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====== 第三章 完备度量空间 ======

===== 3.1 引言 =====

完备性是度量空间最重要的性质之一。在实数理论中，我们知道\\(\\mathbb{R}\\)相对于\\(\\mathbb{Q}\\)的一个重要优势是完备性：\\(\\mathbb{R}\\)中的任何Cauchy列都收敛，而\\(\\mathbb{Q}\\)不具备这一性质。这种完备性保证了极限运算的封闭性，是微积分理论的基础。

本章将这一概念推广到一般的度量空间，研究完备度量空间的性质、完备化构造以及最重要的应用——压缩映射原理和不动点定理。

===== 3.2 Cauchy列与完备性 =====

==== 3.2.1 Cauchy列的定义 =====

**定义 3.1**（Cauchy列）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(\\{x_n\\}_{n=1}^\\infty\\)是\\(X\\)中的点列。如果对于任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在正整数\\(N\\)，使得当\\(m, n \\geq N\\)时：

$$d(x_m, x_n) < \\epsilon$$

则称\\(\\{x_n\\}\\)为**Cauchy列**（或**基本列**）。

等价表述：\\(\\{x_n\\}\\)是Cauchy列当且仅当\\(\\lim_{m,n \\to \\infty} d(x_m, x_n) = 0\\)。

**定义 3.2**（完备度量空间）度量空间\\((X, d)\\)称为**完备的**，如果\\(X\\)中的每个Cauchy列都在\\(X\\)中收敛。

**定理 3.1**（Cauchy列的基本性质）

**(1)** 收敛列必是Cauchy列；

**(2)** Cauchy列必有界；

**(3)** Cauchy列的任一子列仍是Cauchy列；

**(4)** 若Cauchy列有收敛子列，则该列收敛。

**证明**：

**(1)** 设\\(x_n \\to x\\)。对\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(N\\)使得当\\(n \\geq N\\)时\\(d(x_n, x) < \\epsilon/2\\)。则当\\(m, n \\geq N\\)时：

$$d(x_m, x_n) \\leq d(x_m, x) + d(x, x_n) < \\frac{\\epsilon}{2} + \\frac{\\epsilon}{2} = \\epsilon$$

**(2)** 对\\(\\epsilon = 1\\)，存在\\(N\\)使得当\\(m, n \\geq N\\)时\\(d(x_m, x_n) < 1\\)。令\\(M = \\max\\{d(x_1, x_N), \\ldots, d(x_{N-1}, x_N)\\} + 1\\)，则对所有\\(n\\)，\\(d(x_n, x_N) \\leq M\\)。

**(4)** 设\\(\\{x_{n_k}\\}\\)收敛于\\(x\\)。对\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(N_1\\)使得当\\(m, n \\geq N_1\\)时\\(d(x_m, x_n) < \\epsilon/2\\)；存在\\(K\\)使得当\\(k \\geq K\\)时\\(d(x_{n_k}, x) < \\epsilon/2\\)。取\\(N = \\max\\{N_1, n_K\\}\\)，当\\(n \\geq N\\)时：

$$d(x_n, x) \\leq d(x_n, x_{n_K}) + d(x_{n_K}, x) < \\frac{\\epsilon}{2} + \\frac{\\epsilon}{2} = \\epsilon$$

\\(\\square\\)

**注记**：在一般度量空间中，Cauchy列未必收敛。例如，\\(\\mathbb{Q}\\)（具有通常度量）不完备，\\(x_n = \\sum_{k=1}^n \\frac{1}{k^2}\\)是Cauchy列但不收敛于有理数。

==== 3.2.2 完备空间的例子 =====

**定理 3.2** \\(\\mathbb{R}^n\\)（具有通常欧几里得度量）是完备度量空间。

**证明**：设\\(\\{x^{(k)}\\}\\)是\\(\\mathbb{R}^n\\)中的Cauchy列，其中\\(x^{(k)} = (x_1^{(k)}, \\ldots, x_n^{(k)})\\)。

对每个\\(i = 1, \\ldots, n\\)：

$$|x_i^{(m)} - x_i^{(k)}| \\leq \\left(\\sum_{j=1}^n |x_j^{(m)} - x_j^{(k)}|^2\\right)^{1/2} = d_2(x^{(m)}, x^{(k)})$$

故\\(\\{x_i^{(k)}\\}_{k=1}^\\infty\\)是\\(\\mathbb{R}\\)中的Cauchy列。由\\(\\mathbb{R}\\)的完备性，\\(x_i^{(k)} \\to x_i\\)（\\(k \\to \\infty\\)）。令\\(x = (x_1, \\ldots, x_n)\\)，则：

$$d_2(x^{(k)}, x) = \\left(\\sum_{i=1}^n |x_i^{(k)} - x_i|^2\\right)^{1/2} \\to 0$$

故\\(x^{(k)} \\to x\\)。\\(\\square\\)

**定理 3.3** \\(l^\\infty\\)是完备度量空间。

**证明**：设\\(\\{x^{(n)}\\}\\)是\\(l^\\infty\\)中的Cauchy列，其中\\(x^{(n)} = (x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, \\ldots)\\)。

对每个固定的\\(k\\)，\\(\\{x_k^{(n)}\\}_{n=1}^\\infty\\)是\\(\\mathbb{C}\\)（或\\(\\mathbb{R}\\)）中的Cauchy列：

$$|x_k^{(m)} - x_k^{(n)}| \\leq \\sup_j |x_j^{(m)} - x_j^{(n)}| = d_\\infty(x^{(m)}, x^{(n)})$$

由\\(\\mathbb{C}\\)的完备性，\\(x_k^{(n)} \\to x_k\\)（\\(n \\to \\infty\\)）。令\\(x = (x_1, x_2, \\ldots)\\)。

**(1)** 证明\\(x \\in l^\\infty\\)：\\(\\{x^{(n)}\\}\\)是Cauchy列，故有界，存在\\(M > 0\\)使得对所有\\(n\\)，\\(\\|x^{(n)}\\|_\\infty \\leq M\\)。则对每个\\(k\\)：

$$|x_k| = \\lim_{n \\to \\infty} |x_k^{(n)}| \\leq M$$

故\\(\\|x\\|_\\infty \\leq M\\)，\\(x \\in l^\\infty\\)。

**(2)** 证明\\(x^{(n)} \\to x\\)：对\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(N\\)使得当\\(m, n \\geq N\\)时：

$$\\sup_k |x_k^{(m)} - x_k^{(n)}| < \\epsilon$$

令\\(m \\to \\infty\\)，得\\(\\sup_k |x_k - x_k^{(n)}| \\leq \\epsilon\\)，即\\(d_\\infty(x, x^{(n)}) \\leq \\epsilon\\)。\\(\\square\\)

**定理 3.4** \\(C[a,b]\\)（赋予上确界范数）是完备度量空间。

**证明**：设\\(\\{f_n\\}\\)是\\(C[a,b]\\)中的Cauchy列。

**(1)** 对每个\\(t \\in [a,b]\\)，\\(\\{f_n(t)\\}\\)是\\(\\mathbb{R}\\)中的Cauchy列，故收敛。定义\\(f(t) = \\lim_{n \\to \\infty} f_n(t)\\)。

**(2)** 证明\\(f_n\\)一致收敛于\\(f\\)：对\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(N\\)使得当\\(m, n \\geq N\\)时：

$$\\sup_{t \\in [a,b]} |f_m(t) - f_n(t)| < \\epsilon$$

令\\(m \\to \\infty\\)，得\\(|f(t) - f_n(t)| \\leq \\epsilon\\)对所有\\(t \\in [a,b]\\)和\\(n \\geq N\\)成立。故\\(f_n \\rightrightarrows f\\)。

**(3)** 由一致收敛性，\\(f \\in C[a,b]\\)。\\(\\square\\)

**定理 3.5** 对\\(1 \\leq p < \\infty\\)，\\(l^p\\)是完备度量空间。

**证明**：设\\(\\{x^{(n)}\\}\\)是\\(l^p\\)中的Cauchy列。类似定理3.3的证明，对每个\\(k\\)，\\(x_k^{(n)} \\to x_k\\)。

对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(N\\)使得当\\(m, n \\geq N\\)时：

$$\\sum_{k=1}^\\infty |x_k^{(m)} - x_k^{(n)}|^p < \\epsilon^p$$

对任意正整数\\(K\\)：

$$\\sum_{k=1}^K |x_k^{(m)} - x_k^{(n)}|^p < \\epsilon^p$$

令\\(m \\to \\infty\\)：

$$\\sum_{k=1}^K |x_k - x_k^{(n)}|^p \\leq \\epsilon^p$$

令\\(K \\to \\infty\\)：

$$\\sum_{k=1}^\\infty |x_k - x_k^{(n)}|^p \\leq \\epsilon^p$$

故\\(x - x^{(n)} \\in l^p\\)，\\(x = (x - x^{(n)}) + x^{(n)} \\in l^p\\)，且\\(d_p(x, x^{(n)}) \\leq \\epsilon\\)。\\(\\square\\)

===== 3.3 度量空间的完备化 =====

==== 3.3.1 完备化的必要性 =====

许多重要的度量空间不完备。例如：
- \\(\\mathbb{Q}\\)不完备，完备化得到\\(\\mathbb{R}\\)
- 多项式空间\\(P[a,b]\\)（具有上确界范数）不完备，完备化得到\\(C[a,b]\\)
- 连续函数空间\\(C[a,b]\\)（具有\\(L^p\\)范数，\\(1 \\leq p < \\infty\\)）不完备，完备化得到\\(L^p[a,b]\\)

**定义 3.3**（等距同构）设\\((X, d_X)\\)和\\((Y, d_Y)\\)是度量空间。映射\\(T: X \\to Y\\)称为**等距映射**，如果对任意\\(x_1, x_2 \\in X\\)：

$$d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)$$

若\\(T\\)还是双射，则称\\(X\\)与\\(Y\\)**等距同构**。

**定义 3.4**（完备化）度量空间\\((\\tilde{X}, \\tilde{d})\\)称为\\((X, d)\\)的**完备化**，如果：

**(1)** \\((\\tilde{X}, \\tilde{d})\\)是完备度量空间；

**(2)** 存在等距映射\\(T: X \\to \\tilde{X}\\)；

**(3)** \\(T(X)\\)在\\(\\tilde{X}\\)中稠密。

==== 3.3.2 完备化的存在性与唯一性 =====

**定理 3.6**（完备化定理）每个度量空间都有完备化，且在等距同构意义下唯一。

**证明**（存在性概要）：

设\\((X, d)\\)是度量空间。定义：

$$\\tilde{X} = \\left\\{\\{x_n\\} : \\{x_n\\} \\text{ 是 } X \\text{ 中的Cauchy列}\\right\\} / \\sim$$

其中\\(\\{x_n\\} \\sim \\{y_n\\}\\)当且仅当\\(\\lim_{n \\to \\infty} d(x_n, y_n) = 0\\)。

定义\\(\\tilde{d}([\\{x_n\\}], [\\{y_n\\}]) = \\lim_{n \\to \\infty} d(x_n, y_n)\\)（极限存在因\\(|d(x_m, y_m) - d(x_n, y_n)| \\leq d(x_m, x_n) + d(y_m, y_n) \\to 0\\)）。

嵌入\\(T: X \\to \\tilde{X}\\)定义为\\(T(x) = [\\{x, x, x, \\ldots\\}]\\)（常值列的等价类）。

可验证\\((\\tilde{X}, \\tilde{d})\\)完备，\\(T\\)是等距嵌入，\\(T(X)\\)稠密。\\(\\square\\)

**定理 3.7**（唯一性）若\\((\\tilde{X}_1, \\tilde{d}_1)\\)和\\((\\tilde{X}_2, \\tilde{d}_2)\\)都是\\((X, d)\\)的完备化，则它们等距同构。

===== 3.4 压缩映射原理 =====

==== 3.4.1 压缩映射的定义 =====

**定义 3.5**（压缩映射）设\\((X, d)\\)是度量空间，映射\\(T: X \\to X\\)称为**压缩映射**，如果存在常数\\(\\alpha \\in [0, 1)\\)，使得对所有\\(x, y \\in X\\)：

$$d(Tx, Ty) \\leq \\alpha \\cdot d(x, y)$$

常数\\(\\alpha\\)称为**压缩系数**或**Lipschitz常数**。

**注记**：
- 压缩映射必是连续映射（实际上是一致连续的）
- 压缩系数\\(\\alpha < 1\\)是关键条件

**例 3.1** 设\\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\)可微且\\(|f'(x)| \\leq \\alpha < 1\\)对所有\\(x\\)成立。由中值定理，\\(f\\)是压缩映射。

**例 3.2** 设\\(K: [a,b] \\times [a,b] \\to \\mathbb{R}\\)连续，

$$(Tf)(x) = \\lambda \\int_a^b K(x,y)f(y)dy$$

若\\(|\\lambda|\\)足够小，\\(T\\)可以是\\(C[a,b]\\)上的压缩映射。

==== 3.4.2 Banach不动点定理 =====

**定理 3.8**（Banach压缩映射原理/不动点定理）设\\((X, d)\\)是**完备**度量空间，\\(T: X \\to X\\)是压缩映射（压缩系数为\\(\\alpha\\)）。则：

**(1)** \\(T\\)存在**唯一的不动点**\\(x^* \\in X\\)，即\\(Tx^* = x^*\\)；

**(2)** 对任意初值\\(x_0 \\in X\\)，迭代序列\\(x_{n+1} = Tx_n\\)收敛于\\(x^*\\)；

**(3)** 有以下误差估计：

$$d(x_n, x^*) \\leq \\frac{\\alpha^n}{1-\\alpha} d(x_1, x_0)$$

$$d(x_n, x^*) \\leq \\frac{\\alpha}{1-\\alpha} d(x_n, x_{n-1})$$

**证明**：

**(1)** 任取\\(x_0 \\in X\\)，定义\\(x_{n+1} = Tx_n\\)。

对\\(n \\geq 1\\)：

$$d(x_{n+1}, x_n) = d(Tx_n, Tx_{n-1}) \\leq \\alpha \\cdot d(x_n, x_{n-1}) \\leq \\cdots \\leq \\alpha^n \\cdot d(x_1, x_0)$$

对\\(m > n\\)：

$$\\begin{align}d(x_m, x_n) &\\leq \\sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k+1}, x_k) \\\\&\\leq \\sum_{k=n}^{m-1} \\alpha^k \\cdot d(x_1, x_0) \\\\&\\leq \\frac{\\alpha^n}{1-\\alpha} \\cdot d(x_1, x_0) \\to 0 \\quad (n \\to \\infty)\\end{align}$$

故\\(\\{x_n\\}\\)是Cauchy列。由完备性，\\(x_n \\to x^*\\)。

由\\(T\\)的连续性：

$$Tx^* = T(\\lim_{n \\to \\infty} x_n) = \\lim_{n \\to \\infty} Tx_n = \\lim_{n \\to \\infty} x_{n+1} = x^*$$

**(2)** 唯一性：设\\(x^*, y^*\\)都是不动点，则：

$$d(x^*, y^*) = d(Tx^*, Ty^*) \\leq \\alpha \\cdot d(x^*, y^*)$$

由于\\(\\alpha < 1\\)，必有\\(d(x^*, y^*) = 0\\)，即\\(x^* = y^*\\)。

**(3)** 误差估计：在\\(d(x_m, x_n) \\leq \\frac{\\alpha^n}{1-\\alpha} d(x_1, x_0)\\)中令\\(m \\to \\infty\\)得第一个估计。

由三角不等式：

$$d(x_n, x^*) \\leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, x^*) \\leq \\alpha \\cdot d(x_{n-1}, x_n) + \\alpha \\cdot d(x_n, x^*)$$

解得第二个估计。\\(\\square\\)

**注记**：
- 完备性不可去掉。例如\\(X = (0, 1]\\)，\\(Tx = x/2\\)是压缩映射但无不动点。
- 压缩系数\\(\\alpha < 1\\)不可改为\\(\\alpha \\leq 1\\)。例如\\(X = \\mathbb{R}\\)，\\(Tx = x + 1\\)满足\\(d(Tx, Ty) = d(x, y)\\)但无不动点。

==== 3.4.3 应用：积分方程 =====

**例 3.3**（Fredholm积分方程）考虑方程：

$$f(x) = \\lambda \\int_a^b K(x,y)f(y)dy + g(x)$$

其中\\(K \\in C([a,b] \\times [a,b])\\)，\\(g \\in C[a,b]\\)。

定义\\(T: C[a,b] \\to C[a,b]\\)：

$$(Tf)(x) = \\lambda \\int_a^b K(x,y)f(y)dy + g(x)$$

设\\(M = \\max_{x,y} |K(x,y)|\\)。则：

$$|(Tf)(x) - (Th)(x)| \\leq |\\lambda| M (b-a) \\|f - h\\|_\\infty$$

当\\(|\\lambda| < \\frac{1}{M(b-a)}\\)时，\\(T\\)是压缩映射，方程存在唯一解。

**例 3.4**（Volterra积分方程）考虑：

$$f(x) = \\lambda \\int_a^x K(x,y)f(y)dy + g(x)$$

Volterra算子\\((Tf)(x) = \\lambda \\int_a^x K(x,y)f(y)dy + g(x)\\)对任意\\(\\lambda\\)，当\\(n\\)足够大时\\(T^n\\)是压缩映射，故总有唯一解。

===== 3.5 习题 =====

**习题 3.1** 证明：度量空间\\(X\\)完备当且仅当\\(X\\)中每个全有界的Cauchy列都收敛。

**习题 3.2** 设\\(\\{x_n\\}\\)是度量空间\\(X\\)中的Cauchy列，\\(\\{y_n\\}\\)\\(\\subseteq X\\)满足\\(\\sum_{n=1}^\\infty d(x_n, y_n) < \\infty\\)。证明\\(\\{y_n\\}\\)也是Cauchy列且与\\(\\{x_n\\}\\)有相同的极限（若存在）。

**习题 3.3** 证明\\(C[0,1]\\)在\\(L^1\\)度量下不完备。

**习题 3.4** 设\\(X\\)是完备度量空间，\\(\\{F_n\\}\\)是\\(X\\)中一列非空闭集，满足\\(F_1 \\supseteq F_2 \\supseteq \\cdots\\)且\\(\\text{diam}(F_n) \\to 0\\)。证明\\(\\bigcap_{n=1}^\\infty F_n\\)是单点集。

**习题 3.5** 设\\(T: X \\to X\\)满足\\(d(Tx, Ty) < d(x, y)\\)对所有\\(x \\neq y\\)。若\\(X\\)是紧度量空间，证明\\(T\\)有唯一不动点。

**习题 3.6** 设\\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\)满足\\(|f(x) - f(y)| \\leq k|x - y|\\)其中\\(0 \\leq k < 1\\)。证明方程\\(x = f(x)\\)有唯一解，并可用迭代法逼近。

**习题 3.7** 设\\(A\\)是\\(n \\times n\\)矩阵，\\(\\|A\\| < 1\\)（算子范数）。证明\\(I - A\\)可逆，且\\((I-A)^{-1} = \\sum_{n=0}^\\infty A^n\\)。

**习题 3.8** 设\\(X\\)是度量空间，证明存在完备度量空间\\(\\tilde{X}\\)和等距嵌入\\(\\phi: X \\to \\tilde{X}\\)使得\\(\\phi(X)\\)在\\(\\tilde{X}\\)中稠密。

**习题 3.9** 证明：若\\(T^n\\)是压缩映射（对某个\\(n\\)），则\\(T\\)有唯一不动点。

**习题 3.10** 设\\(f: [a,b] \\times \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\)满足Lipschitz条件：

$$|f(x, u) - f(x, v)| \\leq L|u - v|$$

考虑初值问题：\\(y' = f(x, y)\\)，\\(y(x_0) = y_0\\)。用不动点定理证明解的存在唯一性。

===== 3.6 补充阅读 =====

  * Cantor的完备化方法：用Cauchy列的等价类构造实数
  * 完备化在偏微分方程理论中的应用（Sobolev空间）
  * 非扩张映射的不动点理论（\\(\\alpha = 1\\)的情况）

====== 本章小结 ======

本章深入探讨了完备度量空间的理论：

  - Cauchy列是收敛列的"候选者"，完备性保证所有"候选者"都有极限
  - \\(\\mathbb{R}^n\\)、\\(l^p\\)、\\(C[a,b]\\)（上确界范数）都是完备空间
  - 任何度量空间都可完备化，且完备化在等距意义下唯一
  - 压缩映射原理是泛函分析中最有用的存在性定理之一
  - 不动点定理在微分方程、积分方程、数值分析中有广泛应用