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====== 数值分析 ======

===== 课程概述 =====

**数值分析**（Numerical Analysis）是研究用计算机求解数学问题的数值近似方法的科学。它是数学与计算机科学的交叉学科，在科学计算、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。

本课程系统地介绍数值计算的基本理论、基本方法以及误差分析，使学生掌握常用的数值算法，具备分析算法收敛性和稳定性的能力，为后续专业课程学习和科学研究奠定基础。

===== 课程目标 =====

  - 掌握数值计算的基本概念和误差分析方法
  - 熟练掌握插值、逼近、数值微积分等基本方法
  - 掌握线性方程组和非线性方程的数值解法
  - 理解常微分方程的数值解法及其稳定性分析
  - 具备编制数值计算程序和分析算法性能的能力

===== 主要内容 =====

本课程共分为四大部分，十六章内容：

==== 第一部分：插值与逼近 ====

  - [[数值分析:第一章_插值法|第一章 插值法]] - Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值
  - [[数值分析:第二章_样条插值|第二章 样条插值]] - 三次样条、B样条、样条逼近
  - [[数值分析:第三章_最佳逼近|第三章 最佳逼近]] - 范数、最佳一致逼近、最佳平方逼近
  - [[数值分析:第四章_正交多项式|第四章 正交多项式]] - Legendre多项式、Chebyshev多项式、正交展开
  - [[数值分析:第五章_曲线拟合的最小二乘法|第五章 曲线拟合的最小二乘法]] - 线性拟合、多项式拟合、非线性拟合

==== 第二部分：数值微积分 ====

  - [[数值分析:第六章_数值积分|第六章 数值积分]] - Newton-Cotes公式、复化求积、Romberg积分、Gauss求积
  - [[数值分析:第七章_数值微分|第七章 数值微分]] - 差分公式、外推法、Richardson外推

==== 第三部分：线性方程组数值解 ====

  - [[数值分析:第八章_直接法|第八章 直接法]] - Gauss消去、LU分解、Cholesky分解、追赶法
  - [[数值分析:第九章_迭代法|第九章 迭代法]] - Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代、收敛性
  - [[数值分析:第十章_共轭梯度法|第十章 共轭梯度法]] - 最速下降法、共轭梯度法、预处理

==== 第四部分：非线性方程与矩阵特征值 ====

  - [[数值分析:第十一章_非线性方程求解|第十一章 非线性方程求解]] - 二分法、Newton法、割线法、迭代法
  - [[数值分析:第十二章_非线性方程组|第十二章 非线性方程组]] - Newton迭代法、拟Newton法
  - [[数值分析:第十三章_矩阵特征值计算|第十三章 矩阵特征值计算]] - 幂法、反幂法、QR方法

==== 第五部分：常微分方程数值解 ====

  - [[数值分析:第十四章_Euler方法|第十四章 Euler方法]] - 显式Euler、隐式Euler、梯形法
  - [[数值分析:第十五章_Runge-Kutta方法|第十五章 Runge-Kutta方法]] - 二阶、四阶RK方法、稳定性分析
  - [[数值分析:第十六章_线性多步法|第十六章 线性多步法]] - Adams方法、稳定性、收敛性

===== 预备知识 =====

学习本课程需要具备以下数学基础：

  - **数学分析**：极限、连续、微分、积分、级数
  - **线性代数**：矩阵运算、行列式、特征值、向量空间
  - **常微分方程**：基本概念和解法
  - **编程基础**：至少掌握一种编程语言（如Python、MATLAB、C++等）

===== 参考文献 =====

1. 李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析（第5版）. 清华大学出版社, 2008.
2. 关治, 陆金甫. 数值分析基础. 高等教育出版社, 1998.
3. Burden R L, Faires J D. Numerical Analysis (9th Edition). Cengage Learning, 2011.
4. Quarteroni A, Sacco R, Saleri F. Numerical Mathematics. Springer, 2007.
5. Stoer J, Bulirsch R. Introduction to Numerical Analysis. Springer, 2002.

===== 学习建议 =====

1. **理论联系实际**：既要理解算法的数学原理，又要通过编程实践加深理解
2. **重视误差分析**：理解截断误差和舍入误差的来源及其影响
3. **比较不同方法**：掌握各种算法的适用范围和优缺点
4. **多做习题**：通过练习巩固所学知识

===== 相关链接 =====

  - [[数学基础]]
  - [[科学计算]]
  - [[MATLAB教程]]
  - [[Python科学计算]]

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最后更新: 2025年