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====== 第九章 同伦 (Homotopy) ======

===== 9.1 同伦的概念 =====

==== 定义 9.1.1 (同伦) ====

设 $X, Y$ 是拓扑空间，$f, g: X \\to Y$ 是连续映射。**同伦**（homotopy）是连续映射 $H: X \\times [0,1] \\to Y$ 使得：
$$H(x, 0) = f(x), \\quad H(x, 1) = g(x)$$

若存在这样的 $H$，称 $f$ **同伦于** $g$，记作 $f \\simeq g$ 或 $f \\simeq_H g$。

**直观**：同伦是映射的连续形变，$t$ 是形变参数。

==== 命题 9.1.2 ====

同伦是等价关系。

**证明**：

  - 自反：$H(x,t) = f(x)$
  - 对称：若 $H: f \\simeq g$，则 $\\tilde{H}(x,t) = H(x, 1-t): g \\simeq f$
  - 传递：若 $H: f \\simeq g$，$K: g \\simeq h$，则
$$L(x,t) = \\begin{cases} H(x, 2t) & 0 \\leq t \\leq 1/2 \\\\ K(x, 2t-1) & 1/2 \\leq t \\leq 1 \\end{cases}$$
是 $f$ 到 $h$ 的同伦。

===== 9.2 相对同伦与映射类 =====

==== 定义 9.2.1 (相对同伦) ====

设 $A \\subseteq X$，$f, g: X \\to Y$ 满足 $f|_A = g|_A$。称 $f$ **相对于 $A$ 同伦于** $g$，记作 $f \\simeq g \\text{ rel } A$，如果存在同伦 $H$ 使得对所有 $a \\in A$ 和 $t \\in [0,1]$，$H(a,t) = f(a) = g(a)$。

==== 定义 9.2.2 (映射的同伦类) ====

$[X, Y]$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射的同伦类集合。

==== 命题 9.2.3 (同伦与复合) ====

若 $f \\simeq f'$，$g \\simeq g'$，且复合 $g \\circ f$ 有意义，则 $g \\circ f \\simeq g' \\circ f'$。

**证明**：设 $H: f \\simeq f'$，$K: g \\simeq g'$。则 $g \\circ H: g \\circ f \\simeq g \\circ f'$，且 $K \\circ (f' \\times \\text{id}): g \\circ f' \\simeq g' \\circ f'$。

===== 9.3 形变收缩 =====

==== 定义 9.3.1 (收缩) ====

设 $A \\subseteq X$。连续映射 $r: X \\to A$ 称为**收缩**（retraction），如果 $r|_A = \\text{id}_A$（即 $r(a) = a$ 对所有 $a \\in A$）。

==== 定义 9.3.2 (形变收缩) ====

收缩 $r: X \\to A$ 称为**形变收缩**（deformation retraction），如果 $i \\circ r \\simeq \\text{id}_X \\text{ rel } A$，其中 $i: A \\hookrightarrow X$ 是包含。

等价地，存在 $H: X \\times [0,1] \\to X$ 使得：
  - $H(x,0) = x$，$H(x,1) \\in A$
  - $H(a,t) = a$ 对所有 $a \\in A$

==== 例 9.3.3 ====

  - $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\}$ 形变收缩到 $S^{n-1}$：$H(x,t) = (1-t)x + t\\frac{x}{|x|}$
  - Möbius 带形变收缩到其中线（同胚于 $S^1$）

===== 9.4 同伦等价 =====

==== 定义 9.4.1 (同伦等价) ====

空间 $X$ 和 $Y$ 称为**同伦等价**（homotopy equivalent），记作 $X \\simeq Y$，如果存在映射 $f: X \\to Y$，$g: Y \\to X$ 使得：
$$g \\circ f \\simeq \\text{id}_X, \\quad f \\circ g \\simeq \\text{id}_Y$$

称 $f$ 是**同伦等价**，$g$ 是 $f$ 的**同伦逆**。

==== 命题 9.4.2 ====

同伦等价是等价关系。

==== 命题 9.4.3 ====

若 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核，则 $A \\simeq X$。

**证明**：取 $f = i: A \\hookrightarrow X$，$g = r: X \\to A$。则 $r \\circ i = \\text{id}_A$，$i \\circ r \\simeq \\text{id}_X$。

==== 例 9.4.4 ====

  - $\\mathbb{R}^n \\simeq \\{点\\}$：$\\mathbb{R}^n$ 可缩
  - $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\simeq S^{n-1}$
  - 穿孔环面 $\\simeq S^1 \\vee S^1$

===== 9.5 可缩空间 =====

==== 定义 9.5.1 (可缩空间) ====

空间 $X$ 称为**可缩**的（contractible），如果 $X \\simeq \\{点\\}$。

等价地，$\\text{id}_X$ 同伦于常值映射。

==== 命题 9.5.2 ====

可缩空间必道路连通。

**证明**：设 $H: \\text{id}_X \\simeq c_{x_0}$（常值于 $x_0$）。则对任意 $x$，$\\gamma(t) = H(x,t)$ 是从 $x$ 到 $x_0$ 的道路。

==== 例 9.5.3 ====

  - 凸集（特别是 $\\mathbb{R}^n$）可缩
  - 星形区域可缩

==== 例 9.5.4 (不可缩空间) ====

$S^n$（$n \\geq 1$）、$S^1 \\vee S^1$ 不可缩。

===== 9.6 同伦不变量 =====

==== 定义 9.6.1 (同伦不变量) ====

拓扑空间的性质 $P$ 称为**同伦不变量**，如果 $X \\simeq Y$ 且 $X$ 有 $P$，则 $Y$ 也有 $P$。

同伦等价比同胚更弱，所以同伦不变量是同胚不变量。

==== 例 9.6.2 ====

  - 道路连通分支个数是同伦不变量
  - 基本群（见第十章）是同伦不变量
  - 同调群（见第十三至十七章）是同伦不变量

===== 9.7 典型例题 =====

==== 例题 9.7.1 ====

证明 $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\simeq S^{n-1}$。

**证明**：定义 $r: \\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\to S^{n-1}$，$r(x) = x/|x|$。这是收缩。定义 $H(x,t) = (1-t)x + tx/|x|$，则 $H: \\text{id} \\simeq i \\circ r$。故 $r$ 是形变收缩，$\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\simeq S^{n-1}$。

==== 例题 9.7.2 ====

证明：$X$ 可缩当且仅当对任意空间 $Y$，任意两映射 $f, g: Y \\to X$ 同伦。

**证明**：($\\Rightarrow$) 设 $H: \\text{id}_X \\simeq c_{x_0}$。则 $H \\circ (f \\times \\text{id}): f \\simeq c_{x_0} \\circ f = c_{x_0}$，同理 $g \\simeq c_{x_0}$，故 $f \\simeq g$。

($\\Leftarrow$) 取 $Y = X$，$f = \\text{id}_X$，$g$ 为常值映射。

===== 9.8 习题 =====

**习题 9.1** 证明：若 $f \\simeq g: X \\to Y$，$h: Y \\to Z$ 连续，则 $h \\circ f \\simeq h \\circ g$。

**习题 9.2** 证明：$[X, Y]$ 的基数是同伦不变量。

**习题 9.3** 证明：$S^1$ 不是 $D^2$ 的收缩核。

**习题 9.4** 证明：Möbius 带形变收缩到其中线。

**习题 9.5** 证明：$X \\times Y \\simeq Y \\times X$。

**习题 9.6** 证明：可缩空间的收缩核可缩。

**习题 9.7** 证明：若 $X$ 可缩，$Y$ 道路连通，则 $[X, Y]$ 只有一个元素。

**习题 9.8** 证明：$S^n$ 不可缩（提示：利用第十章基本群或第十七章同调）。

**习题 9.9** 研究 $S^1 \\vee S^1$ 的同伦型。

**习题 9.10** 证明：道路连通性是同伦不变量。