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====== 数学分析 (Mathematical Analysis) ======

数学分析是数学系最重要的基础课程之一，它为现代数学的各个分支奠定了严密的理论基础。本课程系统地研究实数、极限、连续、微分、积分和级数等基本概念，是理解高等数学的必经之路。

===== 课程概述 =====

数学分析主要研究：
- **实数理论**：建立严格的实数体系，理解实数的完备性
- **极限理论**：数列极限与函数极限，极限的运算法则
- **连续性**：连续函数的性质，一致连续性
- **微分学**：导数与微分，中值定理，泰勒展开
- **积分学**：不定积分与定积分，积分中值定理
- **级数理论**：数项级数，函数项级数，幂级数
- **多元函数**：偏导数，重积分，曲线积分与曲面积分

===== 课程目录 =====

  * [[数学分析:第一章_实数与极限|第一章 实数与极限]]
    * 实数的基本性质
    * 数列极限
    * 函数极限
    * 极限的存在准则

  * [[数学分析:第二章_连续性|第二章 连续性]]
    * 连续函数的定义
    * 间断点及其分类
    * 闭区间上连续函数的性质
    * 一致连续性

  * [[数学分析:第三章_微分学|第三章 微分学]]
    * 导数的概念
    * 求导法则
    * 微分中值定理
    * 泰勒公式
    * 函数的极值与凹凸性

  * [[数学分析:第四章_积分学|第四章 积分学]]
    * 不定积分
    * 定积分的定义与性质
    * 微积分基本定理
    * 积分的计算方法
    * 广义积分

  * [[数学分析:第五章_级数|第五章 级数]]
    * 数项级数
    * 正项级数判别法
    * 任意项级数
    * 函数项级数
    * 幂级数与傅里叶级数

  * [[数学分析:第六章_多元函数微分学|第六章 多元函数微分学]]
    * 多元函数的极限与连续
    * 偏导数与全微分
    * 多元复合函数求导
    * 隐函数定理
    * 多元函数的极值

  * [[数学分析:第七章_多元函数积分学|第七章 多元函数积分学]]
    * 重积分
    * 曲线积分
    * 曲面积分
    * 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

===== 学习建议 =====

  - 理解概念的本质，而非死记硬背公式
  - 多做证明题，培养逻辑推理能力
  - 注意定理的条件和结论
  - 学会构造反例来加深理解
  - 建立几何直观与代数表达的联系

===== 参考教材 =====

  - 华东师范大学数学系：《数学分析》（第四版）
  - 菲赫金哥尔茨：《微积分学教程》
  - Rudin：《Principles of Mathematical Analysis》
  - 卓里奇：《数学分析》

===== 公式速查 =====

^ 公式类型 ^ 表达式 ^
| 极限定义 | $\\lim_{n \\to \\infty} a_n = a \\Leftrightarrow \\forall \\varepsilon > 0, \\exists N \\in \\mathbb{N}, \\forall n > N: |a_n - a| < \\varepsilon$ |
| 导数定义 | $f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ |
| 泰勒展开 | $f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$ |
| 牛顿-莱布尼茨 | $\\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ |
| 格林公式 | $\\oint_L Pdx + Qdy = \\iint_D \\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)dxdy$ |

===== 相关链接 =====

  * [[线性代数|线性代数课程]]
  * [[概率论|概率论课程]]
  * [[工程数学|工程数学课程]]

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