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====== 第十八章 自伴算子的谱分解 ======

===== 18.1 谱测度与谱积分 =====

**定义 18.1（谱测度）**
设 $H$ 是Hilbert空间，$\mathcal{B}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的Borel $\sigma$-代数，投影算子值函数 $E: \mathcal{B} \to \mathcal{P}(H)$ 若满足：
1. $E(\mathbb{R}) = I$，$E(\emptyset) = 0$
2. $E(\omega_1 \cap \omega_2) = E(\omega_1)E(\omega_2)$
3. 对互不相交的 $\{\omega_n\}$，$E(\bigcup \omega_n) = \sum E(\omega_n)$（强收敛）

则称 $E$ 为**谱测度**。

**谱积分：**
对有界可测函数 $f$，定义
$$\int f(\lambda)dE(\lambda)$$

===== 18.2 自伴算子的谱分解定理 =====

**定理 18.1（谱分解定理）**
设 $H$ 是Hilbert空间，$T$ 是自伴算子，则存在唯一的谱测度 $E$ 使得
$$T = \int_{\sigma(T)} \lambda dE(\lambda)$$

**推论：** 对任意连续函数 $f$，
$$f(T) = \int_{\sigma(T)} f(\lambda)dE(\lambda)$$

**应用：**
- 定义算子函数
- 研究算子演算
- 求解算子方程

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