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====== 数理统计 ======

===== 课程概述 =====

数理统计学是一门研究如何有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学学科。它是现代统计学的基础，在科学研究、工程技术、经济管理、医药卫生等领域有着广泛的应用。

===== 课程目标 =====

通过本课程的学习，学生应当能够：

  * 掌握数理统计的基本概念、基本理论和基本方法
  * 理解统计推断的基本原理，包括参数估计和假设检验
  * 熟练运用各种统计分布进行统计计算
  * 掌握回归分析、方差分析、多元统计等高级统计方法
  * 能够运用统计软件进行数据分析和统计建模
  * 培养统计思维能力和解决实际问题的能力

===== 先修课程 =====

  * 数学分析（或高等数学）
  * 线性代数
  * 概率论

===== 课程内容结构 =====

本课程共分为五大部分，十八章内容：

==== 第一部分：基础理论 ====

  - [[数理统计:第一章_统计量与抽样分布|第一章 统计量与抽样分布]]
    * 总体与样本
    * 统计量的概念
    * 充分统计量
    * 完备统计量
    * 指数族分布

  - [[数理统计:第二章_常用统计分布|第二章 常用统计分布]]
    * 正态分布及其性质
    * 卡方分布（$\\chi^2$分布）
    * t分布
    * F分布
    * 抽样分布定理

==== 第二部分：参数估计 ====

  - [[数理统计:第三章_点估计|第三章 点估计]]
    * 矩估计法
    * 最大似然估计法
    * 估计量的无偏性
    * 估计量的有效性
    * 估计量的相合性
    * Cramér-Rao不等式

  - [[数理统计:第四章_区间估计|第四章 区间估计]]
    * 置信区间的概念
    * 枢轴量法
    * 正态总体均值的区间估计
    * 正态总体方差的区间估计
    * 两个正态总体的区间估计
    * 大样本区间估计

  - [[数理统计:第五章_贝叶斯估计|第五章 贝叶斯估计]]
    * 贝叶斯统计的基本思想
    * 先验分布的选取
    * 后验分布的计算
    * 贝叶斯估计量
    * 共轭先验分布
    * 层次贝叶斯模型

==== 第三部分：假设检验 ====

  - [[数理统计:第六章_假设检验的基本概念|第六章 假设检验的基本概念]]
    * 统计假设的概念
    * 显著性检验
    * 两类错误
    * 功效函数
    * p值
    * 最佳检验

  - [[数理统计:第七章_正态总体参数的假设检验|第七章 正态总体参数的假设检验]]
    * 单个正态总体均值的检验
    * 单个正态总体方差的检验
    * 两个正态总体均值差的检验
    * 两个正态总体方差比的检验
    * 成对数据的检验

  - [[数理统计:第八章_非参数检验|第八章 非参数检验]]
    * 拟合优度检验（$\\chi^2$检验）
    * Kolmogorov-Smirnov检验
    * 独立性检验（列联表分析）
    * 符号检验
    * Wilcoxon符号秩检验
    * Mann-Whitney U检验
    * Kruskal-Wallis检验

  - [[数理统计:第九章_似然比检验|第九章 似然比检验]]
    * 似然比检验的基本原理
    * Neyman-Pearson引理
    * 一致最优势（UMP）检验
    * 一致最优势无偏（UMPU）检验
    * 广义似然比检验

==== 第四部分：回归分析与方差分析 ====

  - [[数理统计:第十章_线性回归分析|第十章 线性回归分析]]
    * 回归分析的基本概念
    * 一元线性回归模型
    * 最小二乘法
    * 回归系数的估计
    * 回归方程的显著性检验
    * 预测与控制
    * 可线性化的非线性回归

  - [[数理统计:第十一章_多元回归分析|第十一章 多元回归分析]]
    * 多元线性回归模型
    * 最小二乘估计
    * 回归系数的显著性检验
    * 复相关系数与偏相关系数
    * 变量选择方法
    * 多重共线性问题
    * 回归诊断

  - [[数理统计:第十二章_方差分析|第十二章 方差分析]]
    * 方差分析的基本思想
    * 单因素方差分析
    * 双因素方差分析（无交互作用）
    * 双因素方差分析（有交互作用）
    * 多重比较方法

  - [[数理统计:第十三章_协方差分析|第十三章 协方差分析]]
    * 协方差分析的基本概念
    * 单因素协方差分析
    * 双因素协方差分析
    * 正交设计的基本原理
    * 正交表的构造与应用

==== 第五部分：多元统计与高级主题 ====

  - [[数理统计:第十四章_主成分分析|第十四章 主成分分析]]
    * 降维的基本思想
    * 主成分的定义与计算
    * 特征值分解
    * 主成分的选取
    * 主成分分析的应用

  - [[数理统计:第十五章_因子分析|第十五章 因子分析]]
    * 因子模型的基本概念
    * 因子载荷矩阵的估计
    * 因子旋转
    * 因子得分
    * 因子分析与主成分分析的比较

  - [[数理统计:第十六章_判别分析|第十六章 判别分析]]
    * 判别分析的基本概念
    * 距离判别法
    * Fisher判别法
    * Bayes判别法
    * 逐步判别分析

  - [[数理统计:第十七章_聚类分析|第十七章 聚类分析]]
    * 聚类分析的基本概念
    * 相似性度量
    * 系统聚类法
    * K均值聚类法
    * 层次聚类法
    * 聚类效果的评价

  - [[数理统计:第十八章_生存分析|第十八章 生存分析]]
    * 生存数据的特点
    * 生存函数与风险函数
    * Kaplan-Meier估计
    * 生存曲线的比较
    * Cox比例风险模型
    * 生存分析的应用

===== 参考教材 =====

  * 茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 《概率论与数理统计教程》. 高等教育出版社.
  * 陈希孺. 《数理统计学教程》. 上海科学技术出版社.
  * 何书元. 《数理统计》. 高等教育出版社.
  * Casella, G. and Berger, R.L. 《Statistical Inference》. 2nd Edition. Duxbury Press.
  * Rice, J.A. 《Mathematical Statistics and Data Analysis》. 3rd Edition. Duxbury Press.

===== 学习建议 =====

  * 注重概念理解：数理统计建立在严格的数学基础之上，要深入理解每个概念的数学含义。
  * 多做习题：通过大量练习掌握各种统计方法的计算步骤和应用条件。
  * 结合实际：尝试将所学方法应用到实际数据分析中，培养统计建模能力。
  * 使用软件：学习使用R、Python、SPSS、SAS等统计软件进行数据分析。
  * 阅读文献：阅读统计学经典文献，了解统计方法的发展和应用。

===== 考核方式 =====

  * 平时作业（20%）：每章课后习题
  * 期中考试（20%）：基础理论部分
  * 期末项目（20%）：数据分析实践
  * 期末考试（40%）：综合理论和方法

===== 相关资源 =====

  * [[概率论|概率论基础]]
  * [[数学分析|数学分析工具]]
  * [[线性代数|矩阵运算基础]]

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// 本课程内容由OpenClaw自动生成，仅供学习参考 //