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====== 第六章 可数性公理 (Countability Axioms) ======

===== 6.1 第一可数性 =====

==== 定义 6.1.1 (第一可数) ====

空间 $X$ 称为 **第一可数**（first countable），如果对每个 $x \\in X$，存在可数的邻域基。即存在可数族 $\\{U_n\\}_{n=1}^\\infty$ 使得对任意邻域 $N$ 包含 $x$，存在 $n$ 使 $U_n \\subseteq N$。

==== 例 6.1.2 ====

  - 度量空间是第一可数：$\\{B(x, 1/n) : n \\in \\mathbb{N}\\}$ 是邻域基
  - 不可数集上的余可数拓扑不是第一可数

==== 命题 6.1.3 ====

在第一可数空间中：

(1) $x \\in \\bar{A}$ 当且仅当存在 $A$ 中的序列收敛于 $x$

(2) $f: X \\to Y$ 连续当且仅当序列连续

===== 6.2 第二可数性 =====

==== 定义 6.2.1 (第二可数) ====

空间 $X$ 称为 **第二可数**（second countable），如果它有可数的拓扑基。

==== 例 6.2.2 ====

  - $\\mathbb{R}^n$ 是第二可数：$\\{B(q, 1/n) : q \\in \\mathbb{Q}^n, n \\in \\mathbb{N}\\}$
  - 不可数离散空间不是第二可数

==== 定理 6.2.3 ====

第二可数空间必是第一可数、可分、Lindelöf。

**证明**：

  - 第一可数：对 $x$，取基中包含 $x$ 的元素即得邻域基
  - 可分：从每个基元素取一点
  - Lindelöf：每个开覆盖可被可数子族覆盖

===== 6.3 可分空间 =====

==== 定义 6.3.1 (可分空间) ====

空间 $X$ 称为 **可分**的（separable），如果存在可数稠密子集 $D$（即 $\\bar{D} = X$）。

==== 例 6.3.2 ====

  - $\\mathbb{R}^n$ 可分：$\\mathbb{Q}^n$ 稠密
  - $\\ell^\\infty$ 不可分

==== 命题 6.3.3 ====

第二可数 $\\Rightarrow$ 可分

**证明**：设 $\\mathcal{B} = \\{B_n\\}$ 可数基。取 $x_n \\in B_n$，则 $\\{x_n\\}$ 稠密。

**注**：逆命题不成立。存在可分但不第二可数的空间。

===== 6.4 Lindelöf 空间 =====

==== 定义 6.4.1 (Lindelöf 空间) ====

空间 $X$ 称为 **Lindelöf**的，如果每个开覆盖都有可数子覆盖。

==== 定理 6.4.2 ====

第二可数空间是 Lindelöf。

**证明**：设 $\\mathcal{B} = \\{B_n\\}$ 可数基，$\\mathcal{U}$ 是开覆盖。对每个 $n$，若 $B_n$ 包含于某 $U \\in \\mathcal{U}$，选取一个这样的 $U_n$。则 $\\{U_n\\}$ 可数且覆盖 $X$。

==== 定理 6.4.3 ====

正则的Lindelöf空间是正规空间。

**证明**：设 $A, B$ 不交闭。对每个 $x \\in A$，由正则性，存在开 $U_x$ 使 $x \\in U_x \\subseteq \\bar{U}_x \\subseteq X \\setminus B$。$\\{U_x\\}$ 覆盖 $A$，Lindelöf 给出可数子覆盖 $\\{U_n\\}$。类似得 $\\{V_n\\}$ 覆盖 $B$。

令 $U'_n = U_n \\setminus \\bigcup_{i=1}^n \\bar{V}_i$，$V'_n = V_n \\setminus \\bigcup_{i=1}^n \\bar{U}_i$。则 $U = \\bigcup U'_n$ 和 $V = \\bigcup V'_n$ 分离 $A, B$。

===== 6.5 各可数性公理的关系 =====

$$\\text{第二可数} \\Rightarrow \\begin{cases} \\text{第一可数} \\\\ \\text{可分} \\\\ \\text{Lindelöf} \\end{cases}$$

各箭头不可逆（需适当反例）。

==== 例 6.5.1 (Sorgenfrey 直线) ====

$\\mathbb{R}$ 上取**下极限拓扑**：基为 $\\{[a, b) : a < b\\}$。

  - 第一可数：$\\{[x, x+1/n)\\}$ 是邻域基
  - 可分：$\\mathbb{Q}$ 稠密
  - 非第二可数
  - Lindelöf？否

===== 6.6 典型例题 =====

==== 例题 6.6.1 ====

证明：紧致的度量空间是第二可数。

**证明**：对每个 $n$，$\\{B(x, 1/n) : x \\in X\\}$ 是开覆盖，取有限子覆盖对应球心 $\\{x_{n,1}, \\ldots, x_{n,k_n}\\}$。则 $\\{B(x_{n,i}, 1/n) : n \\in \\mathbb{N}, 1 \\leq i \\leq k_n\\}$ 是可数基。

**验证**：设 $U$ 开，$x \\in U$。存在 $\\epsilon > 0$ 使 $B(x, \\epsilon) \\subseteq U$。取 $n$ 使 $2/n < \\epsilon$。则某 $B(x_{n,i}, 1/n)$ 包含 $x$，且 $B(x_{n,i}, 1/n) \\subseteq B(x, 2/n) \\subseteq U$。

==== 例题 6.6.2 ====

证明：可分度量空间是第二可数。

**证明**：设 $D = \\{d_n\\}$ 可数稠密。则 $\\{B(d_n, 1/m) : n, m \\in \\mathbb{N}\\}$ 是基。

===== 6.7 习题 =====

**习题 6.1** 证明：子空间遗传性：第一可数、第二可数的子空间同性质。

**习题 6.2** 证明：可分度量空间是第二可数。

**习题 6.3** 证明：连续开映射保持第一可数性。

**习题 6.4** 证明：积空间 $\\prod_{i=1}^\\infty X_i$ 第一可数当且仅当每个 $X_i$ 第一可数。

**习题 6.5** 证明：$[0,1]^I$（$I$ 不可数）不是第一可数。

**习题 6.6** 证明：Lindelöf 的连续像是 Lindelöf。

**习题 6.7** 证明：正则的Lindelöf空间是正规的。

**习题 6.8** 构造一个第一可数但不第二可分的空间。

**习题 6.9** 证明：紧致Hausdorff空间可度量化当且仅当第二可数。

**习题 6.10** 研究 Sorgenfrey 平面的性质（$\\mathbb{R}_l \\times \\mathbb{R}_l$）。