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====== 拓扑学 ======

拓扑学是研究空间在连续变形下保持不变的性质的数学分支，分为点集拓扑、代数拓扑和微分拓扑等，是现代数学的核心领域之一。

===== 课程概述 =====

拓扑学的主要研究内容包括：
  - **点集拓扑**：拓扑空间、连续性、连通性、紧致性
  - **代数拓扑**：基本群、同调群、同伦论
  - **同调论**：单纯同调、奇异同调、上同调
  - **流形理论**：拓扑流形、微分形式、de Rham上同调

===== 课程目录 =====

==== 点集拓扑 ====
  * [[拓扑学:第一章_拓扑空间|第一章 拓扑空间]] - 拓扑的定义、开集、闭集、邻域、基
  * [[拓扑学:第二章_连续映射与同胚|第二章 连续映射与同胚]] - 连续映射、同胚、拓扑不变量
  * [[拓扑学:第三章_连通性|第三章 连通性]] - 连通空间、道路连通、分支、局部连通
  * [[拓扑学:第四章_紧致性|第四章 紧致性]] - 紧致空间、列紧性、可数紧致、局部紧致
  * [[拓扑学:第五章_分离公理|第五章 分离公理]] - T0到T4空间、正规空间、Urysohn引理
  * [[拓扑学:第六章_可数性公理|第六章 可数性公理]] - 第一可数、第二可数、可分、Lindelöf
  * [[拓扑学:第七章_乘积空间与商空间|第七章 乘积空间与商空间]] - 乘积拓扑、商拓扑、粘合空间
  * [[拓扑学:第八章_度量空间|第八章 度量空间]] - 度量诱导的拓扑、完备化、Baire纲定理

==== 代数拓扑基础 ====
  * [[拓扑学:第九章_同伦|第九章 同伦]] - 同伦映射、形变收缩、同伦等价
  * [[拓扑学:第十章_基本群|第十章 基本群]] - 道路类、回路、基本群、计算方法
  * [[拓扑学:第十一章_覆盖空间|第十一章 覆盖空间]] - 覆盖映射、提升性质、覆盖空间分类
  * [[拓扑学:第十二章_van_Kampen定理|第十二章 van Kampen定理]] - 空间的基本群计算

==== 同调论 ====
  * [[拓扑学:第十三章_单纯复形|第十三章 单纯复形]] - 单纯形、单纯复形、三角剖分
  * [[拓扑学:第十四章_单纯同调|第十四章 单纯同调]] - 链复形、边缘算子、同调群
  * [[拓扑学:第十五章_奇异同调|第十五章 奇异同调]] - 奇异单形、链复形、同调群
  * [[拓扑学:第十六章_同调群的性质|第十六章 同调群的性质]] - 正合序列、切除定理、Mayer-Vietoris序列
  * [[拓扑学:第十七章_上同调|第十七章 上同调]] - 上链复形、上同调群、cup积

==== 流形与高级主题 ====
  * [[拓扑学:第十八章_拓扑流形|第十八章 拓扑流形]] - 流形定义、图册、可定向性
  * [[拓扑学:第十九章_微分形式|第十九章 微分形式]] - 切丛、余切丛、外微分、de Rham上同调
  * [[拓扑学:第二十章_指标定理简介|第二十章 指标定理简介]] - Euler示性数、Hirzebruch符号差定理

===== 参考教材 =====

  - 尤承业.《基础拓扑学讲义》. 北京大学出版社
  - 姜伯驹.《同调论》. 北京大学出版社
  - Munkres, J.R.《Topology》
  - Hatcher, A.《Algebraic Topology》

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