跳至内容
张叶安的小站
用户工具
登录
站点工具
搜索
工具
显示页面
过去修订
反向链接
最近更改
媒体管理器
网站地图
登录
>
最近更改
媒体管理器
网站地图
您的足迹:
微分几何:第四章_特殊曲线
本页面只读。您可以查看源文件,但不能更改它。如果您觉得这是系统错误,请联系管理员。
====== 第四章 特殊曲线 ====== 本章研究几类具有特殊几何性质的曲线,包括平面曲线、球面曲线、一般螺线、Bertrand曲线等,它们在实际应用和理论研究中都有重要意义。 ===== 4.1 平面曲线 ===== ==== 4.1.1 相对曲率 ==== 平面曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (x(t), y(t))$ 可嵌入 $\mathbb{R}^3$ 为 $(x(t), y(t), 0)$,此时挠率 $\tau = 0$。 对于弧长参数化的平面曲线,切向量 $\boldsymbol{T}(s) = (\cos\theta(s), \sin\theta(s))$,其中 $\theta(s)$ 是切线与 $x$ 轴的夹角。 **定义 4.1** 函数 $$\kappa_r(s) = \frac{d\theta}{ds}$$ 称为平面曲线的**相对曲率**(signed curvature)。 相对曲率可正可负: * $\kappa_r > 0$:曲线向左转(逆时针方向) * $\kappa_r < 0$:曲线向右转(顺时针方向) **定理 4.1** 平面曲线的相对曲率与空间曲率的关系: $$\kappa = |\kappa_r|$$ ==== 4.1.2 相对曲率的计算公式 ==== 对于一般参数 $t$: $$\kappa_r = \frac{x'y'' - x''y'}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$$ 对于函数 $y = f(x)$: $$\kappa_r = \frac{f''}{(1 + f'^2)^{3/2}}$$ ==== 4.1.3 等周不等式 ==== **定理 4.2**(等周不等式)设 $C$ 是长度为 $L$ 的简单闭平面曲线,所围区域的面积为 $A$,则 $$L^2 \geq 4\pi A$$ 等号成立当且仅当 $C$ 是圆。 这是几何中最古老和最著名的不等式之一,反映了圆在所有等周长曲线中围成最大面积的最优性。 ===== 4.2 球面曲线 ===== ==== 4.2.1 球面曲线的特征 ==== **定义 4.2** 若曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 位于以原点为中心、半径为 $R$ 的球面上,即 $$|\boldsymbol{r}(s)|^2 = R^2$$ 则称该曲线为**球面曲线**。 **定理 4.3** 弧长参数化的曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 是球面曲线(半径为 $R$)当且仅当 $$\frac{\tau}{\kappa} = \frac{d}{ds}\left(\frac{\kappa'}{\tau\kappa^2}\right)$$ 且 $R^2 = \frac{1}{\kappa^2} + \frac{1}{\tau^2}\left(\frac{\kappa'}{\kappa^2}\right)^2$ ==== 4.2.2 球面曲线的几何意义 ==== 球面曲线具有特殊的几何约束:曲线的法平面总是过球心。 球面曲线的曲率和挠率满足特定的微分关系,这一关系可以用来判断给定曲率挠率函数是否能确定一条球面曲线。 ===== 4.3 一般螺线 ===== ==== 4.3.1 定义与等价条件 ==== **定义 4.3** 若曲线的切向量与固定方向 $\boldsymbol{a}$ 成定角,即 $$\langle \boldsymbol{T}, \boldsymbol{a} \rangle = \cos\alpha = \text{常数}$$ 则称该曲线为**一般螺线**(general helix)或**定倾曲线**。 **定理 4.4** 正则曲线是一般螺线当且仅当 $$\frac{\tau}{\kappa} = \text{常数}$$ *证明*:$(\Rightarrow)$ 设 $\langle \boldsymbol{T}, \boldsymbol{a} \rangle = \cos\alpha$,求导: $$\langle \kappa\boldsymbol{N}, \boldsymbol{a} \rangle = 0$$ 故 $\boldsymbol{a}$ 在密切平面内,可写为 $\boldsymbol{a} = \cos\alpha \cdot \boldsymbol{T} + \sin\alpha \cdot \boldsymbol{B}$(取适当定向)。 再求导并利用Frenet公式可得 $\tau/\kappa = \cot\alpha$。 $(\Leftarrow)$ 设 $\tau = c\kappa$,取 $\alpha$ 使得 $\cot\alpha = c$。验证 $\boldsymbol{a} = \cos\alpha \cdot \boldsymbol{T} + \sin\alpha \cdot \boldsymbol{B}$ 是常向量。$\square$ ==== 4.3.2 圆柱螺线 ==== 当曲率和挠率都是常数时,一般螺线退化为**圆柱螺线**。 圆柱螺线是最重要的一类螺线,在DNA双螺旋结构、弹簧、螺纹等自然和工程结构中广泛存在。 ===== 4.4 Bertrand曲线 ===== ==== 4.4.1 定义 ==== **定义 4.4** 两条不同的曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 称为**Bertrand侣线**(Bertrand mates),如果存在它们之间的一一对应,使得在对应点有公共的主法线。 ==== 4.4.2 特征定理 ==== **定理 4.5** 曲线 $C$ 存在Bertrand侣线当且仅当存在常数 $a, b$(不全为零)使得 $$a\kappa + b\tau = 1$$ *证明概要*:设 $C_1: \boldsymbol{r}_1(s)$,其Bertrand侣线可表示为 $$\boldsymbol{r}_2(s) = \boldsymbol{r}_1(s) + a\boldsymbol{N}_1(s)$$ (沿主法线方向偏移常数距离 $a$)。 要求 $\boldsymbol{r}_2$ 的切向量与 $\boldsymbol{N}_1$ 垂直,导出条件 $a\kappa + b\tau = 1$。$\square$ ==== 4.4.3 特例 ==== * 当 $b = 0$ 时,$\kappa = 1/a$ 为常数,曲线是圆柱螺线 * 当 $a = 0$ 时,$\tau = 1/b$ 为常数,曲线是平面曲线(平面曲线的Bertrand侣线是其平行曲线) ===== 4.5 渐开线与渐屈线 ===== ==== 4.5.1 渐开线 ==== **定义 4.5** 设 $C$ 是正则曲线,曲线 $C^*$ 称为 $C$ 的**渐开线**(involute),如果 $C^*$ 的切线是 $C$ 的法线。 弧长参数化下,$C$ 的渐开线可表示为: $$\boldsymbol{r}^*(s) = \boldsymbol{r}(s) + (c - s)\boldsymbol{T}(s)$$ 其中 $c$ 是常数。 **几何意义**:将一根拉紧的绳子从曲线 $C$ 上展开,绳端描绘的轨迹就是渐开线。 ==== 4.5.2 渐屈线 ==== **定义 4.6** 曲线 $C$ 的**渐屈线**(evolute)是 $C$ 的曲率中心的轨迹。 弧长参数化下: $$\boldsymbol{r}_e(s) = \boldsymbol{r}(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\boldsymbol{N}(s)$$ **性质**:渐屈线是原曲线所有法线的包络。 ===== 4.6 其他特殊曲线 ===== ==== 4.6.1 球面渐伸线 ==== **定义 4.7** 若曲线的切线都与某球面相切,则该曲线称为该球面的**渐伸线**。 ==== 4.6.2 Mannheim曲线 ==== **定义 4.8** 两条曲线称为**Mannheim侣线**,如果一条的主法线重合于另一条的副法线。 Mannheim曲线的特征:曲线 $C$ 是Mannheim曲线当且仅当存在常数 $a$ 使得 $$\kappa = a(\kappa^2 + \tau^2)$$ ===== 4.7 例题详解 ===== **例题 1** 证明圆的渐开线是摆线型的曲线。 *解*:设圆半径为 $a$,参数化为 $$\boldsymbol{r}(\theta) = (a\cos\theta, a\sin\theta, 0)$$ 弧长函数:$s = a\theta$,取 $c = 0$,渐开线为 $$\boldsymbol{r}^*(\theta) = (a\cos\theta, a\sin\theta, 0) + (-a\theta)(-\sin\theta, \cos\theta, 0)$$ $$= (a\cos\theta + a\theta\sin\theta, a\sin\theta - a\theta\cos\theta, 0)$$ 这是圆的渐开线,在齿轮设计中有重要应用。 **例题 2** 求圆柱螺线的渐屈线。 *解*:圆柱螺线 $\boldsymbol{r}(s) = (a\cos\frac{s}{c}, a\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c})$,$c = \sqrt{a^2+b^2}$ 曲率 $\kappa = \frac{a}{c^2}$ 为常数,主法向量 $$\boldsymbol{N}(s) = (-\cos\frac{s}{c}, -\sin\frac{s}{c}, 0)$$ 渐屈线: $$\boldsymbol{r}_e(s) = \boldsymbol{r}(s) + \frac{1}{\kappa}\boldsymbol{N}(s)$$ $$= (a\cos\frac{s}{c}, a\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c}) + \frac{c^2}{a}(-\cos\frac{s}{c}, -\sin\frac{s}{c}, 0)$$ $$= ((a - \frac{c^2}{a})\cos\frac{s}{c}, (a - \frac{c^2}{a})\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c})$$ $$= (-\frac{b^2}{a}\cos\frac{s}{c}, -\frac{b^2}{a}\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c})$$ 这也是一条圆柱螺线,位于与原螺线同轴的圆柱面上。 ===== 4.8 习题 ===== **基础练习** 1. 求抛物线 $y = x^2$ 的相对曲率,并确定曲率最大和最小的点。 2. 证明:平面曲线的曲率中心轨迹(渐屈线)是曲线的法线的包络。 3. 求椭圆 $\boldsymbol{r}(t) = (a\cos t, b\sin t, 0)$ 的渐屈线。 **进阶练习** 4. 证明:若曲线的副法向量与固定方向成定角,则 $$\frac{\tau^2}{\kappa^2 + \tau^2} = \text{常数}$$ 5. 设曲线 $C$ 满足 $\tau = c\kappa$,其中 $c$ 是常数。证明: (a) $C$ 是圆柱螺线 (b) 求圆柱的半径和螺线的螺距 6. (Salkowski曲线)求曲率 $\kappa = 1$,挠率 $\tau = \tan s$ 的曲线,并证明它是球面曲线。 **思考题** 7. 研究Bertrand侣线的几何关系:两条Bertrand侣线之间的距离是否恒定?它们的主法线夹角是否恒定? 8. 证明:若曲线的主法向量与固定方向成定角,则曲线是柱面螺线(位于圆柱面上的螺线)。 ===== 小结 ===== 本章介绍了多种具有特殊几何性质的曲线: * 平面曲线:相对曲率可正可负,等周不等式揭示圆的最优性 * 球面曲线:受球面约束,曲率和挠率满足特定关系 * 一般螺线:切向量与固定方向成定角,$\tau/\kappa = $ 常数 * Bertrand曲线:存在侣线共享主法线 * 渐开线与渐屈线:互为逆关系,在工程中有重要应用 这些特殊曲线展示了曲线论丰富的几何内容,也为实际应用提供了数学模型。
微分几何/第四章_特殊曲线.txt
· 最后更改:
2026/02/03 19:45
由
127.0.0.1
页面工具
显示页面
过去修订
反向链接
回到顶部