张叶安的小站

本页面只读。您可以查看源文件，但不能更改它。如果您觉得这是系统错误，请联系管理员。
====== 第十四章 自反空间与弱收敛 ======

本章研究赋范线性空间的对偶结构，引入自反空间的概念，并建立弱收敛与弱*收敛的理论框架，这是无限维空间中序列收敛性的重要推广。

===== 14.1 二次对偶与自然嵌入 =====

**定义 14.1** 设 $X$ 是赋范线性空间，$X^*$ 是其对偶空间。$X^{**} = (X^*)^*$ 称为 $X$ 的**二次对偶空间**（或**双对偶空间**）。

**定义 14.2** 定义映射 $J: X \to X^{**}$ 如下：对 $x \in X$，$Jx \in X^{**}$ 定义为
$$(Jx)(f) = f(x), \quad \forall f \in X^*$$
称 $J$ 为**自然嵌入映射**（或**典范嵌入**）。

**定理 14.1** 自然嵌入 $J: X \to X^{**}$ 是线性等距映射。

**证明** 线性性：对 $x, y \in X$，$\alpha, \beta \in \mathbb{K}$，
$$(J(\alpha x + \beta y))(f) = f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = \alpha(Jx)(f) + \beta(Jy)(f)$$
故 $J(\alpha x + \beta y) = \alpha Jx + \beta Jy$。

等距性：$\|Jx\| = \sup_{\|f\|=1} |(Jx)(f)| = \sup_{\|f\|=1} |f(x)| = \|x\|$（由Hahn-Banach推论）。 ∎

**注** 自然嵌入 $J$ 不一定是满射。当 $J$ 是满射时，$X \cong X^{**}$，此时称 $X$ 为自反空间。

===== 14.2 自反空间 =====

**定义 14.3** 赋范线性空间 $X$ 称为**自反空间**，如果自然嵌入 $J: X \to X^{**}$ 是满射，即 $X \cong X^{**}$。

**例 14.1** 有限维赋范空间都是自反的。

**证明** 设 $\dim X = n$，则 $\dim X^* = n$，$\dim X^{**} = n$。$J: X \to X^{**}$ 是线性单射且维数相同，故是同构。 ∎

**例 14.2** $\ell^p$（$1 < p < \infty$）是自反空间。

**证明** $(\ell^p)^{**} = (\ell^q)^* = \ell^p$（其中 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）。 ∎

**例 14.3** $L^p[a,b]$（$1 < p < \infty$）是自反空间。

**例 14.4** Hilbert空间是自反空间。

**证明** 由Riesz表示定理，$H^* \cong H$，故 $H^{**} \cong H^* \cong H$。 ∎

**例 14.5** $\ell^1$、$\ell^\infty$、$L^1[a,b]$、$L^\infty[a,b]$、$C[a,b]$ 都不是自反空间。

**定理 14.2** 自反空间 $X$ 的闭子空间 $M$ 也是自反空间。

**证明** 设 $J_M: M \to M^{**}$ 是自然嵌入，$J: X \to X^{**}$。对 $\varphi \in M^{**}$，定义 $\tilde{\varphi} \in X^{**}$：
$$(\tilde{\varphi})(f) = \varphi(f|_M), \quad \forall f \in X^*$$

由 $X$ 自反，存在 $x_0 \in X$ 使得 $Jx_0 = \tilde{\varphi}$。需证 $x_0 \in M$。

若 $x_0 \notin M$，由Hahn-Banach定理，存在 $f \in X^*$ 使得 $f|_M = 0$ 但 $f(x_0) \neq 0$。于是
$$(Jx_0)(f) = f(x_0) \neq 0 = \varphi(0) = \tilde{\varphi}(f)$$
矛盾。故 $x_0 \in M$，且可验证 $J_M x_0 = \varphi$。 ∎

**定理 14.3** 自反空间 $X$ 是Banach空间。

**证明** $X^{**}$ 是Banach空间，$J(X) \subset X^{**}$ 是闭子空间（等距同构），故 $X$ 完备。 ∎

**定理 14.4 (Pettis)** 自反空间 $X$ 的对偶空间 $X^*$ 也是自反的。

**证明** 设 $\pi: X^* \to (X^*)^{**} = X^{***}$ 是自然嵌入，$J: X \to X^{**}$ 是 $X$ 的自然嵌入（满射）。对 $\psi \in X^{***}$，定义 $g \in X^*$：
$$g(x) = \psi(Jx), \quad \forall x \in X$$

需证 $\pi(g) = \psi$。对任意 $h \in X^{**}$，由 $J$ 满射，$h = Jx$ 对某 $x \in X$，于是
$$(\pi(g))(h) = h(g) = (Jx)(g) = g(x) = \psi(Jx) = \psi(h)$$ ∎

**定理 14.5 (Kakutani)** 赋范线性空间 $X$ 自反当且仅当 $X$ 的单位闭球 $B_X = \{x: \|x\| \leq 1\}$ 是弱紧的。

===== 14.3 弱收敛 =====

在无限维赋范空间中，按范数收敛（强收敛）过于严格，很多序列不收敛。弱收敛是更弱的收敛概念。

**定义 14.4** 设 $X$ 是赋范线性空间，$\{x_n\} \subset X$，$x \in X$。称 $x_n$ **弱收敛**到 $x$，记为 $x_n \rightharpoonup x$ 或 $w-\lim x_n = x$，如果对任意 $f \in X^*$，
$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$$

**命题 14.6** 强收敛蕴含弱收敛，即 $x_n \to x$（范数收敛）$\Rightarrow$ $x_n \rightharpoonup x$。

**证明** $|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \leq \|f\|\cdot\|x_n - x\| \to 0$。 ∎

**命题 14.7** 弱收敛的极限唯一。

**证明** 设 $x_n \rightharpoonup x$ 且 $x_n \rightharpoonup y$，则对所有 $f \in X^*$，$f(x) = f(y)$。由Hahn-Banach定理，$x = y$。 ∎

**定理 14.8** 若 $x_n \rightharpoonup x$，则 $\sup_n \|x_n\| < \infty$ 且 $\|x\| \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|$（弱下半连续性）。

**证明** 对 $Jx_n \in X^{**}$，由一致有界原理，$\sup_n \|Jx_n\| = \sup_n \|x_n\| < \infty$。

对任意 $f \in X^*$，$\|f\| = 1$：
$$|f(x)| = \lim_{n \to \infty} |f(x_n)| \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|$$
取上确界得 $\|x\| \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|$。 ∎

**定理 14.9** 有限维空间中，弱收敛等价于强收敛。

**证明** 设 $\dim X = k$，取基 $\{e_1, ..., e_k\}$，对应坐标泛函 $f_1, ..., f_k \in X^*$。若 $x_n \rightharpoonup x$，则 $f_j(x_n) \to f_j(x)$ 对所有 $j$ 成立，即坐标收敛，从而范数收敛。 ∎

**定理 14.10 (Mazur)** 设 $X$ 是赋范线性空间，$C \subset X$ 是凸集，则 $C$ 的弱闭包等于范数闭包：$\overline{C}^w = \overline{C}$。

**推论 14.11** 若 $x_n \rightharpoonup x$，则存在 $\{x_n\}$ 的凸组合强收敛到 $x$。

===== 14.4 弱*收敛 =====

**定义 14.5** 设 $X$ 是赋范线性空间，$\{f_n\} \subset X^*$，$f \in X^*$。称 $f_n$ **弱*收敛**到 $f$，记为 $f_n \stackrel{w^*}{\rightharpoonup} f$，如果对任意 $x \in X$，
$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$

**注** 弱*收敛是 $X^*$ 上的逐点收敛，而弱收敛是 $(X^*)^* = X^{**}$ 上的逐点收敛。由于 $J(X) \subset X^{**}$，弱*收敛比弱收敛更弱。

**定理 14.12 (Banach-Alaoglu)** 设 $X$ 是赋范线性空间，则 $X^*$ 的闭单位球 $B_{X^*} = \{f \in X^*: \|f\| \leq 1\}$ 是弱*紧的。

**证明概要** 将 $B_{X^*}$ 嵌入 $\prod_{x \in X} D_{\|x\|}$，其中 $D_r = \{z \in \mathbb{K}: |z| \leq r\}$。由Tychonoff定理，后者紧。$B_{X^*}$ 是闭子集（线性性条件），故弱*紧。 ∎

**定理 14.13** 若 $X$ 可分，则 $B_{X^*}$ 是弱*序列紧的，即任何有界序列有弱*收敛子列。

**定理 14.14** 若 $X$ 自反，则 $B_X$ 是弱序列紧的，即任何有界序列有弱收敛子列。

===== 14.5 Schauder基与自反性 =====

**定义 14.6** Banach空间 $X$ 的序列 $\{e_n\}$ 称为**Schauder基**，如果对任意 $x \in X$，存在唯一的标量序列 $\{a_n\}$ 使得
$$x = \sum_{n=1}^\infty a_n e_n$$
（级数按范数收敛）。

**定理 14.15** 若 $X$ 有Schauder基，则 $X$ 可分。

**定理 14.16** $\ell^p$（$1 \leq p < \infty$）有Schauder基 $\{e_n\}$，其中 $e_n = (0,...,0,1,0,...)$。

**定理 14.17** 若 $X$ 有Schauder基 $\{e_n\}$，则 $X$ 自反当且仅当基 $\{e_n\}$ 是**收缩基**（shrinking）和**有界完全基**（boundedly complete）。

===== 14.6 具体空间的弱收敛 =====

**定理 14.18** 在 $\ell^p$（$1 < p < \infty$）中，$x^{(n)} \rightharpoonup x$ 当且仅当 $\sup_n \|x^{(n)}\|_p < \infty$ 且对每个 $k$，$x^{(n)}_k \to x_k$（坐标收敛）。

**定理 14.19** 在 $L^p[a,b]$（$1 < p < \infty$）中，$f_n \rightharpoonup f$ 当且仅当 $\sup_n \|f_n\|_p < \infty$ 且对每个可测集 $E$，$\int_E f_n \to \int_E f$。

**定理 14.20 (Riesz)** 在 $L^1[a,b]$ 中，$f_n \rightharpoonup f$ 当且仅当 $\sup_n \|f_n\|_1 < \infty$ 且 $\{f_n\}$ 等度绝对连续积分（一致可积性）。

===== 14.7 例题与习题 =====

**例题 14.1** 在 $\ell^2$ 中，$e_n \rightharpoonup 0$ 但 $e_n \not\to 0$（按范数）。

**证明** 对任意 $f \in (\ell^2)^* = \ell^2$，设 $f = y = (y_k)$，则 $f(e_n) = y_n \to 0$（因为 $y \in \ell^2$）。但 $\|e_n\|_2 = 1 \not\to 0$。 ∎

**例题 14.2** 证明 $c_0$ 不是自反空间。

**证明** $c_0^* = \ell^1$，$(c_0)^{**} = (\ell^1)^* = \ell^\infty$。若 $c_0$ 自反，则 $c_0 \cong \ell^\infty$，但 $c_0$ 可分而 $\ell^\infty$ 不可分，矛盾。 ∎

**例题 14.3** 设 $X$ 是自反Banach空间，$M \subset X$ 是闭凸子集。证明对任意 $x \in X$，存在 $y \in M$ 使得 $\|x - y\| = d(x, M)$（最佳逼近存在）。

**证明** 取 $\{y_n\} \subset M$ 使得 $\|x - y_n\| \to d(x, M) = d$。则 $\{y_n\}$ 有界，由自反性，存在弱收敛子列 $y_{n_k} \rightharpoonup y$。由Mazur定理，$y \in M$。由范数弱下半连续性：
$$\|x - y\| \leq \liminf_{k \to \infty} \|x - y_{n_k}\| = d$$
故 $\|x - y\| = d$。 ∎

**习题**

1. 证明：$x_n \rightharpoonup x$ 且 $f_n \to f$（在 $X^*$ 中）$\Rightarrow$ $f_n(x_n) \to f(x)$。

2. 设 $X$ 是自反Banach空间，证明 $X$ 的闭单位球是弱紧的。

3. 证明：$f_n \stackrel{w^*}{\rightharpoonup} f$ 且 $f_n \stackrel{w^*}{\rightharpoonup} g$ $\Rightarrow$ $f = g$。

4. 在 $\ell^1$ 中，证明 $e_n$ 弱收敛于0的充分必要条件是 $\ell^1$ 自反。由此得出 $\ell^1$ 不是自反的。

5. 设 $X$ 是Banach空间，$\{x_n\}$ 弱Cauchy（即对每个 $f \in X^*$，$\{f(x_n)\}$ 是Cauchy列）。证明 $\{x_n\}$ 有界。

6. 设 $X$ 是自反Banach空间，$T: X \to Y$ 是有界线性算子。证明 $T$ 将有界集映为相对弱紧集。

7. 证明：$L^\infty[0,1]$ 不是自反空间。

8. 设 $X$ 是赋范线性空间，$M \subset X^*$。证明 $M$ 是弱*闭的当且仅当 $M$ 是弱*序列闭的且范数有界的。

===== 本章小结 =====

本章要点：
- 自然嵌入 $J: X \to X^{**}$ 是线性等距
- 自反空间：$X \cong X^{**}$，具有优良的对称性
- 弱收敛：按泛函值收敛，比强收敛弱
- 弱*收敛：对偶空间上的逐点收敛
- Banach-Alaoglu定理：单位球弱*紧
- 自反空间中单位球弱序列紧

===== 参考文献 =====

1. Brezis H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer.
2. Yosida K. Functional Analysis. Springer.
3. 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌. 实变函数论与泛函分析（下册）. 高等教育出版社.