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====== 第十九章 广义函数 ======

===== 19.1 试验函数空间 =====

**定义 19.1（试验函数空间 $\mathcal{D}$）**
$\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$（或记为 $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$）是 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的无穷次可微函数全体。

**收敛性：** $\varphi_k \to \varphi$ 在 $\mathcal{D}$ 中是指：
1. 存在紧集 $K$，使所有 $\varphi_k$ 的支集含于 $K$
2. 对任意多重指标 $\alpha$，$D^{\alpha}\varphi_k$ 在 $K$ 上一致收敛于 $D^{\alpha}\varphi$

===== 19.2 广义函数（分布） =====

**定义 19.2（广义函数）**
$\mathcal{D}$ 上的连续线性泛函称为**广义函数**（或**分布**），其全体记为 $\mathcal{D}'$。

**例 19.1（正则分布）**
设 $f$ 是局部可积函数，则
$$T_f(\varphi) = \int f(x)\varphi(x)dx$$
定义了一个广义函数。

**例 19.2（Dirac $\delta$函数）**
$$\delta(\varphi) = \varphi(0)$$
这不是正则分布。

===== 19.3 广义函数的运算 =====

**加法与数乘：** 自然定义

**乘子：** 光滑函数 $g$ 与广义函数 $T$ 的乘积
$$(gT)(\varphi) = T(g\varphi)$$

**导数：**
$$D^{\alpha}T(\varphi) = (-1)^{|\alpha|}T(D^{\alpha}\varphi)$$

**性质：** 广义函数无穷次可微。

**例：** $\delta'$ 的定义
$$\delta'(\varphi) = -\varphi'(0)$$

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