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====== 第三章 微分学 ======

===== 3.1 导数的概念 =====

==== 3.1.1 导数的定义 ====

**定义 3.1（导数）**
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$
存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处**可导**，该极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的**导数**，记为 $f'(x_0)$ 或 $\frac{dy}{dx}\big|_{x=x_0}$。

**等价形式：**
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

**导数的几何意义：** 导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。

切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

法线方程：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$（当 $f'(x_0) \neq 0$）

**例 3.1** 求 $f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处的导数。

**解：**
$$\begin{aligned}
f'(1) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^2 - 1^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2
\end{aligned}$$

==== 3.1.2 单侧导数 ====

**定义 3.2（单侧导数）**
- **右导数**：$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
- **左导数**：$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

**定理 3.1**
$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导当且仅当左导数和右导数都存在且相等。

**例 3.2** 讨论 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处的可导性。

**解：**
$$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1$$
$$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = -1$$

因 $f'_+(0) \neq f'_-(0)$，故 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。

==== 3.1.3 导函数 ====

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内每一点都可导，则称 $f(x)$ 在 $I$ 内可导。此时对应法则 $x \mapsto f'(x)$ 构成一个新函数，称为 $f(x)$ 的**导函数**，记为 $f'(x)$ 或 $\frac{df}{dx}$。

===== 3.2 求导法则 =====

==== 3.2.1 基本初等函数的导数 ====

**1. 常数：** $(c)' = 0$

**2. 幂函数：** $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$（$\alpha$ 为实数）

**3. 指数函数：**
- $(e^x)' = e^x$
- $(a^x)' = a^x \ln a$（$a > 0$）

**4. 对数函数：**
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$（$x > 0$）
- $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$（$x > 0$）

**5. 三角函数：**
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
- $(\cot x)' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

**6. 反三角函数：**
- $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（$|x| < 1$）
- $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（$|x| < 1$）
- $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
- $(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

==== 3.2.2 导数的四则运算法则 ====

**定理 3.2**
设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则：

1. **和差法则：** $(u \pm v)' = u' \pm v'$

2. **积法则：** $(uv)' = u'v + uv'$

3. **商法则：** $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$）

**例 3.3** 求 $y = x^2 \sin x$ 的导数。

**解：** $y' = (x^2)'\sin x + x^2(\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$

**例 3.4** 求 $y = \tan x$ 的导数。

**解：** $y' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

==== 3.2.3 复合函数的求导法则（链式法则） ====

**定理 3.3（链式法则）**
设 $u = g(x)$ 在 $x$ 处可导，$y = f(u)$ 在 $u = g(x)$ 处可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，且
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$

**例 3.5** 求 $y = \sin(x^2)$ 的导数。

**解：** 设 $u = x^2$，则 $y = \sin u$
$$y' = \cos u \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$

**例 3.6** 求 $y = e^{\sin^2 x}$ 的导数。

**解：**
$$\begin{aligned}
y' &= e^{\sin^2 x} \cdot (\sin^2 x)' \\
&= e^{\sin^2 x} \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)' \\
&= e^{\sin^2 x} \cdot 2\sin x \cos x \\
&= e^{\sin^2 x} \sin 2x
\end{aligned}$$

==== 3.2.4 反函数的求导法则 ====

**定理 3.4**
设函数 $x = \varphi(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $\varphi'(y) \neq 0$，则其反函数 $y = f(x)$ 在对应区间 $I_x$ 内也可导，且
$$f'(x) = \frac{1}{\varphi'(y)} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

**例 3.7** 求 $y = \arcsin x$ 的导数。

**解：** $x = \sin y$，$\frac{dx}{dy} = \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$

$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

==== 3.2.5 隐函数的求导法 ====

由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的函数 $y = y(x)$ 称为**隐函数**。

**求导方法：** 方程两边对 $x$ 求导，视 $y$ 为 $x$ 的函数，解出 $y'$。

**例 3.8** 求由 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数。

**解：** 两边对 $x$ 求导：
$$2x + 2y \cdot y' = 0$$
解得：$y' = -\frac{x}{y}$

==== 3.2.6 参数方程确定的函数的求导法 ====

设 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，则
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

**例 3.9** 求摆线 $\begin{cases} x = a(t - \sin t) \\ y = a(1 - \cos t) \end{cases}$ 的导数。

**解：**
$$\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\frac{t}{2}$$

===== 3.3 高阶导数 =====

==== 3.3.1 高阶导数的定义 ====

**定义 3.3（高阶导数）**
若函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 仍可导，则称 $f'(x)$ 的导数为 $f(x)$ 的**二阶导数**，记为 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

类似可定义 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$。

**物理意义：**
- 位移 $s(t)$，速度 $v(t) = s'(t)$，加速度 $a(t) = v'(t) = s''(t)$

==== 3.3.2 高阶导数的计算 ====

**例 3.10** 求 $y = x^n$ 的各阶导数。

**解：**
- $y' = nx^{n-1}$
- $y'' = n(n-1)x^{n-2}$
- $\vdots$
- $y^{(n)} = n!$
- $y^{(n+1)} = 0$

**例 3.11** 求 $y = \sin x$ 的 $n$ 阶导数。

**解：**
- $y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$
- $y'' = -\sin x = \sin(x + \pi)$
- $y''' = -\cos x = \sin(x + \frac{3\pi}{2})$

归纳得：
$$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$

同理：$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

===== 3.4 微分 =====

==== 3.4.1 微分的定义 ====

**定义 3.4（微分）**
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x$ 处可导，则称 $f'(x)\Delta x$ 为函数在点 $x$ 处的**微分**，记为 $dy$ 或 $df(x)$。

即：$dy = f'(x)\Delta x$

特别地，记 $dx = \Delta x$，则
$$dy = f'(x)dx$$

**微分的几何意义：** $dy$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处切线纵坐标的增量。

==== 3.4.2 微分的运算法则 ====

由 $dy = f'(x)dx$，可得：

1. $d(u \pm v) = du \pm dv$
2. $d(uv) = vdu + udv$
3. $d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv}{v^2}$
4. $df(g(x)) = f'(g(x))g'(x)dx$

===== 3.5 微分中值定理 =====

==== 3.5.1 罗尔定理 ====

**定理 3.5（罗尔定理）**
设函数 $f(x)$ 满足：
1. 在 $[a, b]$ 上连续
2. 在 $(a, b)$ 内可导
3. $f(a) = f(b)$

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。

**几何意义：** 在满足条件的曲线上，至少存在一点，该点切线水平。

**例 3.12** 验证罗尔定理对 $f(x) = x^2 - 2x + 2$ 在 $[0, 2]$ 上的正确性。

**解：** $f(0) = 2$，$f(2) = 4 - 4 + 2 = 2 = f(0)$

$f'(x) = 2x - 2 = 0$ 得 $x = 1 \in (0, 2)$

故存在 $\xi = 1$ 使 $f'(\xi) = 0$，定理成立。

==== 3.5.2 拉格朗日中值定理 ====

**定理 3.6（拉格朗日中值定理）**
设函数 $f(x)$ 满足：
1. 在 $[a, b]$ 上连续
2. 在 $(a, b)$ 内可导

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

或等价地：$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

**几何意义：** 曲线上存在一点，该点切线与端点连线平行。

**推论：** 若 $f'(x) = 0$ 在 $(a, b)$ 内恒成立，则 $f(x) = C$（常数）。

**例 3.13** 证明：$|\sin x - \sin y| \leq |x - y|$

**证明：** 设 $f(t) = \sin t$，由拉格朗日中值定理：
$$\sin x - \sin y = \cos \xi \cdot (x - y)$$
其中 $\xi$ 在 $x$ 与 $y$ 之间。

$$|\sin x - \sin y| = |\cos \xi| \cdot |x - y| \leq |x - y|$$

==== 3.5.3 柯西中值定理 ====

**定理 3.7（柯西中值定理）**
设函数 $f(x), g(x)$ 满足：
1. 在 $[a, b]$ 上连续
2. 在 $(a, b)$ 内可导
3. $g'(x) \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

==== 3.5.4 泰勒公式 ====

**定理 3.8（泰勒公式）**
设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间内有直到 $n+1$ 阶的导数，则对该区间内任意 $x$：
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$

其中 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）称为**拉格朗日余项**。

**麦克劳林公式**（$x_0 = 0$ 时）：
$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$

**常用展开式：**
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
- $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
- $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$
- $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$

===== 3.6 函数的极值与最值 =====

==== 3.6.1 函数的极值 ====

**定义 3.5（极值）**
设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若对该邻域内任意 $x \neq x_0$：
- $f(x) < f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 是**极大值**
- $f(x) > f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 是**极小值**

**定理 3.9（极值的必要条件）**
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。

满足 $f'(x) = 0$ 的点称为**驻点**或**稳定点**。

**注：** 极值点只可能是驻点或导数不存在的点。

**定理 3.10（极值的第一充分条件）**
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域内可导：
- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左正右负，则 $f(x_0)$ 是极大值
- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左负右正，则 $f(x_0)$ 是极小值
- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧同号，则 $f(x_0)$ 不是极值

**定理 3.11（极值的第二充分条件）**
设 $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0)$ 存在：
- 若 $f''(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$ 是极大值
- 若 $f''(x_0) > 0$，则 $f(x_0)$ 是极小值

**例 3.14** 求 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的极值。

**解：** $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) = 0$，得 $x = 0$ 或 $x = 2$

$f''(x) = 6x - 6$

- $f''(0) = -6 < 0$，$f(0) = 2$ 是极大值
- $f''(2) = 6 > 0$，$f(2) = -2$ 是极小值

==== 3.6.2 函数的最值 ====

**求最值的方法：**
1. 求出 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的所有驻点和不可导点
2. 计算这些点及端点 $a, b$ 处的函数值
3. 比较得出最大值和最小值

**例 3.15** 求 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ 在 $[-2, 2]$ 上的最值。

**解：** $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0$

驻点：$x = 0, \pm 1$

计算：
- $f(-2) = 16 - 8 + 5 = 13$
- $f(-1) = 1 - 2 + 5 = 4$
- $f(0) = 5$
- $f(1) = 4$
- $f(2) = 13$

最大值为 13，最小值为 4。

===== 3.7 函数的凹凸性与拐点 =====

==== 3.7.1 凹凸性的定义 ====

**定义 3.6（凹凸性）**
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续：
- 若对任意 $x_1, x_2 \in I$（$x_1 \neq x_2$），有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是**凹函数**（上凸）
- 若 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则 $f(x)$ 是**凸函数**（下凸）

**判别法：**
- $f''(x) > 0$ ⇒ $f(x)$ 是凹函数
- $f''(x) < 0$ ⇒ $f(x)$ 是凸函数

==== 3.7.2 拐点 ====

**定义 3.7（拐点）**
连续曲线上凹凸性改变的点称为**拐点**。

**求拐点的方法：**
1. 求 $f''(x) = 0$ 的点和 $f''(x)$ 不存在的点
2. 判断这些点两侧 $f''(x)$ 的符号

===== 3.8 典型例题 =====

**例题 3.1** 设 $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$，求 $f'(x)$。

**解：** 当 $x \neq 0$ 时：
$$f'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$$

当 $x = 0$ 时：
$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$$

**例题 3.2** 证明方程 $x^3 + x - 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内有且仅有一个实根。

**证明：** 设 $f(x) = x^3 + x - 1$，$f(0) = -1 < 0$，$f(1) = 1 > 0$

由零点定理，至少存在一个根。

$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$，故 $f(x)$ 严格单调递增，至多一个根。

综上，有且仅有一个根。

===== 3.9 习题 =====

**基础题**
1. 用定义求 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 1$ 处的导数。
2. 求下列函数的导数：
   (a) $y = x^3 e^{2x}$
   (b) $y = \ln(\sin x)$
   (c) $y = \arctan\frac{1}{x}$

**提高题**
3. 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，$f(0) = f(1) = 0$，$f\left(\frac{1}{2}\right) = 1$。证明存在 $\xi \in (0, 1)$ 使 $f'(\xi) = 1$。

4. 求 $f(x) = xe^{-x}$ 的极值和最值。

**挑战题**
5. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，$f(a) = f(b) = 0$，且存在 $c \in (a, b)$ 使 $f(c) > 0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $f''(\xi) < 0$。

6. 证明：$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$（$x > 0$）。

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