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====== 第十七章 上同调 (Cohomology) ======

===== 17.1 上链复形 =====

==== 定义 17.1.1 (上链群) ====

设 $S_n(X)$ 是奇异链群。**上链群** $S^n(X; G) = \\text{Hom}(S_n(X), G)$，即同态 $\\varphi: S_n(X) \\to G$。

==== 定义 17.1.2 (上边缘算子) ====

**上边缘算子** $\\delta^n: S^n(X) \\to S^{n+1}(X)$：
$$(\\delta \\varphi)(\\sigma) = \\varphi(\\partial \\sigma)$$

即 $\\delta = \\partial^*$（对偶）。

==== 定理 17.1.3 ($\\delta^2 = 0$) ====

$\\delta \\circ \\delta = 0$

**证明**：$\\delta^2 = (\\partial^*)^2 = (\\partial^2)^* = 0$。

===== 17.2 上同调群 =====

==== 定义 17.2.1 (上同调群) ====

$$H^n(X; G) = \\ker(\\delta^n) / \\text{im}(\\delta^{n-1})$$

==== 定理 17.2.2 (万有系数定理) ====

$$0 \\to \\text{Ext}(H_{n-1}(X), G) \\to H^n(X; G) \\to \\text{Hom}(H_n(X), G) \\to 0$$

===== 17.3 杯积 =====

==== 定义 17.3.1 (杯积) ====

对 $\\varphi \\in S^p(X)$，$\\psi \\in S^q(X)$，定义**杯积** $\\varphi \\smile \\psi \\in S^{p+q}(X)$：
$$(\\varphi \\smile \\psi)(\\sigma) = \\varphi(\\sigma|_{[v_0, \\ldots, v_p]}) \\cdot \\psi(\\sigma|_{[v_p, \\ldots, v_{p+q}]})$$

==== 定理 17.3.2 ====

杯积诱导 $H^p(X) \\otimes H^q(X) \\to H^{p+q}(X)$，使 $H^*(X)$ 成为**分次环**。

===== 17.4 上同调环 =====

==== 定理 17.4.1 (分次交换性) ====

$$[\\alpha] \\smile [\\beta] = (-1)^{pq} [\\beta] \\smile [\\alpha]$$

==== 例 17.4.2 ($S^n$) ====

$H^*(S^n) = \\mathbb{Z}[x]/(x^2)$，$|x| = n$。

==== 例 17.4.3 ($\\mathbb{C}P^n$) ====

$H^*(\\mathbb{C}P^n) = \\mathbb{Z}[y]/(y^{n+1})$，$|y| = 2$。

===== 17.5 Poincaré 对偶 =====

==== 定理 17.5.1 (Poincaré 对偶) ====

设 $M$ 是 $n$ 维闭可定向流形。则：
$$H^k(M) \\cong H_{n-k}(M)$$

===== 17.6 习题 =====

**习题 17.1** 验证 $\\delta^2 = 0$。

**习题 17.2** 计算 $H^*(S^1 \\vee S^1)$。

**习题 17.3** 证明杯积的分次交换性。

**习题 17.4** 计算 $H^*(T^2)$。

**习题 17.5** 证明Poincaré对偶蕴含欧拉示性数为零（奇数维可定向流形）。

**习题 17.6** 研究 $\\mathbb{R}P^n$ 的上同调环。

**习题 17.7** 计算 $H^*(S^p \\times S^q)$。

**习题 17.8** 证明杯积可检测映射度。

**习题 17.9** 研究Leray-Hirsch定理。

**习题 17.10** 计算 $\\mathbb{C}P^n$ 和 $\\mathbb{H}P^n$ 的上同调环。