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====== 第十六章 谱理论基础 ======

===== 16.1 谱的概念 =====

**定义 16.1（谱与预解集）**
设 $X$ 是复Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X)$，$\lambda \in \mathbb{C}$。

- **预解集 $\rho(T)$：** 使 $(T - \lambda I)^{-1}$ 存在且有界的 $\lambda$ 的集合
- **谱 $\sigma(T)$：** $\rho(T)$ 在 $\mathbb{C}$ 中的补集
- **预解式：** $R(\lambda, T) = (T - \lambda I)^{-1}$，$\lambda \in \rho(T)$

**谱的分类：**
- **点谱 $\sigma_p(T)$：** $T - \lambda I$ 不是单射（特征值）
- **连续谱 $\sigma_c(T)$：** $T - \lambda I$ 是单射、值域稠密，但逆无界
- **剩余谱 $\sigma_r(T)$：** $T - \lambda I$ 是单射，但值域不稠密

===== 16.2 谱的基本性质 =====

**定理 16.1**
1. $\sigma(T)$ 是 $\mathbb{C}$ 的紧子集
2. $\sigma(T) \subset \{\lambda : |\lambda| \leq \|T\|\}$
3. $\sigma(T) \neq \emptyset$
4. 预解式 $R(\lambda, T)$ 在 $\rho(T)$ 上解析

**定理 16.2（Gelfand谱半径公式）**
$$r(T) = \lim_{n \to \infty} \|T^n\|^{1/n} = \sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(T)\}$$

===== 16.3 有界自伴算子的谱 =====

**定理 16.3**
设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$ 是自伴算子，则：
1. $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$
2. $\|T\| = \max\{|m|, |M|\}$，其中 $m = \inf_{\|x\|=1}(Tx,x)$，$M = \sup_{\|x\|=1}(Tx,x)$
3. $\sigma(T) \subset [m, M]$，且 $m, M \in \sigma(T)$

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