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====== 第一章 概率论基础 ======

===== 1.1 随机事件与样本空间 =====

==== 1.1.1 随机现象与随机试验 ====

**确定性现象：** 在一定条件下必然发生或不发生的现象。
- 例：标准大气压下，水加热到 100°C 必然沸腾

**随机现象：** 在一定条件下，可能出现多种结果，且事先不能确定哪一种结果会出现的现象。
- 例：掷一枚硬币，结果可能是正面或反面
- 例：测量某零件的长度，结果在一定范围内波动

**随机试验（简称试验）：**
具有以下特征的试验称为随机试验：
1. 可在相同条件下重复进行
2. 每次试验的可能结果不止一个，且事先明确所有可能结果
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

**例 1.1** 常见的随机试验：
- $E_1$：抛一枚硬币，观察正反面
- $E_2$：掷一颗骰子，观察出现的点数
- $E_3$：记录某电话交换台一分钟内接到的呼叫次数
- $E_4$：测量某灯泡的寿命

==== 1.1.2 样本空间与随机事件 ====

**定义 1.1（样本空间）**
随机试验 $E$ 的**所有可能结果**组成的集合称为 $E$ 的**样本空间**，记为 $\Omega$ 或 $S$。样本空间的元素（即 $E$ 的每个结果）称为**样本点**。

**例 1.2**
- $E_1$（抛硬币）：$\Omega_1 = \{H, T\}$（$H$ 表示正面，$T$ 表示反面）
- $E_2$（掷骰子）：$\Omega_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
- $E_3$（呼叫次数）：$\Omega_3 = \{0, 1, 2, \ldots\}$
- $E_4$（灯泡寿命）：$\Omega_4 = \{t : t \geq 0\} = [0, +\infty)$

**定义 1.2（随机事件）**
试验 $E$ 的样本空间 $\Omega$ 的**子集**称为 $E$ 的**随机事件**，简称**事件**。只含一个样本点的事件称为**基本事件**。

**事件的分类：**
- **必然事件**：在每次试验中必然发生，即 $\Omega$ 本身
- **不可能事件**：在每次试验中都不发生，即空集 $\emptyset$

**例 1.3** 掷骰子试验 $E_2$：
- 事件 $A$："出现偶数点" = $\{2, 4, 6\}$
- 事件 $B$："出现点数大于 4" = $\{5, 6\}$
- 事件 $C$："出现点数小于 7" = $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$（必然事件）
- 事件 $D$："出现点数大于 6" = $\emptyset$（不可能事件）

===== 1.2 事件的关系与运算 =====

==== 1.2.1 事件的关系 ====

设试验 $E$ 的样本空间为 $\Omega$，$A, B$ 是 $E$ 的事件。

**1. 包含关系**
若 $A \subseteq B$，则称事件 $B$ **包含**事件 $A$，或事件 $A$ **包含于**事件 $B$。
- 含义：$A$ 发生则 $B$ 必发生

**2. 相等关系**
若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ **相等**，记为 $A = B$。

**3. 互斥关系（互不相容）**
若 $A \cap B = \emptyset$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ **互斥**或**互不相容**。
- 含义：$A$ 与 $B$ 不能同时发生

**4. 对立关系**
若 $A \cap B = \emptyset$ 且 $A \cup B = \Omega$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ **互为对立事件**。
- 记 $B = \overline{A}$ 或 $A^c$，表示"$A$ 不发生"

==== 1.2.2 事件的运算 ====

**1. 和事件（并）**
$A \cup B = \{x : x \in A \text{ 或 } x \in B\}$
- 含义：$A$ 与 $B$ 至少有一个发生

**推广：** $\bigcup_{i=1}^n A_i$ 表示 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 至少有一个发生

**2. 积事件（交）**
$A \cap B = AB = \{x : x \in A \text{ 且 } x \in B\}$
- 含义：$A$ 与 $B$ 同时发生

**3. 差事件**
$A - B = A\overline{B} = \{x : x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$
- 含义：$A$ 发生而 $B$ 不发生

**4. 完备事件组**
若 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 满足：
- $A_i \cap A_j = \emptyset$（$i \neq j$，两两互斥）
- $\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$

则称 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 为 $\Omega$ 的一个**划分**或**完备事件组**。

==== 1.2.3 事件的运算律 ====

**1. 交换律：**
$$A \cup B = B \cup A, \quad A \cap B = B \cap A$$

**2. 结合律：**
$$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), \quad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$$

**3. 分配律：**
$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$

**4. 德摩根律（对偶律）：**
$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

推广形式：
$$\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} = \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}, \quad \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}$$

**例 1.4** 设 $A, B, C$ 是三个事件，用 $A, B, C$ 的运算关系表示下列事件：

(1) $A$ 发生，$B$ 与 $C$ 不发生：$A\overline{B}\overline{C}$ 或 $A - (B \cup C)$

(2) $A$ 与 $B$ 都发生，$C$ 不发生：$AB\overline{C}$ 或 $AB - C$

(3) $A, B, C$ 都发生：$ABC$

(4) $A, B, C$ 至少有一个发生：$A \cup B \cup C$

(5) $A, B, C$ 都不发生：$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$ 或 $\overline{A \cup B \cup C}$

(6) $A, B, C$ 不多于一个发生：$\overline{A}\overline{B}\overline{C} \cup A\overline{B}\overline{C} \cup \overline{A}B\overline{C} \cup \overline{A}\overline{B}C$

===== 1.3 概率的定义与性质 =====

==== 1.3.1 频率与概率的统计定义 ====

**定义 1.3（频率）**
在相同的条件下进行 $n$ 次试验，事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 称为 $A$ 的**频数**，比值 $\frac{n_A}{n}$ 称为 $A$ 的**频率**，记为 $f_n(A)$。

**频率的性质：**
1. $0 \leq f_n(A) \leq 1$
2. $f_n(\Omega) = 1$，$f_n(\emptyset) = 0$
3. 若 $A, B$ 互斥，则 $f_n(A \cup B) = f_n(A) + f_n(B)$

**频率的稳定性：**
当 $n$ 很大时，$f_n(A)$ 会稳定在某个常数附近波动。这个常数就是事件 $A$ 的**概率**。

**定义 1.4（概率的统计定义）**
在大量重复试验中，事件 $A$ 发生的**频率的稳定值**称为 $A$ 的**概率**，记为 $P(A)$。

==== 1.3.2 概率的公理化定义 ====

**定义 1.5（概率的公理化定义 - 柯尔莫哥洛夫）**
设 $\Omega$ 是样本空间，$\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的某些子集组成的集合（事件域）。若实值函数 $P$ 满足：

**公理 1（非负性）：** 对任意 $A \in \mathcal{F}$，$P(A) \geq 0$

**公理 2（规范性）：** $P(\Omega) = 1$

**公理 3（可列可加性）：** 对任意两两互斥的事件 $A_1, A_2, \ldots$（$A_i \cap A_j = \emptyset, i \neq j$），有
$$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$$

则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的**概率**。

==== 1.3.3 概率的基本性质 ====

**性质 1：** $P(\emptyset) = 0$

**证明：** 令 $A_i = \emptyset$（$i = 1, 2, \ldots$），则 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \emptyset$。

由可列可加性：$P(\emptyset) = \sum_{i=1}^{\infty} P(\emptyset)$，故 $P(\emptyset) = 0$。

**性质 2（有限可加性）：**
若 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 两两互斥，则
$$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$$

**性质 3：** $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

**证明：** $A \cup \overline{A} = \Omega$，$A \cap \overline{A} = \emptyset$

故 $P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1$

**性质 4（单调性）：** 若 $A \subseteq B$，则 $P(A) \leq P(B)$ 且 $P(B - A) = P(B) - P(A)$

**性质 5（加法公式）：**
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

**证明：** $A \cup B = A \cup (B - A)$，$A \cap (B - A) = \emptyset$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B - A) = P(A) + P(B - AB) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

**推广（容斥原理）：**
$$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_i A_j) + \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1 A_2 \cdots A_n)$$

**例 1.5** 已知 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.5$，$P(AB) = 0.2$，求：

(1) $P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7$

(2) $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.7 = 0.3$

(3) $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{AB}) = 1 - 0.2 = 0.8$

===== 1.4 古典概型与几何概型 =====

==== 1.4.1 古典概型 ====

**定义 1.6（古典概型）**
若试验满足：
1. 样本空间 $\Omega$ 只含有限个样本点：$\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\}$
2. 每个基本事件发生的可能性相同

则称该试验为**古典概型**（等可能概型）。

**古典概型的概率计算：**
$$P(A) = \frac{A \text{ 包含的基本事件数}}{\Omega \text{ 中基本事件总数}} = \frac{k}{n}$$

**例 1.6** 掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：

(1) $A$："出现偶数点"

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

(2) $B$："出现点数大于 4"

$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

**例 1.7** 从 0, 1, 2, ..., 9 中随机取 4 个数（不放回），求恰好组成一个 4 位偶数的概率。

**解：** 总取法：$A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

偶数要求末位是 0, 2, 4, 6, 8。

- 末位是 0：首位有 9 种，共 $9 \times 8 \times 7 = 504$
- 末位是 2, 4, 6, 8（4种）：首位不能为 0 和末位，共 $4 \times 8 \times 8 \times 7 = 1792$

$$P = \frac{504 + 1792}{5040} = \frac{2296}{5040} = \frac{41}{90}$$

**例 1.8（生日问题）**
假设一年有 365 天，求 $n$ 个人中至少有两人生日相同的概率。

**解：** 设 $A$ 为"至少两人生日相同"，则 $\overline{A}$ 为"所有人生日都不同"。

$$P(\overline{A}) = \frac{365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}$$

$$P(A) = 1 - \frac{365!}{(365-n)! \cdot 365^n}$$

当 $n = 23$ 时，$P(A) \approx 0.507 > 0.5$
当 $n = 50$ 时，$P(A) \approx 0.97$

==== 1.4.2 几何概型 ====

**定义 1.7（几何概型）**
若试验满足：
1. 样本空间 $\Omega$ 是可度量的几何区域
2. 每个样本点落入 $\Omega$ 中某区域的可能性与该区域的度量成正比，与位置和形状无关

则事件 $A$ 的概率为：
$$P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}$$
其中 $\mu$ 表示度量（长度、面积、体积等）。

**例 1.9（会面问题）**
甲、乙两人约定在 0 到 $T$ 这段时间内在某地会面，先到者等待 $t$（$t < T$）时间后离去。求两人能会面的概率。

**解：** 设甲、乙到达时刻分别为 $x, y \in [0, T]$。

样本空间：$\Omega = \{(x, y) : 0 \leq x \leq T, 0 \leq y \leq T\}$，面积 $\mu(\Omega) = T^2$

能会面条件：$|x - y| \leq t$

事件 $A = \{(x, y) : |x - y| \leq t\}$

$\overline{A} = \{(x, y) : y > x + t \text{ 或 } y < x - t\}$，面积为 $(T-t)^2$

$$P(A) = 1 - \frac{(T-t)^2}{T^2} = 1 - \left(1 - \frac{t}{T}\right)^2$$

===== 1.5 条件概率 =====

==== 1.5.1 条件概率的定义 ====

**定义 1.8（条件概率）**
设 $A, B$ 是两个事件，且 $P(A) > 0$，称
$$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$
为在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的**条件概率**。

**例 1.10** 掷两颗骰子，已知点数之和为 7，求其中一颗为 1 点的概率。

**解：** 设 $A$："点数之和为 7"，$B$："其中一颗为 1 点"

$A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$，$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

$AB = \{(1,6), (6,1)\}$，$P(AB) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

$$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{1/18}{1/6} = \frac{1}{3}$$

==== 1.5.2 乘法公式 ====

**定理 1.1（乘法公式）**
若 $P(A) > 0$，则 $P(AB) = P(A)P(B|A)$

若 $P(A) > 0, P(AB) > 0$，则 $P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)$

**推广：**
$$P(A_1 A_2 \cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1 A_2) \cdots P(A_n|A_1 \cdots A_{n-1})$$

**例 1.11** 袋中有 5 白 3 黑共 8 个球，不放回地取两次，求两次都取到白球的概率。

**解：** 设 $A$："第一次取白球"，$B$："第二次取白球"

$$P(A) = \frac{5}{8}, \quad P(B|A) = \frac{4}{7}$$

$$P(AB) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{5}{14}$$

===== 1.6 全概率公式与贝叶斯公式 =====

==== 1.6.1 全概率公式 ====

**定理 1.2（全概率公式）**
设 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个划分（完备事件组），$P(A_i) > 0$，则对任意事件 $B$：
$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$$

**证明：** $B = B\Omega = B(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = BA_1 \cup BA_2 \cup \cdots \cup BA_n$

由于 $A_i$ 两两互斥，$BA_i$ 也两两互斥，故
$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(BA_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$$

**例 1.12** 某工厂有甲、乙、丙三台机器生产产品，产量分别占总产量的 50%、30%、20%。已知各机器的次品率分别为 3%、4%、5%。

(1) 求任取一件产品是次品的概率。
(2) 若取到次品，求它来自甲机器的概率。

**解：** 设 $A_1, A_2, A_3$ 分别表示产品来自甲、乙、丙机器，$B$ 表示取到次品。

(1) 由全概率公式：
$$\begin{aligned}
P(B) &= P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \\
&= 0.5 \times 0.03 + 0.3 \times 0.04 + 0.2 \times 0.05 \\
&= 0.015 + 0.012 + 0.010 = 0.037 = 3.7\%
\end{aligned}$$

(2) 由贝叶斯公式：
$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.5 \times 0.03}{0.037} = \frac{0.015}{0.037} \approx 0.405 = 40.5\%$$

==== 1.6.2 贝叶斯公式 ====

**定理 1.3（贝叶斯公式）**
设 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 是样本空间的一个划分，$P(A_i) > 0$，则
$$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)} = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$$

**贝叶斯公式的意义：**
- $P(A_i)$：先验概率（试验前的概率）
- $P(A_i|B)$：后验概率（获得信息 $B$ 后的修正概率）

贝叶斯公式是**由结果推原因**的概率计算方法。

**例 1.13（疾病检测）**
某疾病的发病率为 0.1%。检测方法的准确率：患者确实患病时检测呈阳性的概率为 99%；健康人检测呈阴性的概率为 98%。

若某人检测结果为阳性，求他实际患病的概率。

**解：** 设 $A$："患病"，$\overline{A}$："健康"，$B$："检测阳性"

$P(A) = 0.001$，$P(B|A) = 0.99$，$P(B|\overline{A}) = 0.02$

$$\begin{aligned}
P(A|B) &= \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})} \\
&= \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.02} \\
&= \frac{0.00099}{0.00099 + 0.01998} \approx 0.047 = 4.7\%
\end{aligned}$$

尽管检测准确率很高，但由于疾病发病率很低，检测阳性者实际患病的概率只有约 4.7%。

===== 1.7 事件的独立性 =====

==== 1.7.1 两个事件的独立性 ====

**定义 1.9（独立性）**
设 $A, B$ 是两个事件，若
$$P(AB) = P(A)P(B)$$
则称事件 $A$ 与 $B$ **相互独立**，简称**独立**。

**定理 1.4**
若 $P(A) > 0$，则 $A$ 与 $B$ 独立当且仅当 $P(B|A) = P(B)$。

**独立性的性质：**
- 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$、$\overline{A}$ 与 $B$、$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 都独立

==== 1.7.2 多个事件的独立性 ====

**定义 1.10（两两独立与相互独立）**
设 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 是 $n$ 个事件：
- 若对任意 $1 \leq i < j \leq n$，有 $P(A_i A_j) = P(A_i)P(A_j)$，则称它们**两两独立**
- 若对任意 $k$（$2 \leq k \leq n$）和任意 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n$，有 $P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$，则称它们**相互独立**

**注：** 相互独立 ⇒ 两两独立，但反之不成立。

**例 1.14** 设样本空间 $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$，每个样本点等概率。

$A = \{1, 2\}$，$B = \{1, 3\}$，$C = \{1, 4\}$

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2}$

$P(AB) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} = P(A)P(B)$，同理 $AC, BC$ 也独立。

但 $P(ABC) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{8} = P(A)P(B)P(C)$

故 $A, B, C$ 两两独立但不相互独立。

===== 1.8 典型例题 =====

**例题 1.1** 证明：$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$

**证明：** $P(A \cup B \cup C) = P((A \cup B) \cup C) = P(A \cup B) + P(C) - P((A \cup B)C)$

$= P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC \cup BC)$

$= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$

**例题 1.2** 袋中有 $a$ 个白球，$b$ 个黑球。不放回地取 $k$ 个球（$k \leq a + b$），求第 $k$ 次取到白球的概率。

**解：** 由对称性，第 $k$ 次取到白球的概率与第一次相同，为 $\frac{a}{a+b}$。

严格证明：用全概率公式对前 $k-1$ 次取球结果求和，结果仍为 $\frac{a}{a+b}$。

===== 1.9 习题 =====

**基础题**
1. 设 $A, B, C$ 是三个事件，用 $A, B, C$ 的运算表示：
   (a) $A$ 发生，$B, C$ 不发生
   (b) $A, B, C$ 至少有一个发生
   (c) $A, B, C$ 恰有一个发生

2. 已知 $P(A) = 0.6$，$P(B) = 0.5$，$P(A \cup B) = 0.8$，求：
   (a) $P(AB)$
   (b) $P(\overline{A}\overline{B})$
   (c) $P(\overline{A} \cup B)$

**提高题**
3. 袋中有 10 个球，其中 4 白 6 黑。不放回地取 3 个球，求：
   (a) 恰好 2 白 1 黑的概率
   (b) 至少 1 个白球的概率

4. 某射手的命中率为 0.8，独立射击 3 次，求：
   (a) 恰好命中 2 次的概率
   (b) 至少命中 1 次的概率

**挑战题**
5. 证明：若 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$，且 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $B$ 相容（即 $AB \neq \emptyset$）。

6. （蒙特霍尔问题）游戏节目有三扇门，背后分别是两羊一车。你选一扇门后，主持人（知道门后情况）打开另一扇有羊的门，问你是否换门。证明换门后获胜概率为 $\frac{2}{3}$。

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