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====== 第一章 实数与极限 ======

===== 1.1 实数理论 =====

==== 1.1.1 实数的引入 ====

数学分析的基础是实数系统。为什么要研究实数？

**有理数的局限性：**
有理数集合 $\mathbb{Q}$ 虽然对四则运算封闭，但存在"空隙"。例如 $\sqrt{2}$ 不是有理数，这可以通过反证法证明：

假设 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 互质。则 $p^2 = 2q^2$，故 $p^2$ 是偶数，从而 $p$ 是偶数。设 $p = 2k$，则 $4k^2 = 2q^2$，即 $q^2 = 2k^2$，故 $q$ 也是偶数。这与 $p, q$ 互质矛盾！

因此，仅靠有理数无法描述数轴上所有的点，需要引入无理数，形成完整的实数系统。

==== 1.1.2 戴德金分割 ====

**定义 1.1（戴德金分割）**
将有理数集 $\mathbb{Q}$ 分成两个非空子集 $A$ 和 $B$，满足：
1. $A \cup B = \mathbb{Q}$，$A \cap B = \emptyset$
2. 对任意 $a \in A, b \in B$，都有 $a < b$

这样的 $(A, B)$ 称为一个**戴德金分割**。

**三种情况：**
- **类型一**：$A$ 有最大元，$B$ 无最小元（对应有理数）
- **类型二**：$A$ 无最大元，$B$ 有最小元（对应有理数）  
- **类型三**：$A$ 无最大元，$B$ 无最小元（对应无理数）

例如，对于 $\sqrt{2}$：
- $A = \{r \in \mathbb{Q} : r < 0 \text{ 或 } r^2 < 2\}$
- $B = \{r \in \mathbb{Q} : r > 0 \text{ 且 } r^2 > 2\}$

这个分割就是类型三，定义了无理数 $\sqrt{2}$。

==== 1.1.3 实数的完备性 ====

**实数的基本性质：**
1. **有序性**：任意两个实数可以比较大小
2. **稠密性**：任意两个实数之间存在有理数和无理数
3. **完备性**（连续性）：实数集没有"空隙"

**定理 1.1（确界原理）**
非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界。

**定义 1.2（确界）**
设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空：
- 若存在 $M \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \leq M$，则称 $S$ 有上界，$M$ 为一个上界
- 上确界 $\sup S$ 是最小的上界，满足：(1) 是上界；(2) 任何小于它的数都不是上界

**例 1.1** 设 $S = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2, x > 0\}$，则 $\sup S = \sqrt{2}$。

**证明：** 首先 $\sqrt{2}$ 是 $S$ 的上界。对任意 $\varepsilon > 0$，取有理数 $r$ 满足 $\sqrt{2} - \varepsilon < r < \sqrt{2}$，则 $r \in S$ 且 $r > \sqrt{2} - \varepsilon$，故 $\sqrt{2}$ 是最小上界。

===== 1.2 数列极限 =====

==== 1.2.1 数列极限的定义 ====

**定义 1.3（数列极限的 ε-N 定义）**
设 $\{a_n\}$ 是一个数列，$a$ 是一个实数。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$，都存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - a| < \varepsilon$，则称数列 $\{a_n\}$ **收敛**于 $a$，记作：
$$\lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \text{或} \quad a_n \to a (n \to \infty)$$

**几何解释：** 在数轴上，无论给出多么小的区间 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$，数列中总存在某一项 $a_N$，使得从这一项之后的所有项都落在该区间内。

**例 1.2** 证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

**证明：** 对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \left[\frac{1}{\varepsilon}\right] + 1$（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）。

当 $n > N$ 时：
$$\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon$$

因此 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。

**例 1.3** 设 $|q| < 1$，证明 $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$

**证明：** 若 $q = 0$，结论显然成立。

若 $0 < |q| < 1$，令 $\frac{1}{|q|} = 1 + h$，其中 $h > 0$。

由伯努利不等式：$(1+h)^n \geq 1 + nh > nh$

因此：
$$|q^n - 0| = |q|^n = \frac{1}{(1+h)^n} < \frac{1}{nh}$$

对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \left[\frac{1}{h\varepsilon}\right] + 1$，则当 $n > N$ 时：
$$|q^n| < \frac{1}{nh} < \varepsilon$$

故 $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$。

==== 1.2.2 数列极限的性质 ====

**定理 1.2（唯一性）**
若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则其极限唯一。

**证明：** 假设 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ 且 $\lim_{n \to \infty} a_n = b$，且 $a \neq b$。

取 $\varepsilon = \frac{|a-b|}{2} > 0$。

存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时 $|a_n - a| < \varepsilon$；
存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时 $|a_n - b| < \varepsilon$。

取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，当 $n > N$ 时：
$$|a - b| \leq |a - a_n| + |a_n - b| < 2\varepsilon = |a - b|$$

矛盾！故 $a = b$。

**定理 1.3（有界性）**
收敛数列必有界。

**证明：** 设 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。取 $\varepsilon = 1$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $|a_n - a| < 1$。

因此当 $n > N$ 时：$|a_n| < |a| + 1$

令 $M = \max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_N|, |a| + 1\}$，则对所有 $n$，$|a_n| \leq M$。

**定理 1.4（保号性）**
若 $\lim_{n \to \infty} a_n = a > 0$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时 $a_n > 0$。

**证明：** 取 $\varepsilon = \frac{a}{2} > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $|a_n - a| < \frac{a}{2}$。

因此 $a_n > a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} > 0$。

**定理 1.5（夹逼定理）**
设数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ 满足 $a_n \leq b_n \leq c_n$（$n$ 充分大时），且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$，则 $\lim_{n \to \infty} b_n = L$。

**例 1.4** 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$

**解：** 由于 $|\sin n| \leq 1$，故：
$$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$$

而 $\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，由夹逼定理：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$$

==== 1.2.3 极限的四则运算 ====

**定理 1.6**
设 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim_{n \to \infty} b_n = b$，则：
1. $\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b$
2. $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$
3. 若 $b \neq 0$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$

**例 1.5** 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 1}$

**解：**
$$\frac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 1} = \frac{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} \to \frac{2 + 0 - 0}{1 + 0} = 2$$

===== 1.3 函数极限 =====

==== 1.3.1 函数极限的 ε-δ 定义 ====

**定义 1.4（函数在一点的极限）**
设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，$A$ 是一个实数。如果对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称当 $x$ 趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 的极限为 $A$，记作：
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

**注：** $0 < |x - x_0|$ 表示 $x \neq x_0$，极限与函数在该点的值无关。

**例 1.6** 证明 $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$

**证明：** 对任意 $\varepsilon > 0$，要找 $\delta > 0$ 使得当 $0 < |x - 2| < \delta$ 时：
$$|(3x + 1) - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2| < \varepsilon$$

取 $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$，则当 $0 < |x - 2| < \delta$ 时：
$$|(3x + 1) - 7| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$

故 $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$。

**例 1.7** 证明 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$

**证明：** 当 $x \neq 1$ 时，$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$。

对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，当 $0 < |x - 1| < \delta$ 时：
$$\left|\frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2\right| = |(x + 1) - 2| = |x - 1| < \varepsilon$$

==== 1.3.2 单侧极限 ====

**定义 1.5**
- **右极限**：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$，当 $x$ 从右侧趋于 $x_0$ 时的极限
- **左极限**：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$，当 $x$ 从左侧趋于 $x_0$ 时的极限

**定理 1.7**
$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 当且仅当 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$。

**例 1.8** 设 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ x - 1, & x < 0 \end{cases}$

求 $\lim_{x \to 0} f(x)$。

**解：** 
- $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$
- $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x - 1) = -1$

因左右极限不相等，故 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。

===== 1.4 极限的存在准则 =====

==== 1.4.1 单调有界定理 ====

**定理 1.8（单调有界定理）**
单调有界数列必有极限。
- 若 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界，则 $\{a_n\}$ 收敛
- 若 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界，则 $\{a_n\}$ 收敛

**例 1.9** 证明数列 $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 收敛。

**证明：**
**(1) 证明有界性：** 由二项式定理：
$$\begin{aligned}
a_n &= \sum_{k=0}^n C_n^k \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^n \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k! \cdot n^k} \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right) \\
&< \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \\
&< 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 3
\end{aligned}$$

故 $\{a_n\}$ 有上界 3。

**(2) 证明单调性：** 类似可证 $a_n < a_{n+1}$。

因此 $\{a_n\}$ 收敛，其极限定义为自然常数 $e \approx 2.71828...$

==== 1.4.2 柯西收敛准则 ====

**定理 1.9（柯西收敛准则）**
数列 $\{a_n\}$ 收敛的充分必要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $m, n > N$ 时，有 $|a_m - a_n| < \varepsilon$。

满足此条件的数列称为**柯西列**或**基本列**。

**例 1.10** 证明调和级数部分和 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ 发散。

**证明：** 取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，对任意 $N$，取 $n = N + 1$，$m = 2N$：
$$H_m - H_n = \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} + \cdots + \frac{1}{2N} > N \cdot \frac{1}{2N} = \frac{1}{2} = \varepsilon_0$$

故 $\{H_n\}$ 不是柯西列，从而发散。

===== 1.5 典型例题 =====

**例题 1.1** 求 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$

**解：** 设 $a_n = \sqrt[n]{n} - 1 \geq 0$，则：
$$n = (1 + a_n)^n \geq \frac{n(n-1)}{2} a_n^2$$

因此 $a_n^2 \leq \frac{2}{n-1} \to 0$，故 $a_n \to 0$，即 $\sqrt[n]{n} \to 1$。

**例题 1.2** 设 $a_1 = \sqrt{2}$，$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

**解：** 先证单调有界：
- $a_1 = \sqrt{2} < 2$，归纳可证 $a_n < 2$（有上界）
- $a_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}} > \sqrt{2} = a_1$，归纳可证 $a_{n+1} > a_n$（单调增）

故 $\{a_n\}$ 收敛。设极限为 $L$，则 $L = \sqrt{2 + L}$，解得 $L = 2$。

**例题 1.3** 证明：若 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = a$（算术平均收敛）。

**证明：** 对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时 $|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$。

$$\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - a\right| \leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_1}|a_k - a| + \frac{1}{n}\sum_{k=N_1+1}^n|a_k - a|$$

第一项当 $n$ 充分大时可小于 $\frac{\varepsilon}{2}$，第二项 $< \frac{n-N_1}{n} \cdot \frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}$。

故极限为 $a$。

===== 1.6 习题 =====

**基础题**
1. 用 ε-N 定义证明：

(a) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n-1} = \frac{1}{2}$

(b) $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n} = 0$

2. 计算下列极限：

(a) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 + 2n - 1}{n^3 - n^2 + 5}$

(b) $\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)$

**提高题**
3. 设 $a_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

4. 证明：若 $\{a_n\}$ 满足 $|a_{n+1} - a_n| \leq \frac{1}{2^n}$，则 $\{a_n\}$ 收敛。

**挑战题**
5. 设 $a_1 > 0$，$a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{c}{a_n}\right)$（$c > 0$），证明 $\{a_n\}$ 收敛并求极限。

6. 证明：$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$（提示：利用 $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 的展开式）。