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====== 第三章 连通性 (Connectedness) ======

===== 3.1 连通空间的定义 =====

==== 定义 3.1.1 (连通空间) ====

拓扑空间 $X$ 称为**连通**的（connected），如果不能表示为两个非空不相交开集的并。等价地，$X$ 连通当且仅当：若 $X = U \\cup V$ 且 $U, V$ 开，$U \\cap V = \\emptyset$，则 $U = \\emptyset$ 或 $V = \\emptyset$。

**等价刻画**：
  - $X$ 连通当且仅当 $X$ 的既开又闭的子集只有 $\\emptyset$ 和 $X$
  - $X$ 连通当且仅当不存在连续满射 $f: X \\to \\{0,1\\}$（离散两点空间）

==== 定理 3.1.2 ($\\mathbb{R}$ 的连通子集) ====

$\\mathbb{R}$ 的子集连通当且仅当它是区间。

**证明**：

($\\Rightarrow$) 设 $A \\subseteq \\mathbb{R}$ 连通。若 $A$ 不是区间，则存在 $a < b < c$ 使得 $a, c \\in A$ 但 $b \\notin A$。则 $A = (A \\cap (-\\infty, b)) \\cup (A \\cap (b, +\\infty))$ 是分离，矛盾。

($\\Leftarrow$) 设 $I$ 是区间，$I = U \\cup V$ 分离。取 $a \\in U, b \\in V$，不妨设 $a < b$。令 $c = \\sup(U \\cap [a,b])$。则 $c \\in \\bar{U} \\cap \\bar{V}$，但 $U, V$ 分离意味着 $\\bar{U} \\cap V = U \\cap \\bar{V} = \\emptyset$，矛盾。

===== 3.2 连通性的性质 =====

==== 定理 3.2.1 (连续映射保持连通性) ====

若 $f: X \\to Y$ 连续且 $X$ 连通，则 $f(X)$ 连通。

**证明**：设 $f(X) = U \\cup V$ 分离，则 $X = f^{-1}(U) \\cup f^{-1}(V)$ 是 $X$ 的分离，矛盾。

==== 推论 3.2.2 (介值定理) ====

设 $f: [a,b] \\to \\mathbb{R}$ 连续，$f(a) < c < f(b)$，则存在 $x \\in (a,b)$ 使 $f(x) = c$。

**证明**：$[a,b]$ 连通，故 $f([a,b])$ 是 $\\mathbb{R}$ 的连通子集，即是区间，包含 $c$。

==== 定理 3.2.3 (连通集的并) ====

设 $\\{A_\\alpha\\}$ 是 $X$ 的一族连通子集，且 $\\bigcap A_\\alpha \\neq \\emptyset$，则 $\\bigcup A_\\alpha$ 连通。

**证明**：设 $\\bigcup A_\\alpha = U \\cup V$ 分离，$p \\in \\bigcap A_\\alpha$。不妨设 $p \\in U$。对每个 $\\alpha$，$A_\\alpha = (A_\\alpha \\cap U) \\cup (A_\\alpha \\cap V)$。由于 $A_\\alpha$ 连通且 $p \\in A_\\alpha \\cap U$，有 $A_\\alpha \\subseteq U$。因此 $\\bigcup A_\\alpha \\subseteq U$，即 $V = \\emptyset$。

==== 定理 3.2.4 (连通集的闭包) ====

若 $A$ 连通且 $A \\subseteq B \\subseteq \\bar{A}$，则 $B$ 连通。

**证明**：设 $B = U \\cup V$ 分离。则 $A = (A \\cap U) \\cup (A \\cap V)$。由于 $A$ 连通，不妨设 $A \\subseteq U$。则 $\\bar{A} \\subseteq \\bar{U}$，但 $\\bar{U} \\cap V = \\emptyset$，故 $B \\cap V = \\emptyset$。

===== 3.3 道路连通 =====

==== 定义 3.3.1 (道路) ====

设 $X$ 是拓扑空间，$x, y \\in X$。从 $x$ 到 $y$ 的**道路**（path）是连续映射 $\\gamma: [0,1] \\to X$ 满足 $\\gamma(0) = x$，$\\gamma(1) = y$。

==== 定义 3.3.2 (道路连通) ====

空间 $X$ 称为**道路连通**的（path-connected），如果对任意 $x, y \\in X$，存在从 $x$ 到 $y$ 的道路。

==== 命题 3.3.3 ====

道路连通空间必连通。

**证明**：设 $X$ 道路连通，$x \\in X$。对每个 $y \\in X$，存在道路 $\\gamma_y$ 从 $x$ 到 $y$，其像 $\\gamma_y([0,1])$ 连通且包含 $x$。由定理 3.2.3，$X = \\bigcup_y \\gamma_y([0,1])$ 连通。

==== 例 3.3.4 (拓扑学家的正弦曲线) ====

令 $S = \\{(x, \\sin(1/x)) : 0 < x \\leq 1\\}$，$A = S \\cup (\\{0\\} \\times [-1,1])$。

  - $A$ 连通（$S$ 道路连通，$A \\subseteq \\bar{S}$）
  - $A$ 不道路连通（不存在从 $(0,0)$ 到 $(1, \\sin 1)$ 的道路）

===== 3.4 连通分支 =====

==== 定义 3.4.1 (连通分支) ====

$x \\in X$ 的**连通分支**（connected component）是包含 $x$ 的最大连通子集，即所有包含 $x$ 的连通子集的并。

==== 命题 3.4.2 ====

(1) 连通分支是连通闭集

(2) 不同的连通分支不相交

(3) $X$ 是各连通分支的不交并

**证明**：

(1) 由定理 3.2.3，连通分支连通。由定理 3.2.4，其闭包连通，故等于自身。

(2) 若 $C_x \\cap C_y \\neq \\emptyset$，则 $C_x \\cup C_y$ 连通，由最大性 $C_x = C_y$。

==== 定义 3.4.3 (道路连通分支) ====

类似定义**道路连通分支**（path component）。

**注**：道路连通分支是道路连通的最大子集，但未必闭。

===== 3.5 局部连通性 =====

==== 定义 3.5.1 (局部连通) ====

空间 $X$ 称为**局部连通**的（locally connected），如果对任意 $x \\in X$ 和 $x$ 的邻域 $U$，存在连通的邻域 $V$ 使得 $x \\in V \\subseteq U$。

等价地，$X$ 有由连通开集构成的基。

==== 定义 3.5.2 (局部道路连通) ====

类似定义**局部道路连通**（locally path-connected）。

==== 命题 3.5.3 ====

$X$ 局部连通当且仅当任意开集的连通分支都开。

**证明**：($\\Rightarrow$) 设 $U$ 开，$C$ 是 $U$ 的连通分支，$x \\in C$。存在连通开邻域 $V$ 使 $x \\in V \\subseteq U$。则 $V \\subseteq C$，故 $C$ 开。

($\\Leftarrow$) 设 $U$ 是 $x$ 的开邻域，$C$ 是 $U$ 的含 $x$ 的连通分支。由假设 $C$ 开，即为所求的连通邻域。

==== 定理 3.5.4 ====

连通且局部道路连通的空间道路连通。

**证明**：设 $X$ 连通且局部道路连通，$x \\in X$，$P$ 是 $x$ 的道路连通分支。对任意 $y \\in P$，存在道路连通开邻域 $U$。则 $U \\subseteq P$，故 $P$ 开。

$X \\setminus P$ 是其他道路连通分支的并，同样开。由于 $X$ 连通，$X \\setminus P = \\emptyset$。

===== 3.6 典型例题 =====

==== 例题 3.6.1 ====

证明 $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\}$（$n \\geq 2$）道路连通。

**证明**：任取 $x, y \\neq 0$。若 $x, y$ 不共线于过原点的直线，则线段 $[x,y]$ 不经过原点，即为所求道路。

若 $x, y$ 共线，取 $z$ 不在该直线上。则 $[x,z] \\cup [z,y]$ 是道路。

==== 例题 3.6.2 ====

设 $A \\subseteq \\mathbb{R}^2$ 可数，证明 $\\mathbb{R}^2 \\setminus A$ 道路连通。

**证明**：任取 $x, y \\in \\mathbb{R}^2 \\setminus A$。过 $x$ 的直线有不可数多条，其中只有可数多条与 $A$ 相交。同理对 $y$。故存在过 $x$ 的直线 $l_x$ 和过 $y$ 的直线 $l_y$ 都不交 $A$ 且相交于某点 $z \\notin A$。则折线 $x \\to z \\to y$ 是道路。

===== 3.7 习题 =====

**习题 3.1** 证明：$X$ 连通当且仅当任意连续映射 $f: X \\to \\mathbb{Z}$（离散拓扑）是常值映射。

**习题 3.2** 设 $A \\subseteq X$ 连通，$A \\subseteq B \\subseteq \\bar{A}$，证明 $B$ 连通。

**习题 3.3** 证明：积空间 $\\prod X_\\alpha$ 连通当且仅当每个 $X_\\alpha$ 连通。

**习题 3.4** 设 $f: S^1 \\to \\mathbb{R}$ 连续，证明存在 $x$ 使 $f(x) = f(-x)$。

**习题 3.5** 证明：拓扑学家的正弦曲线不道路连通。

**习题 3.6** 证明：$GL(n, \\mathbb{R})$ 有两个道路连通分支（行列式正负）。

**习题 3.7** 设 $X$ 局部连通，证明：开集的连通分支开，闭集的连通分支闭。

**习题 3.8** 构造一个连通但不局部连通的例子。

**习题 3.9** 证明：$\\mathbb{R}^n$ 的连通开集道路连通。

**习题 3.10** 设 $f: [0,1] \\to [0,1]$ 连续，证明存在不动点。