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====== 第十三章 线性泛函 ======

线性泛函是泛函分析的核心研究对象之一。本章系统介绍有界线性泛函的基本理论，重点阐述Hahn-Banach定理及其重要推论，并建立对偶空间的基本框架。

===== 13.1 有界线性泛函 =====

**定义 13.1** 设 $X$ 是数域 $\mathbb{K}$（$\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的线性空间，映射 $f: X \to \mathbb{K}$ 称为**线性泛函**，如果满足：
(1) 可加性：$f(x + y) = f(x) + f(y)$，$\forall x, y \in X$
(2) 齐次性：$f(\alpha x) = \alpha f(x)$，$\forall x \in X, \alpha \in \mathbb{K}$

全体线性泛函的集合记为 $X^\#$，在自然的加法和数乘运算下构成线性空间，称为 $X$ 的**代数对偶空间**。

**定义 13.2** 设 $(X, \|\cdot\|)$ 是赋范线性空间，线性泛函 $f: X \to \mathbb{K}$ 称为**有界线性泛函**，如果存在常数 $M > 0$ 使得
$$|f(x)| \leq M\|x\|, \quad \forall x \in X$$

全体有界线性泛函的集合记为 $X^*$，称为 $X$ 的**拓扑对偶空间**（简称**对偶空间**）。

**定理 13.1** 设 $X$ 是赋范线性空间，$f: X \to \mathbb{K}$ 是线性泛函，则以下条件等价：
(1) $f$ 是有界线性泛函；
(2) $f$ 是连续线性泛函；
(3) $f$ 在某一点 $x_0 \in X$ 处连续。

**证明** $(1) \Rightarrow (2)$：设 $f$ 有界，则 $|f(x)| \leq M\|x\|$。对任意 $x_n \to x$，有
$$|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \leq M\|x_n - x\| \to 0$$
故 $f$ 连续。

$(2) \Rightarrow (3)$：显然成立。

$(3) \Rightarrow (1)$：设 $f$ 在 $x_0$ 处连续，则存在 $\delta > 0$ 使得当 $\|x - x_0\| < \delta$ 时，$|f(x) - f(x_0)| < 1$。对任意 $y \neq 0$，令 $x = x_0 + \frac{\delta}{2\|y\|}y$，则 $\|x - x_0\| = \frac{\delta}{2} < \delta$，于是
$$|f(y)| = \frac{2\|y\|}{\delta}|f(x) - f(x_0)| < \frac{2\|y\|}{\delta}$$
取 $M = \frac{2}{\delta}$ 即得 $|f(y)| \leq M\|y\|$。 ∎

**定义 13.3** 设 $f \in X^*$，定义 $f$ 的**范数**为
$$\|f\| = \sup_{x \neq 0} \frac{|f(x)|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|$$

**命题 13.2** $(X^*, \|\cdot\|)$ 是Banach空间。

**证明** 设 $\{f_n\}$ 是 $X^*$ 中的Cauchy列，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $m, n \geq N$ 时
$$\|f_m - f_n\| = \sup_{\|x\| = 1} |f_m(x) - f_n(x)| < \varepsilon$$

因此对每个固定的 $x \in X$，$\{f_n(x)\}$ 是 $\mathbb{K}$ 中的Cauchy列，从而收敛。定义 $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$，则 $f$ 是线性泛函。

在上式中令 $m \to \infty$，得 $|f(x) - f_n(x)| \leq \varepsilon\|x\|$（当 $n \geq N$），故 $f \in X^*$ 且 $\|f - f_n\| \to 0$。 ∎

===== 13.2 Hahn-Banach定理 =====

Hahn-Banach定理是泛函分析中最基本、最重要的定理之一，它保证了赋范线性空间上存在"足够多"的有界线性泛函。

**定理 13.3 (Hahn-Banach延拓定理 - 实情形)** 设 $X$ 是实线性空间，$p: X \to \mathbb{R}$ 是次线性泛函，即满足：
(1) 正齐次性：$p(\alpha x) = \alpha p(x)$，$\forall \alpha \geq 0, x \in X$
(2) 次可加性：$p(x + y) \leq p(x) + p(y)$，$\forall x, y \in X$

设 $M \subset X$ 是子空间，$f_0: M \to \mathbb{R}$ 是线性泛函且满足 $f_0(x) \leq p(x)$（$\forall x \in M$），则存在线性泛函 $f: X \to \mathbb{R}$ 使得
(1) $f|_M = f_0$（延拓性）
(2) $f(x) \leq p(x)$，$\forall x \in X$（控制性）

**证明** 第一步：证明可延拓到一维。设 $x_0 \in X \setminus M$，令 $M_1 = \text{span}\{M, x_0\} = \{x + tx_0: x \in M, t \in \mathbb{R}\}$。对任意 $x, y \in M$：
$$f_0(x) + f_0(y) = f_0(x + y) \leq p(x + y) \leq p(x - x_0) + p(x_0 + y)$$
于是 $f_0(x) - p(x - x_0) \leq p(x_0 + y) - f_0(y)$。

令 $\alpha = \sup_{x \in M}[f_0(x) - p(x - x_0)]$，$\beta = \inf_{y \in M}[p(x_0 + y) - f_0(y)]$，则 $\alpha \leq \beta$。取 $c \in [\alpha, \beta]$，定义
$$f_1(x + tx_0) = f_0(x) + tc$$

验证控制条件：当 $t > 0$ 时，由 $\beta$ 的定义，$c \leq p(x_0 + \frac{x}{t}) - f_0(\frac{x}{t})$，故
$$f_0(x) + tc \leq f_0(x) + t[p(x_0 + \frac{x}{t}) - f_0(\frac{x}{t})] = p(x + tx_0)$$

当 $t < 0$ 时类似可证。

第二步：应用Zorn引理。设 $\mathcal{F} = \{(N, g): N \supset M \text{ 是子空间}, g|_M = f_0, g(x) \leq p(x) \text{ on } N\}$，定义偏序 $(N_1, g_1) \preceq (N_2, g_2)$ 当 $N_1 \subset N_2$ 且 $g_2|_{N_1} = g_1$。由Zorn引理，存在极大元 $(\tilde{M}, \tilde{f})$，必有 $\tilde{M} = X$（否则可用第一步延拓）。 ∎

**定理 13.4 (Hahn-Banach延拓定理 - 复情形)** 设 $X$ 是复线性空间，$p: X \to \mathbb{R}$ 是半范数，$M \subset X$ 是复子空间，$f_0: M \to \mathbb{C}$ 是线性泛函满足 $|f_0(x)| \leq p(x)$（$\forall x \in M$），则存在线性泛函 $f: X \to \mathbb{C}$ 使得 $f|_M = f_0$ 且 $|f(x)| \leq p(x)$（$\forall x \in X$）。

**证明** 令 $u_0(x) = \text{Re}f_0(x)$，则 $u_0: M \to \mathbb{R}$ 是实线性泛函，且 $u_0(x) \leq |f_0(x)| \leq p(x)$。由实Hahn-Banach定理，存在实线性延拓 $u: X \to \mathbb{R}$ 满足 $u(x) \leq p(x)$。

定义 $f(x) = u(x) - iu(ix)$，则 $f$ 是复线性的：
$$f(ix) = u(ix) - iu(-x) = u(ix) + iu(x) = i[u(x) - iu(ix)] = if(x)$$

且对 $x \in M$：$f(x) = u_0(x) - iu_0(ix) = \text{Re}f_0(x) + i\text{Im}f_0(x) = f_0(x)$。

最后，对任意 $x$，设 $f(x) = |f(x)|e^{i\theta}$，则
$$|f(x)| = f(e^{-i\theta}x) = u(e^{-i\theta}x) \leq p(e^{-i\theta}x) = p(x)$$ ∎

**定理 13.5 (赋范空间Hahn-Banach定理)** 设 $X$ 是赋范线性空间，$M \subset X$ 是子空间，$f_0 \in M^*$，则存在 $f \in X^*$ 使得 $f|_M = f_0$ 且 $\|f\| = \|f_0\|$。

**证明** 令 $p(x) = \|f_0\|\cdot\|x\|$，这是半范数且 $|f_0(x)| \leq \|f_0\|\cdot\|x\| = p(x)$。由Hahn-Banach定理，存在延拓 $f$ 满足 $|f(x)| \leq p(x) = \|f_0\|\cdot\|x\|$，故 $\|f\| \leq \|f_0\|$。又 $\|f\| \geq \sup_{x \in M, \|x\|=1}|f(x)| = \|f_0\|$，所以 $\|f\| = \|f_0\|$。 ∎

**推论 13.6** 设 $X$ 是赋范线性空间，$x_0 \in X, x_0 \neq 0$，则存在 $f \in X^*$ 使得 $f(x_0) = \|x_0\|$ 且 $\|f\| = 1$。

**证明** 令 $M = \text{span}\{x_0\}$，定义 $f_0(\alpha x_0) = \alpha\|x_0\|$，则 $f_0 \in M^*$ 且 $\|f_0\| = 1$。应用Hahn-Banach定理即得。 ∎

**推论 13.7** 对任意 $x \in X$：
$$\|x\| = \sup_{\|f\|=1, f \in X^*} |f(x)|$$
特别地，若对所有 $f \in X^*$ 有 $f(x) = 0$，则 $x = 0$。

**推论 13.8** 设 $M \subset X$ 是闭子空间，$x_0 \in X \setminus M$，则存在 $f \in X^*$ 使得 $f|_M = 0$，$f(x_0) = d(x_0, M) = \inf_{y \in M}\|x_0 - y\|$，且 $\|f\| = 1$。

===== 13.3 对偶空间 =====

**定义 13.4** 设 $X$ 是赋范线性空间，$X^*$ 表示 $X$ 上全体有界线性泛函构成的Banach空间，称为 $X$ 的**对偶空间**（或**共轭空间**）。

**例 13.1** $(\mathbb{R}^n)^* \cong \mathbb{R}^n$。对 $y = (y_1, ..., y_n) \in \mathbb{R}^n$，定义 $f_y(x) = \sum_{i=1}^n x_i y_i$，则 $f_y \in (\mathbb{R}^n)^*$ 且 $\|f_y\| = \|y\|_2$（当 $\mathbb{R}^n$ 赋予欧氏范数时）。

**例 13.2** $(\ell^p)^* \cong \ell^q$，其中 $1 \leq p < \infty$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。

**证明** (1) $1 < p < \infty$：对 $y = (y_n) \in \ell^q$，定义 $f_y(x) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n$。由Hölder不等式：
$$|f_y(x)| \leq \sum_{n=1}^\infty |x_n y_n| \leq \|x\|_p \cdot \|y\|_q$$
故 $f_y \in (\ell^p)^*$ 且 $\|f_y\| \leq \|y\|_q$。

为证 $\|f_y\| \geq \|y\|_q$，令 $x_n = |y_n|^{q-1}\text{sgn}(y_n) / \|y\|_q^{q-1}$，则 $\|x\|_p = 1$ 且 $f_y(x) = \|y\|_q$。

反之，设 $f \in (\ell^p)^*$，令 $e_n = (0,...,0,1,0,...)$（第 $n$ 位为1），$y_n = f(e_n)$。对任意 $N$，令 $x^{(N)}_n = |y_n|^{q-1}\text{sgn}(y_n)$（$n \leq N$），其余为0，则
$$\sum_{n=1}^N |y_n|^q = f(x^{(N)}) \leq \|f\| \cdot \|x^{(N)}\|_p = \|f\| \left(\sum_{n=1}^N |y_n|^q\right)^{1/p}$$
故 $\sum_{n=1}^N |y_n|^q \leq \|f\|^q$，即 $y \in \ell^q$ 且 $\|y\|_q \leq \|f\|$。

(2) $p = 1$ 时类似可证 $(\ell^1)^* \cong \ell^\infty$。

**例 13.3** $L^p[a,b]^* \cong L^q[a,b]$，$1 \leq p < \infty$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。

**证明概要** 对 $g \in L^q[a,b]$，定义 $f_g(x) = \int_a^b x(t)g(t)dt$。由Hölder不等式，$|f_g(x)| \leq \|x\|_p \cdot \|g\|_q$，故 $\|f_g\| \leq \|g\|_q$。

反之，由Radon-Nikodym定理，任何 $f \in L^p[a,b]^*$ 都可表示为上述形式。 ∎

**定理 13.9** $(c_0)^* \cong \ell^1$，其中 $c_0 = \{x = (x_n) \in \ell^\infty: x_n \to 0\}$。

**定理 13.10** $(C[a,b])^*$ 等距同构于 $[a,b]$ 上正规化有界变差函数空间 $NBV[a,b]$。

**证明概要** 对 $g \in NBV[a,b]$，定义 $f_g(x) = \int_a^b x(t)dg(t)$（Riemann-Stieltjes积分），则 $\|f_g\| = V_a^b(g)$（全变差）。由Riesz表示定理，这是等距同构。 ∎

===== 13.4 例题与习题 =====

**例题 13.1** 设 $X = C[0,1]$，求泛函 $f(x) = \int_0^1 x(t)dt$ 的范数。

**解** $|f(x)| \leq \int_0^1 |x(t)|dt \leq \|x\|_\infty$，故 $\|f\| \leq 1$。

取 $x_n(t) = t^n$，则 $\|x_n\|_\infty = 1$，$f(x_n) = \frac{1}{n+1} \to 0$，这不足以确定范数。改取 $x(t) \equiv 1$，则 $\|x\|_\infty = 1$，$f(x) = 1$，故 $\|f\| = 1$。 ∎

**例题 13.2** 设 $X = \ell^2$，$M = \{x = (x_n): x_1 = x_2\}$，$f_0 \in M^*$ 定义为 $f_0(x) = x_1$。求 $f_0$ 到 $X^*$ 的保范延拓。

**解** 首先计算 $\|f_0\|_M = \sup_{\|x\|=1, x_1=x_2} |x_1|$。

设 $x_1 = x_2 = a$，则 $\|x\|^2 = 2a^2 + \sum_{n=3}^\infty x_n^2 = 1$。$|x_1| = |a| \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$，当 $x = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0, ...)$ 时取等，故 $\|f_0\| = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

保范延拓 $f(x) = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2$：$|f(x)| \leq \frac{1}{2}(|x_1| + |x_2|) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\|x\| = \frac{1}{\sqrt{2}}\|x\|$，且对 $x \in M$，$f(x) = x_1 = f_0(x)$。 ∎

**习题**

1. 设 $X$ 是赋范线性空间，$f \in X^*$，$f \neq 0$，证明 $f$ 是开映射。

2. 设 $f \in (\ell^1)^*$ 定义为 $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{2^n}$，求 $\|f\|$。

3. 证明：有限维赋范线性空间的对偶空间与原空间维数相同。

4. 设 $X$ 是Banach空间，$M \subset X$ 是闭子空间，$x_0 \in X \setminus M$，证明存在 $f \in X^*$ 使得 $f(x_0) = 1$，$f(x) = 0$（$\forall x \in M$）。

5. 设 $X$ 是赋范线性空间，$\{x_n\} \subset X$ 满足对任意 $f \in X^*$，$\sum_{n=1}^\infty |f(x_n)| < \infty$。证明存在 $M > 0$ 使得对任意 $f \in X^*$，$\sum_{n=1}^\infty |f(x_n)| \leq M\|f\|$。

6. 设 $X$ 是赋范线性空间，$f \in X^*$，$\|f\| = 1$。证明对任意 $x \in X$，$d(x, \ker f) = |f(x)|$。

7. 证明：若 $X^*$ 可分，则 $X$ 也可分。

8. 设 $p \in [1, \infty]$，求 $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_p)^*$ 的具体表示。

===== 本章小结 =====

本章建立了线性泛函的基本理论：
- 有界线性泛函与连续线性泛函等价
- Hahn-Banach定理保证了充分多有界线性泛函的存在
- 重要推论：范数可达表示、分离闭子空间与外部点
- 经典空间的对偶：$(\ell^p)^* = \ell^q$，$L^{p*} = L^q$

===== 参考文献 =====

1. 张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义（上册）. 北京大学出版社.
2. Rudin W. Functional Analysis. McGraw-Hill.
3. Conway J.B. A Course in Functional Analysis. Springer.