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====== 第十七章 紧算子的谱理论 ======

===== 17.1 紧算子的定义与性质 =====

**定义 17.1（紧算子）**
设 $X, Y$ 是Banach空间，$T: X \to Y$ 是线性算子。若 $T$ 将 $X$ 中的有界集映为 $Y$ 中的列紧集，则称 $T$ 为**紧算子**（或**全连续算子**）。

**等价定义：** 对 $X$ 中任意有界序列 $\{x_n\}$，$\{Tx_n\}$ 有收敛子列。

**性质：**
1. 紧算子是有界算子
2. 有限秩算子是紧算子
3. 紧算子全体构成 $\mathcal{B}(X,Y)$ 的闭子空间
4. 紧算子的值域是可分的

===== 17.2 Riesz-Schauder理论 =====

**定理 17.1（Riesz-Schauder）**
设 $X$ 是Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X)$ 是紧算子，则：
1. $\sigma(T)$ 至多是可列集，$0$ 是唯一可能的聚点
2. 每个非零谱点都是特征值
3. 对应于非零特征值的特征子空间是有限维的

**Fredholm择一定理：**
设 $T$ 是紧算子，$\lambda \neq 0$，则方程 $(T - \lambda I)x = y$ 有解当且仅当 $y \perp N(T^* - \bar{\lambda}I)$。

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