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====== 第八章 有界线性算子 ======

===== 8.1 引言 =====

线性算子是泛函分析的核心研究对象。与有限维情形不同，无限维空间上的线性算子可能无界（不连续），这给理论带来了丰富的结构和挑战。有界线性算子具有良好的性质，构成了Banach代数的基础。

本章将系统介绍有界线性算子的基本理论，包括算子范数、Banach代数、以及三大基本定理中的逆算子定理。

===== 8.2 有界线性算子 =====

==== 8.2.1 线性算子的定义 =====

**定义 8.1**（线性算子）设\\(X, Y\\)是同一数域\\(\\mathbb{K}\\)上的线性空间。映射\\(T: X \\to Y\\)称为**线性算子**，如果对任意\\(x_1, x_2 \\in X\\)和\\(\\alpha \\in \\mathbb{K}\\)：

- \\(T(x_1 + x_2) = Tx_1 + Tx_2\\)（可加性）
- \\(T(\\alpha x_1) = \\alpha Tx_1\\)（齐次性）

等价地，\\(T(\\alpha x_1 + \\beta x_2) = \\alpha Tx_1 + \\beta Tx_2\\)。

**定义 8.2**（有界线性算子）设\\(X, Y\\)是赋范空间。线性算子\\(T: X \\to Y\\)称为**有界**的，如果存在\\(M > 0\\)使得对所有\\(x \\in X\\)：

$$\\|Tx\\| \\leq M \\|x\\|$$

等价地，\\(T\\)将\\(X\\)中的有界集映为\\(Y\\)中的有界集。

**定义 8.3**（算子范数）有界线性算子\\(T\\)的**范数**定义为：

$$\\|T\\| = \\sup_{x \\neq 0} \\frac{\\|Tx\\|}{\\|x\\|} = \\sup_{\\|x\\| = 1} \\|Tx\\| = \\sup_{\\|x\\| \\leq 1} \\|Tx\\|$$

==== 8.2.2 有界性与连续性 =====

**定理 8.1** 设\\(T: X \\to Y\\)是线性算子，以下条件等价：

**(1)** \\(T\\)有界；

**(2)** \\(T\\)在某一点连续；

**(3)** \\(T\\)在\\(X\\)上连续（一致连续）；

**(4)** \\(T\\)将\\(X\\)的单位球映为有界集。

**证明**：

\\((1) \\Rightarrow (3)\\)：若\\(\\|Tx\\| \\leq M\\|x\\|\\)，则对\\(x_n \\to x\\)：

$$\\|Tx_n - Tx\\| = \\|T(x_n - x)\\| \\leq M\\|x_n - x\\| \\to 0$$

\\((3) \\Rightarrow (2)\\)：显然。

\\((2) \\Rightarrow (1)\\)：设\\(T\\)在\\(x_0\\)连续。存在\\(\\delta > 0\\)使得当\\(\\|x - x_0\\| < \\delta\\)时\\(\\|Tx - Tx_0\\| < 1\\)。

对\\(\\|y\\| < \\delta\\)，\\(\\|(x_0 + y) - x_0\\| = \\|y\\| < \\delta\\)，故：

$$\\|Ty\\| = \\|T(x_0 + y) - Tx_0\\| < 1$$

对任意\\(x \\neq 0\\)，\\(\\|\\frac{\\delta x}{2\\|x\\|}\\| = \\frac{\\delta}{2} < \\delta\\)，故：

$$\\left\\|T\\left(\\frac{\\delta x}{2\\|x\\|}\\right)\\right\\| < 1 \\Rightarrow \\|Tx\\| < \\frac{2}{\\delta}\\|x\\|$$

\\(\\square\\)

**注记**：在无限维空间中，存在线性但无界的算子。

**例 8.1**（微分算子）设\\(X = C^1[0,1]\\)（连续可微函数），\\(Y = C[0,1]\\)，都赋予上确界范数。定义：

$$(Tf)(t) = f'(t)$$

考虑\\(f_n(t) = \\sin(nt)\\)，则\\(\\|f_n\\|_\\infty = 1\\)，但\\(\\|Tf_n\\|_\\infty = n\\)。故\\(T\\)无界。

若将\\(X\\)的范数改为\\(\\|f\\| = \\|f\\|_\\infty + \\|f'\\|_\\infty\\)，则\\(T\\)有界且\\(\\|T\\| \\leq 1\\)。

==== 8.2.3 有界线性算子空间 =====

**定义 8.4** 记\\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)为从\\(X\\)到\\(Y\\)的所有有界线性算子构成的集合。

**定理 8.2** \\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)是线性空间，\\(\\|\\cdot\\|\\)是其上的范数。

**定理 8.3** 若\\(Y\\)是Banach空间，则\\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)是Banach空间。

**证明**：设\\(\\{T_n\\}\\)是\\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)中的Cauchy列。对每个\\(x \\in X\\)：

$$\\|T_n x - T_m x\\| \\leq \\|T_n - T_m\\| \\|x\\| \\to 0$$

故\\(\\{T_n x\\}\\)是\\(Y\\)中的Cauchy列，收敛于某点，记为\\(Tx\\)。

可验证\\(T\\)线性。对\\(\\|x\\| \\leq 1\\)：

$$\\|Tx\\| = \\lim_{n \\to \\infty} \\|T_n x\\| \\leq \\limsup_{n \\to \\infty} \\|T_n\\| < \\infty$$

故\\(T\\)有界。\\(\\square\\)

===== 8.3 算子范数的计算 =====

**例 8.2**（矩阵算子）设\\(T: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^m\\)，\\(Tx = Ax\\)（\\(A\\)是\\(m \\times n\\)矩阵）。则：

$$\\|T\\| = \\sup_{\\|x\\|_2 = 1} \\|Ax\\|_2 = \\sqrt{\\lambda_{\\max}(A^TA)}$$

即\\(A\\)的最大奇异值。

**例 8.3**（积分算子）设\\(K \\in C([a,b] \\times [a,b])\\)，

$$(Tf)(x) = \\int_a^b K(x,y)f(y)dy$$

则\\(T: C[a,b] \\to C[a,b]\\)（上确界范数）有界，且：

$$\\|T\\| \\leq \\max_{x \\in [a,b]} \\int_a^b |K(x,y)|dy$$

若\\(K(x,y) \\geq 0\\)，则等号成立。

**例 8.4**（移位算子）在\\(l^2\\)上定义右移算子：

$$S(x_1, x_2, x_3, \\ldots) = (0, x_1, x_2, \\ldots)$$

则\\(\\|S\\| = 1\\)（\\(\\|Sx\\|_2 = \\|x\\|_2\\)），但\\(S\\)不是满射。

左移算子：

$$T(x_1, x_2, x_3, \\ldots) = (x_2, x_3, x_4, \\ldots)$$

\\(\\|T\\| = 1\\)，\\(T\\)是满射但不是单射。

===== 8.4 Banach代数 =====

==== 8.4.1 定义与例子 =====

**定义 8.5**（Banach代数）赋范代数\\(\\mathcal{A}\\)称为**Banach代数**，如果：

**(1)** \\(\\mathcal{A}\\)是Banach空间；

**(2)** \\(\\|xy\\| \\leq \\|x\\|\\|y\\|\\)对所有\\(x, y \\in \\mathcal{A}\\)。

若存在单位元\\(e\\)满足\\(ex = xe = x\\)且\\(\\|e\\| = 1\\)，称为**含单位元的Banach代数**。

**例 8.5** \\(\\mathcal{B}(X) = \\mathcal{B}(X, X)\\)是含单位元的Banach代数，单位元是恒等算子\\(I\\)。

**例 8.6** \\(C(K)\\)（紧Hausdorff空间\\(K\\)上的连续函数）是上确界范数下的Banach代数，乘法为逐点相乘。

**例 8.7** \\(L^\\infty(\\Omega)\\)是本质有界可测函数构成的Banach代数。

==== 8.4.2 谱的基本概念 =====

**定义 8.6**（谱）设\\(\\mathcal{A}\\)是含单位元的Banach代数，\\(x \\in \\mathcal{A}\\)。

**(1)** **预解集**：\\(\\rho(x) = \\{\lambda \\in \\mathbb{C} : \\lambda e - x \\text{ 可逆}\\}\\)

**(2)** **谱**：\\(\\sigma(x) = \\mathbb{C} \\setminus \\rho(x)\\)

**(3)** **谱半径**：\\(r(x) = \\sup\\{|\\lambda| : \\lambda \\in \\sigma(x)\\}\\)

**定理 8.4**（谱的非空性）设\\(\\mathcal{A}\\)是含单位元的复Banach代数，\\(x \\in \\mathcal{A}\\)。则\\(\\sigma(x)\\)是非空紧集，且：

$$r(x) = \\lim_{n \\to \\infty} \\|x^n\\|^{1/n}$$

**注记**：这是Gelfand谱理论的基础，将在第十六章详细讨论。

===== 8.5 逆算子定理 =====

**定理 8.5**（逆算子定理/Banach定理）设\\(X, Y\\)是Banach空间，\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)是双射。则\\(T^{-1} \\in \\mathcal{B}(Y, X)\\)。

**注记**：这意味着从Banach空间到Banach空间的连续线性双射，其逆也自动连续。这是有限维情形的推广，但证明需要深刻的工具（Baire纲定理）。

**定理 8.6**（等价范数定理）设\\(X\\)是线性空间，\\(\\|\\cdot\\|_1\\)和\\(\\|\\cdot\\|_2\\)是\\(X\\)上的范数，都使\\(X\\)成为Banach空间。若存在\\(c > 0\\)使得\\(\\|x\\|_2 \\leq c\\|x\\|_1\\)，则两范数等价。

**证明**：考虑恒等映射\\(I: (X, \\|\\cdot\\|_1) \\to (X, \\|\\cdot\\|_2)\\)。\\(I\\)有界，由逆算子定理\\(I^{-1}\\)有界，故存在\\(c' > 0\\)使得\\(\\|x\\|_1 \\leq c'\\|x\\|_2\\)。\\(\\square\\)

===== 8.6 开映射定理与闭图像定理 =====

**定理 8.7**（开映射定理）设\\(X, Y\\)是Banach空间，\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)是满射。则\\(T\\)是开映射（将开集映为开集）。

**注记**：逆算子定理是开映射定理的推论：若\\(T\\)双射，则\\(T\\)将开集映为开集，故\\(T^{-1}\\)连续。

**定义 8.7**（闭算子）线性算子\\(T: D(T) \\subseteq X \\to Y\\)称为**闭算子**，如果其图像

$$G(T) = \\{(x, Tx) : x \\in D(T)\\}$$

是\\(X \\times Y\\)中的闭集。

等价地，若\\(x_n \\to x\\)，\\(Tx_n \\to y\\)，则\\(x \\in D(T)\\)且\\(Tx = y\\)。

**定理 8.8**（闭图像定理）设\\(X, Y\\)是Banach空间，\\(T: X \\to Y\\)是线性算子。若\\(T\\)是闭算子，则\\(T\\)有界。

**证明**：\\(G(T)\\)是Banach空间\\(X \\times Y\\)的闭子空间，故是Banach空间。投影\\(P: G(T) \\to X\\)，\\(P(x, Tx) = x\\)是有界双射。由逆算子定理，\\(P^{-1}\\)有界，故\\(T\\)有界。\\(\\square\\)

===== 8.7 共鸣定理（一致有界原理） =====

**定理 8.9**（共鸣定理/一致有界原理）设\\(X\\)是Banach空间，\\(Y\\)是赋范空间，\\(\\{T_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I} \\subseteq \\mathcal{B}(X, Y)\\)。如果对每个\\(x \\in X\\)，

$$\\sup_{\\alpha \\in I} \\|T_\\alpha x\\| < \\infty$$

则

$$\\sup_{\\alpha \\in I} \\|T_\\alpha\\| < \\infty$$

**注记**：逐点有界\\(\\Rightarrow\\)一致有界。这是Baire纲定理的重要应用。

**推论 8.1** 设\\(\\{T_n\\} \\subseteq \\mathcal{B}(X, Y)\\)，对每个\\(x \\in X\\)，\\(\\{T_n x\\}\\)收敛。则存在\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)使得\\(T_n \\to T\\)（强算子拓扑）。

===== 8.8 习题 =====

**习题 8.1** 设\\(T: l^2 \\to l^2\\)，\\(T(x_1, x_2, \\ldots) = (x_1, x_2/2, x_3/3, \\ldots)\\)。求\\(\\|T\\|\\)。

**习题 8.2** 证明\\(\\|T\\| = \\sup_{\\|x\\|=\\|y\\|=1} |\\langle Tx, y\\rangle|\\)（Hilbert空间情形）。

**习题 8.3** 设\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)。证明\\(\\|T\\| = \\inf\\{M : \\|Tx\\| \\leq M\\|x\\|, \\forall x\\}\\)。

**习题 8.4** 设\\(X\\)是Banach空间，\\(T \\in \\mathcal{B}(X)\\)，\\(\\|I - T\\| < 1\\)。证明\\(T\\)可逆。

**习题 8.5** 构造一个无界闭算子的例子。

**习题 8.6** 证明：有限维空间之间的线性算子必是有界的。

**习题 8.7** 设\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)，\\(S \\in \\mathcal{B}(Y, Z)\\)。证明\\(\\|ST\\| \\leq \\|S\\|\\|T\\|\\)。

**习题 8.8** 设\\(\\{T_n\\} \\subseteq \\mathcal{B}(X, Y)\\)使得对每个\\(x\\)，\\(\\{T_n x\\}\\)是Cauchy列。若\\(Y\\)完备，证明存在\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)使得\\(T_n x \\to Tx\\)。

**习题 8.9** 证明：若\\(T: X \\to Y\\)是线性等距（\\(\\|Tx\\| = \\|x\\|\\)）且满射，则\\(T\\)是等距同构。

**习题 8.10** 设\\(X\\)是Banach空间，\\(P \\in \\mathcal{B}(X)\\)是投影（\\(P^2 = P\\)）。证明\\(R(P)\\)闭且\\(X = R(P) \\oplus N(P)\\)。

===== 8.9 补充阅读 =====

  * 紧算子理论
  * Fredholm算子与指标定理
  * 无界算子的谱理论
  * C*-代数简介

====== 本章小结 ======

本章是有界线性算子的理论基础：

  - 有界线性算子=连续线性算子，算子范数量化其"大小"
  - \\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)在算子范数下是Banach空间（当\\(Y\\)完备时）
  - Banach代数是赋范代数与完备性的结合，\\(\\mathcal{B}(X)\\)是典型例子
  - 逆算子、开映射、闭图像、共鸣四大定理是泛函分析的基石
  - 这些定理深刻揭示了Banach空间的结构性质