[第一章_曲线的局部理论|第一章 曲线的局部理论]] - 参数曲线、弧长参数、切向量
  - [[第二章_曲线的曲率与挠率|第二章 曲线的曲率与挠率]] - Frenet标架、曲率、挠率、Frenet公式
  - [[第三章_曲线论基本定理|第三章 曲线论基本定理]] - 存在唯一性定理、自然方程
  - [[第四章_特殊曲线|第四章 特殊曲线]] - 平面曲线、球面曲线、螺线

==== 第二部分：曲面的局部理论 ====

  - [[第五章_曲面的第一基本形式|第五章 曲面的第一基本形式]] - 曲面的参数表示、第一基本形式、弧长、面积
  - [[第六章_曲面的第二基本形式|第六章 曲面的第二基本形式]] - 法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率
  - [[第七章_曲面的结构方程|第七章 曲面的结构方程]] - Gauss方程、Codazzi方程、相容性条件
  - [[第八章_曲面论基本定理|第八章 曲面论基本定理]] - 曲面论基本定理、存在唯一性
  - [[第九章_曲面上的特殊曲线|第九章 曲面上的特殊曲线]] - 测地线、渐近曲线、曲率线

==== 第三部分：曲面的内蕴几何 ====

  - [[第十章_曲面的内蕴几何|第十章 曲面的内蕴几何]] - 等距变换、可展曲面
  - [[第十一章_Gauss-Bonnet定理|第十一章 Gauss-Bonnet定理]] - 测地曲率、Gauss-Bonnet公式、Euler示性数
  - [[第十二章_曲面的完备性|第十二章 曲面的完备性]] - 指数映射、完备曲面、Hopf-Rinow定理

==== 第四部分：张量分析与Riemann几何 ====

  - [[第十三章_张量代数|第十三章 张量代数]] - 张量、缩并、张量积、对称与反对称
  - [[第十四章_微分流形|第十四章 微分流形]] - 微分流形、切空间、切丛、向量场
  - [[第十五章_Riemann度量|第十五章 Riemann度量]] - Riemann度量、Levi-Civita联络、测地线
  - [[第十六章_曲率张量|第十六章 曲率张量]] - Riemann曲率张量、Ricci张量、数量曲率
  - [[第十七章_Sectional曲率|第十七章 Sectional曲率]] - 截面曲率、常曲率空间、空间形式
  - [[第十八章_Einstein流形|第十八章 Einstein流形]] - Einstein方程、Einstein流形、Yamabe问题

==== 第五部分：复几何与李群（选讲） ====

  - [[第十九章_Kähler几何|第十九章 Kähler几何]] - 近复结构、Kähler形式、Kähler流形
  - [[第二十章_李群与李代数|第二十章 李群与李代数]] - 李群、李代数、伴随表示、齐性空间

===== 预备知识 =====

学习本课程需要具备以下数学基础：

  - **数学分析**：极限、连续、微分、积分、级数
  - **线性代数**：向量空间、线性变换、特征值、内积空间
  - **常微分方程**：一阶方程组、存在唯一性定理
  - **拓扑学基础**（第四部分起）：拓扑空间、连续映射、紧致性

===== 主要参考书目 =====

  - do Carmo, M. P. //Differential Geometry of Curves and Surfaces//
  - O'Neill, B. //Elementary Differential Geometry//
  - 陈省身, 陈维桓. 《微分几何讲义》
  - 彭家贵, 陈卿. 《微分几何》
  - Lee, J. M. //Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature//
  - Petersen, P. //Riemannian Geometry//
  - 伍鸿熙, 沈纯理, 虞言林. 《黎曼几何初步》

===== 符号说明 =====

本课程使用以下标准符号：

  * $\mathbb{R}^n$：$n$维欧氏空间
  * $\langle \cdot, \cdot \rangle$：欧氏内积
  * $\|\cdot\|$：欧氏范数
  * $\wedge$：外积（楔积）
  * $T_pM$：流形$M$在点$p$的切空间
  * $T_p^*M$：余切空间
  * $\nabla$：协变导数（Levi-Civita联络）
  * $R$：曲率张量
  * $Ric$：Ricci张量
  * $S$：数量曲率

===== 更新日志 =====

  * 2024年：创建课程页面
  * 持续更新中...

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