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====== 第六章 数理统计基础 ======

===== 6.1 总体与样本 =====

==== 6.1.1 总体与个体 ====

**定义 6.1（总体与个体）**
在数理统计中，将研究对象的全体称为**总体**，总体中的每个元素称为**个体**。

总体可以用一个随机变量 $X$ 来表示，$X$ 的分布称为**总体分布**。

**例 6.1**
- 研究某批灯泡的寿命：总体是该批灯泡寿命的全体
- 研究某校学生的身高：总体是该校学生身高的全体

==== 6.1.2 样本 ====

**定义 6.2（样本）**
从总体中抽取的一部分个体称为**样本**（或**子样**），样本中所含个体的数目称为**样本容量**。

**简单随机样本：**
若样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 满足：
1. 每个 $X_i$ 与总体 $X$ 同分布
2. $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立

则称其为**简单随机样本**，简称**样本**。

**样本的联合分布：**
- 离散型：$P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^n P(X = x_i)$
- 连续型：$f(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i)$

===== 6.2 统计量 =====

==== 6.2.1 统计量的定义 ====

**定义 6.3（统计量）**
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，$g(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 是样本的函数。若 $g$ 中**不含任何未知参数**，则称 $g$ 为**统计量**。

统计量是随机变量，其分布称为**抽样分布**。

==== 6.2.2 常用统计量 =====

**1. 样本均值**
$$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$$

**2. 样本方差**
$$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2\right)$$

**样本标准差：** $S = \sqrt{S^2}$

**注：** 分母用 $n-1$ 而非 $n$，是为了使 $E(S^2) = \sigma^2$（无偏性）。

**3. 样本 $k$ 阶原点矩**
$$A_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k \quad (k = 1, 2, \ldots)$$

**4. 样本 $k$ 阶中心矩**
$$B_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^k \quad (k = 1, 2, \ldots)$$

**5. 顺序统计量**
将样本按大小排列：$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \cdots \leq X_{(n)}$，则 $X_{(k)}$ 称为第 $k$ 个**顺序统计量**。

- **样本中位数：**
$$\tilde{X} = \begin{cases} X_{(\frac{n+1}{2})}, & n \text{ 奇} \\ \frac{1}{2}(X_{(\frac{n}{2})} + X_{(\frac{n}{2}+1)}), & n \text{ 偶} \end{cases}$$

- **样本极差：** $R = X_{(n)} - X_{(1)}$

===== 6.3 抽样分布 =====

==== 6.3.1 正态总体的抽样分布 ====

**定理 6.1**
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，则：
1. $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
2. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
3. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立

==== 6.3.2 三大分布 =====

**1. $\chi^2$ 分布（卡方分布）**

**定义 6.4（$\chi^2$ 分布）**
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 相互独立且都服从 $N(0, 1)$，则称
$$\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2$$
服从**自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布**，记为 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$。

**性质：**
- $E(\chi^2) = n$，$D(\chi^2) = 2n$
- **可加性：** 若 $\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)$，$\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)$，独立，则 $\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$

**2. $t$ 分布（学生氏分布）**

**定义 6.5（$t$ 分布）**
设 $X \sim N(0, 1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，$X$ 与 $Y$ 独立，则称
$$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$
服从**自由度为 $n$ 的 $t$ 分布**，记为 $T \sim t(n)$。

**性质：**
- $t$ 分布关于 $y$ 轴对称
- $n \to \infty$ 时，$t(n) \to N(0, 1)$
- $n$ 较大时（$n > 30$），可用 $N(0, 1)$ 近似

**3. $F$ 分布**

**定义 6.6（$F$ 分布）**
设 $U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$，$U$ 与 $V$ 独立，则称
$$F = \frac{U/n_1}{V/n_2}$$
服从**自由度为 $(n_1, n_2)$ 的 $F$ 分布**，记为 $F \sim F(n_1, n_2)$。

**性质：**
- 若 $F \sim F(n_1, n_2)$，则 $\frac{1}{F} \sim F(n_2, n_1)$
- $F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2, n_1)}$

==== 6.3.3 正态总体统计量的分布 ====

**单正态总体：**
设 $X_1, \ldots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

1. $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

2. $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

3. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$

**双正态总体：**
设 $X_1, \ldots, X_{n_1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y_1, \ldots, Y_{n_2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，独立，则

1. 当 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ 时：
$$T = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)$$
其中 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

2. $\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

===== 6.4 分位数 =====

**定义 6.7（分位数）**
设 $X$ 是随机变量，$\alpha \in (0, 1)$，若 $x_\alpha$ 满足
$$P(X > x_\alpha) = \alpha$$
则称 $x_\alpha$ 为 $X$ 的**上 $\alpha$ 分位数**（或**上侧 $\alpha$ 分位数**）。

等价地：$P(X \leq x_\alpha) = 1 - \alpha$

**常用分位数记号：**
- $u_\alpha$：标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数
- $\chi_\alpha^2(n)$：$\chi^2(n)$ 的上 $\alpha$ 分位数
- $t_\alpha(n)$：$t(n)$ 的上 $\alpha$ 分位数
- $F_\alpha(n_1, n_2)$：$F(n_1, n_2)$ 的上 $\alpha$ 分位数

**性质：**
- $u_{1-\alpha} = -u_\alpha$
- $t_{1-\alpha}(n) = -t_\alpha(n)$

===== 6.5 典型例题 =====

**例题 6.1** 设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自总体 $N(0, 2^2)$ 的样本，令
$$Y = a(X_1 - 2X_2)^2 + b(3X_3 - 4X_4)^2$$
求 $a, b$ 使 $Y \sim \chi^2(n)$，并确定 $n$。

**解：** $X_1 - 2X_2 \sim N(0, 4 + 16) = N(0, 20)$，$\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \sim N(0, 1)$

$3X_3 - 4X_4 \sim N(0, 36 + 64) = N(0, 100)$，$\frac{3X_3 - 4X_4}{10} \sim N(0, 1)$

取 $a = \frac{1}{20}$，$b = \frac{1}{100}$，则 $Y \sim \chi^2(2)$，$n = 2$。

**例题 6.2** 设 $X_1, \ldots, X_n$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，求 $E(S^2)$ 和 $D(S^2)$。

**解：** $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

$E\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right) = n-1$，故 $E(S^2) = \sigma^2$

$D\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right) = 2(n-1)$，故 $D(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}$

===== 6.6 习题 =====

**基础题**
1. 设 $X_1, \ldots, X_{10}$ 是来自总体 $N(0, 0.3^2)$ 的样本，求 $P(\sum_{i=1}^{10} X_i^2 > 1.44)$。

2. 设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自总体 $N(0, 1)$ 的样本，$Y = \frac{(X_1 + X_2)^2}{(X_3 - X_4)^2}$，求 $Y$ 的分布。

**提高题**
3. 设 $T \sim t(n)$，证明：$T^2 \sim F(1, n)$。

4. 设 $X_1, \ldots, X_n$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别是样本均值和样本方差。又设 $X_{n+1} \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且与 $X_1, \ldots, X_n$ 独立，求统计量 $Y = \frac{X_{n+1} - \bar{X}}{S}\sqrt{\frac{n}{n+1}}$ 的分布。

**挑战题**
5. 设 $X_1, \ldots, X_n$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\bar{X}_k = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k X_i$（$1 \leq k < n$），求统计量 $T = \frac{\bar{X}_n - \bar{X}_k}{S_k}\sqrt{\frac{k(n-k)}{n}}$ 的分布，其中 $S_k^2 = \frac{1}{k-1}\sum_{i=1}^k (X_i - \bar{X}_k)^2$。

6. 设 $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq \cdots \leq X_{(n)}$ 是来自总体 $N(0, 1)$ 样本的顺序统计量，求 $E(X_{(n)})$ 和 $D(X_{(n)})$ 的近似表达式（$n$ 较大时）。

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