张叶安的小站

本页面只读。您可以查看源文件，但不能更改它。如果您觉得这是系统错误，请联系管理员。
====== 拓扑学 (Topology) ======

===== 课程概述 =====

拓扑学是现代数学的核心分支之一，研究在连续变形下保持不变的性质。它起源于对几何图形连续性的研究，现已发展成为具有广泛应用的基础数学学科。

本课程涵盖以下主要内容：
  - **点集拓扑**：拓扑空间的基本结构、连续映射、连通性、紧致性、分离公理
  - **代数拓扑**：同伦理论、基本群、覆盖空间、van Kampen定理
  - **同调论**：单纯同调、奇异同调、上同调理论
  - **流形与高级主题**：拓扑流形、微分形式、指标定理

===== 课程总目录 =====

==== 第一部分：点集拓扑 (Point-Set Topology) ====

  - [[第一章_拓扑空间|第一章 拓扑空间]] - 拓扑的定义、开集、闭集、邻域、基
  - [[第二章_连续映射与同胚|第二章 连续映射与同胚]] - 连续映射、同胚、拓扑不变量
  - [[第三章_连通性|第三章 连通性]] - 连通空间、道路连通、分支、局部连通
  - [[第四章_紧致性|第四章 紧致性]] - 紧致空间、列紧性、可数紧致、局部紧致
  - [[第五章_分离公理|第五章 分离公理]] - T0到T4空间、正规空间、Urysohn引理
  - [[第六章_可数性公理|第六章 可数性公理]] - 第一可数、第二可数、可分、Lindelöf
  - [[第七章_乘积空间与商空间|第七章 乘积空间与商空间]] - 乘积拓扑、商拓扑、粘合空间
  - [[第八章_度量空间|第八章 度量空间]] - 度量诱导的拓扑、完备化、Baire纲定理

==== 第二部分：代数拓扑基础 (Algebraic Topology) ====

  - [[第九章_同伦|第九章 同伦]] - 同伦映射、形变收缩、同伦等价
  - [[第十章_基本群|第十章 基本群]] - 道路类、回路、基本群、计算方法
  - [[第十一章_覆盖空间|第十一章 覆盖空间]] - 覆盖映射、提升性质、覆盖空间分类
  - [[第十二章_van Kampen定理|第十二章 van Kampen定理]] - 空间的基本群计算

==== 第三部分：同调论 (Homology Theory) ====

  - [[第十三章_单纯复形|第十三章 单纯复形]] - 单纯形、单纯复形、三角剖分
  - [[第十四章_单纯同调|第十四章 单纯同调]] - 链复形、边缘算子、同调群
  - [[第十五章_奇异同调|第十五章 奇异同调]] - 奇异单形、链复形、同调群
  - [[第十六章_同调群的性质|第十六章 同调群的性质]] - 正合序列、切除定理、Mayer-Vietoris序列
  - [[第十七章_上同调|第十七章 上同调]] - 上链复形、上同调群、cup积

==== 第四部分：流形与高级主题 (Manifolds and Advanced Topics) ====

  - [[第十八章_拓扑流形|第十八章 拓扑流形]] - 流形定义、图册、可定向性
  - [[第十九章_微分形式|第十九章 微分形式]] - 切丛、余切丛、外微分、de Rham上同调
  - [[第二十章_指标定理简介|第二十章 指标定理简介]] - Euler示性数、Hirzebruch符号差定理

===== 预备知识 =====

学习本课程需要以下数学基础：
  - 集合论基础
  - 实分析（特别是 $\\mathbb{R}^n$ 的拓扑性质）
  - 抽象代数（群论基础）
  - 线性代数

===== 参考教材 =====

主要参考书目：
  - Munkres, J.R. "Topology" (2nd Edition), Prentice Hall, 2000
  - Hatcher, A. "Algebraic Topology", Cambridge University Press, 2002
  - 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社
  - 姜伯驹, 《同调论》, 北京大学出版社

===== 学习目标 =====

完成本课程后，学生应能够：
1. 理解拓扑空间的抽象定义及相关基本概念
2. 掌握连续映射和同胚的核心性质
3. 运用代数工具（同伦、同调）研究拓扑问题
4. 理解并应用重要的拓扑不变量
5. 具备进一步学习微分几何和代数拓扑的基础

===== 关于本课程 =====

本课程采用严格的数学推导，配合大量例题和习题，帮助学习者深入理解拓扑学的核心概念和方法。每章包含详细的理论讲解、完整的推导过程、典型例题以及精选习题。

更新时间：{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTH}}-{{CURRENTDAY}}