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====== 第十五章 奇异同调 (Singular Homology) ======

===== 15.1 奇异单形 =====

==== 定义 15.1.1 (标准单形) ====

**标准 $n$ 单形**：
$$\\Delta^n = \\{(t_0, \\ldots, t_n) \\in \\mathbb{R}^{n+1} : t_i \\geq 0, \\sum t_i = 1\\}$$

==== 定义 15.1.2 (奇异单形) ====

拓扑空间 $X$ 中的**奇异 $n$ 单形**是连续映射 $\\sigma: \\Delta^n \\to X$。

**注**："奇异"指不必是嵌入，可以是退化映射。

===== 15.2 奇异链复形 =====

==== 定义 15.2.1 (奇异链群) ====

$X$ 的**奇异 $n$ 链群** $S_n(X)$ 是由奇异 $n$ 单形生成的自由Abel群。

==== 定义 15.2.2 (面映射) ====

第 $i$ 个**面映射** $F^i: \\Delta^{n-1} \\to \\Delta^n$：
$$F^i(t_0, \\ldots, t_{n-1}) = (t_0, \\ldots, t_{i-1}, 0, t_i, \\ldots, t_{n-1})$$

==== 定义 15.2.3 (边缘算子) ====

**奇异边缘算子** $\\partial_n: S_n(X) \\to S_{n-1}(X)$：
$$\\partial_n(\\sigma) = \\sum_{i=0}^n (-1)^i \\sigma \\circ F^i$$

==== 定理 15.2.4 ($\\partial^2 = 0$) ====

$\\partial_{n-1} \\circ \\partial_n = 0$

===== 15.3 奇异同调群 =====

==== 定义 15.3.1 (奇异同调群) ====

$$H_n(X) = \\ker(\\partial_n) / \\text{im}(\\partial_{n+1})$$

==== 定理 15.3.2 (与单纯同调的关系) ====

若 $X = ||K||$ 是多面体，则 $H_n^{singular}(X) \\cong H_n^{simplicial}(K)$。

===== 15.4 诱导同态 =====

==== 定义 15.4.1 ====

连续映射 $f: X \\to Y$ 诱导 $f_\\sharp: S_n(X) \\to S_n(Y)$，$f_\\sharp(\\sigma) = f \\circ \\sigma$。

==== 定理 15.4.2 ====

(1) $f_\\sharp$ 与 $\\partial$ 交换：$f_\\sharp \\partial = \\partial f_\\sharp$

(2) 诱导同态 $f_*: H_n(X) \\to H_n(Y)$

(3) $(g \\circ f)_* = g_* \\circ f_*$

===== 15.5 同伦不变性 =====

==== 定理 15.5.1 ====

若 $f \\simeq g: X \\to Y$，则 $f_* = g_*: H_n(X) \\to H_n(Y)$。

**证明概要**：构造链同伦 $P: S_n(X) \\to S_{n+1}(Y)$ 使得 $\\partial P + P \\partial = g_\\sharp - f_\\sharp$。

==== 推论 15.5.2 ====

同伦等价的空间有同构的奇异同调群。

===== 15.6 约化同调 =====

==== 定义 15.6.1 (增广) ====

增广 $\\epsilon: S_0(X) \\to \\mathbb{Z}$，$\\epsilon(\\sum n_i x_i) = \\sum n_i$。

==== 定义 15.6.2 (约化同调) ====

**约化同调群** $\\tilde{H}_n(X)$ 是增广链复形的同调：
$$\\cdots \\to S_1(X) \\to S_0(X) \\xrightarrow{\\epsilon} \\mathbb{Z} \\to 0$$

有 $\\tilde{H}_n(X) = H_n(X)$（$n > 0$），$\\tilde{H}_0(X) \\oplus \\mathbb{Z} = H_0(X)$。

===== 15.7 典型计算 =====

==== 例 15.7.1 (可缩空间) ====

$X$ 可缩 $\\Rightarrow H_n(X) = \\begin{cases} \\mathbb{Z} & n = 0 \\\\ 0 & n > 0 \\end{cases}$

==== 例 15.7.2 ($S^n$) ====

$H_k(S^n) = \\begin{cases} \\mathbb{Z} & k = 0, n \\\\ 0 & \\text{otherwise} \\end{cases}$

===== 15.8 习题 =====

**习题 15.1** 验证奇异边缘算子满足 $\\partial^2 = 0$。

**习题 15.2** 证明：$H_n(X)$ 对同伦等价不变。

**习题 15.3** 计算 $H_n(\\vee_k S^1)$（$k$ 个圆 wedged 于一点）。

**习题 15.4** 证明：$X$ 道路连通当且仅当 $\\tilde{H}_0(X) = 0$。

**习题 15.5** 研究 $H_n(X \\vee Y)$。

**习题 15.6** 证明：若 $A \\subseteq X$ 是形变收缩核，则 $H_n(X, A) = 0$。

**习题 15.7** 计算 $H_n(T^2)$ 用奇异同调。

**习题 15.8** 证明Mayer-Vietoris序列的正合性。

**习题 15.9** 研究 $\\mathbb{R}^n$ 的同调群。

**习题 15.10** 计算透镜空间的同调群。