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====== 第一章 静力学基础 ======

===== 1.1 引言 =====

静力学（Statics）是理论力学的第一部分，主要研究物体在力系作用下的平衡规律。所谓平衡，是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。在工程实践中，静力学具有极其重要的应用价值——从桥梁结构的设计到机械零部件的强度计算，都离不开静力学原理的支撑。

本章作为静力学的基础，将系统介绍力的基本概念、静力学公理、力的投影与分解、力矩的概念，以及约束与约束力的分析方法。这些内容是后续学习平面力系、空间力系和摩擦问题的基础。

===== 1.2 力的概念 =====

==== 1.2.1 力的定义 ====

力（Force）是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变或使物体产生变形。前者称为力的**外效应**（运动效应），后者称为力的**内效应**（变形效应）。理论力学主要研究力的外效应。

==== 1.2.2 力的三要素 ====

力对物体的作用效果取决于三个要素：

  - **大小**：表示力的强弱程度，单位为牛顿（N）或千牛（kN）
  - **方向**：包括力的作用线在空间的方位和指向
  - **作用点**：力在物体上的作用位置

由于力具有大小和方向，且服从矢量运算法则，因此力是**矢量**（向量）。

==== 1.2.3 力的表示方法 ====

在图示中，力通常用有向线段表示：

  * 有向线段的起点或终点表示力的作用点
  * 线段的长度按一定比例表示力的大小
  * 线段的方位和箭头指向表示力的方向

力矢量用黑体字母 **F** 表示，力的大小用普通字母 $F$ 或 $|F|$ 表示。

===== 1.3 静力学公理 =====

静力学公理是人们在长期生产实践中总结出来的基本规律，是静力学的理论基础。

==== 公理1 二力平衡公理 ====

作用在刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反、作用线重合。

$$\vec{F}_1 = -\vec{F}_2$$

**说明**：
  * 此公理仅适用于刚体
  * 对于变形体，这只是必要条件而非充分条件
  * 仅在两个力作用下平衡的构件称为**二力构件**

==== 公理2 加减平衡力系公理 ====

在作用于刚体的力系中，加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。

**推论：力的可传性原理**

作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移至刚体内任一点，而不改变该力对刚体的作用效果。

这说明对刚体而言，力的作用点可沿作用线滑动，因此作用于刚体上的力是**滑动矢量**。

==== 公理3 力的平行四边形法则 ====

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力仍作用于该点，其大小和方向由以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定。

$$\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$$

**三角形法则**：两个力依次首尾相接，从第一个力的起点指向第二个力的终点的矢量即为合力。

==== 公理4 作用与反作用定律 ====

两物体间的作用力和反作用力总是同时存在，两力大小相等、方向相反、作用线重合，但分别作用在两个不同的物体上。

**注意**：作用力与反作用力不是一对平衡力，因为它们不作用在同一物体上。

==== 公理5 刚化原理 ====

变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，则平衡状态保持不变。

**意义**：此公理建立了刚体静力学与变形体静力学的联系，说明刚体平衡条件是变形体平衡的必要条件。

===== 1.4 力的投影与分解 =====

==== 1.4.1 力在轴上的投影 ====

设力 $\vec{F}$ 与 $x$ 轴正向夹角为 $\alpha$，则力在 $x$ 轴上的投影为：

$$F_x = F \cos\alpha$$

投影是代数量，其正负号规定：从起点到终点与轴正向一致为正，相反为负。

==== 1.4.2 力在平面直角坐标系中的投影 ====

力 $\vec{F}$ 在 $x$、$y$ 轴上的投影分别为：

$$F_x = F \cos\alpha$$
$$F_y = F \sin\alpha$$

其中 $\alpha$ 为力与 $x$ 轴正向的夹角。

**二次投影法**（适用于空间力）：

若已知力 $\vec{F}$ 与 $z$ 轴夹角为 $\gamma$，力在 $xy$ 平面的投影与 $x$ 轴夹角为 $\varphi$，则：

$$F_x = F \sin\gamma \cos\varphi$$
$$F_y = F \sin\gamma \sin\varphi$$
$$F_z = F \cos\gamma$$

==== 1.4.3 力的分解 ====

力的分解是力合成的逆运算。按平行四边形法则，一个力可以分解为两个或多个分力。

**正交分解**：

$$\vec{F} = F_x \vec{i} + F_y \vec{j} + F_z \vec{k}$$

力的大小：

$$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$$

===== 1.5 力矩 =====

==== 1.5.1 力对点的矩 ====

力对点的矩（简称力矩）是度量力使物体绕该点转动效应的物理量。

设力 $\vec{F}$ 作用于点 $A$，点 $O$ 为矩心，则力对点 $O$ 的矩定义为：

$$\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{r} \times \vec{F}$$

其中 $\vec{r}$ 是从矩心 $O$ 指向力作用点 $A$ 的矢径。

**力矩的大小**：

$$M_O(F) = F \cdot d = F \cdot r \sin\theta$$

其中 $d$ 为矩心到力作用线的垂直距离，称为**力臂**；$\theta$ 为 $\vec{r}$ 与 $\vec{F}$ 的夹角。

**力矩的方向**：由右手螺旋法则确定。

==== 1.5.2 力对轴的矩 ====

力对轴的矩是度量力使物体绕该轴转动效应的物理量。

力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩：

$$M_z(\vec{F}) = M_O(\vec{F}_{xy}) = \pm F_{xy} \cdot d$$

**正负号规定**：从轴的正向看，力使物体逆时针转动为正，顺时针为负。

==== 1.5.3 力对点的矩与力对轴的矩的关系 ====

力对点的矩在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩：

$$[\vec{M}_O(\vec{F})]_z = M_z(\vec{F})$$

若已知力对点的矩矢量的分量，则：

$$\vec{M}_O(\vec{F}) = M_x(\vec{F})\vec{i} + M_y(\vec{F})\vec{j} + M_z(\vec{F})\vec{k}$$

===== 1.6 力偶 =====

==== 1.6.1 力偶的定义 ====

由大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力组成的力系，称为**力偶**（Couple），记作 $(\vec{F}, \vec{F}')$。

==== 1.6.2 力偶矩 ====

力偶对物体只有转动效应，其效应用**力偶矩**度量。

力偶矩矢量：

$$\vec{M} = \vec{r}_{BA} \times \vec{F}$$

其中 $\vec{r}_{BA}$ 是从力 $\vec{F}'$ 的作用点 $B$ 指向力 $\vec{F}$ 的作用点 $A$ 的矢径。

力偶矩的大小：

$$M = F \cdot d$$

其中 $d$ 为两力作用线之间的垂直距离，称为**力偶臂**。

==== 1.6.3 力偶的性质 ====

  1. **力偶无合力**：力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡
  2. **力偶矩与矩心无关**：力偶对任一点的矩恒等于力偶矩
  3. **等效条件**：在同一平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则彼此等效
  4. **可移转性**：力偶可在其作用面内任意移转，或平移到平行平面，而不改变对刚体的作用效果

===== 1.7 约束与约束力 =====

==== 1.7.1 约束的概念 ====

位移不受限制的物体称为**自由体**（如飞行的飞机）。位移受到限制的物体称为**非自由体**（如放在桌面上的书）。

**约束**（Constraint）是限制物体位移的条件。对非自由体起限制作用的周围物体称为**约束体**。

**约束力**（Constraint Force）是约束体施加于被约束物体的力，其方向与所限制的位移方向相反。

==== 1.7.2 常见约束类型及其约束力 ====

**1. 柔索约束（柔性约束）**

由绳索、链条、胶带等柔性物体构成的约束。

  * 特点：只能承受拉力，不能承受压力和弯矩
  * 约束力方向：沿柔索中心线背离被约束物体
  * 表示：通常用 $F_T$ 表示

**2. 光滑接触面约束**

当两物体接触面上的摩擦力可以忽略不计时，即为光滑接触面约束。

  * 特点：只能限制沿接触面法线方向的位移
  * 约束力方向：沿接触面公法线指向被约束物体
  * 表示：通常用 $F_N$ 表示

**3. 光滑铰链约束**

**（1）圆柱铰链（中间铰）**

用销钉连接两个带孔构件形成的约束。

  * 特点：限制两构件的相对移动，不限制相对转动
  * 约束力：通过铰链中心，方向待定，通常用两个正交分力 $F_x$、$F_y$ 表示

**（2）固定铰支座**

构件与固定支座用圆柱铰链连接。

  * 特点：限制构件在支座处的移动，不限制转动
  * 约束力：通过铰链中心，方向待定，用 $F_{Ax}$、$F_{Ay}$ 表示

**（3）滚动铰支座（辊轴支座）**

在固定铰支座下安装滚轴形成的支座。

  * 特点：限制沿支承面法线方向的位移，不限制沿支承面切线方向的移动和转动
  * 约束力：垂直于支承面，通过铰链中心，用 $F_N$ 表示

**4. 固定端约束**

构件一端完全固定，既不能移动也不能转动。

  * 特点：限制移动和转动
  * 约束力：两个正交分力 $F_x$、$F_y$（或 $F_Ax$、$F_Ay$、$F_Az$）和一个约束力偶矩 $M$（或 $M_x$、$M_y$、$M_z$）

**5. 球铰约束**

用球铰连接两个构件，允许绕球心任意转动，但不允许相对移动。

  * 特点：限制三个方向的移动，不限制转动
  * 约束力：通过球心，方向待定，用三个正交分力 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 表示

===== 1.8 物体的受力分析与受力图 =====

==== 1.8.1 受力分析的基本步骤 ====

  1. **确定研究对象**：根据问题需要，选择适当的物体或物体系作为研究对象
  2. **取分离体**：将研究对象从周围物体中分离出来，单独画出其轮廓
  3. **画主动力**：画出作用于研究对象上的所有主动力（如重力、载荷等）
  4. **画约束力**：根据约束类型，在解除约束处画出相应的约束力

==== 1.8.2 画受力图的注意事项 ====

  * 只画外力，不画内力
  * 作用力与反作用力方向相反、大小相等、作用线相同
  * 约束力的方向必须符合约束性质
  * 充分利用二力构件的受力特点简化分析

===== 1.9 典型例题 =====

==== 例题1.1 力的投影计算 ====

已知力 $\vec{F}$ 的大小为 $100 \text{ N}$，作用方向如图所示（与水平面夹角 $30°$，在 $xy$ 平面上的投影与 $x$ 轴夹角 $45°$）。求力在 $x$、$y$、$z$ 轴上的投影。

**解答**：

采用二次投影法：

力与 $z$ 轴的夹角：$\gamma = 90° - 30° = 60°$

$$F_x = F \sin\gamma \cos\varphi = 100 \times \sin60° \times \cos45° = 100 \times 0.866 \times 0.707 = 61.2 \text{ N}$$

$$F_y = F \sin\gamma \sin\varphi = 100 \times \sin60° \times \sin45° = 61.2 \text{ N}$$

$$F_z = F \cos\gamma = 100 \times \cos60° = 50 \text{ N}$$

==== 例题1.2 力矩计算 ====

如图所示，力 $F = 200 \text{ N}$ 作用在立方体的顶点 $A$ 处，方向沿对角线 $AB$。立方体边长为 $a = 0.5 \text{ m}$。求力对点 $O$ 的矩和对 $x$、$y$、$z$ 轴的矩。

**解答**：

建立坐标系，设 $O$ 为原点。

点 $A$ 坐标：$(a, 0, a) = (0.5, 0, 0.5)$
点 $B$ 坐标：$(0, a, 0) = (0, 0.5, 0)$

矢量 $\vec{AB} = (-a, a, -a) = (-0.5, 0.5, -0.5)$

$|\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$

单位矢量：$\vec{e}_{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, -1)$

力矢量：
$$\vec{F} = F \cdot \vec{e}_{AB} = \frac{200}{\sqrt{3}}(-1, 1, -1) = (-115.5, 115.5, -115.5) \text{ N}$$

矢径：$\vec{r}_{OA} = (0.5, 0, 0.5) \text{ m}$

力对 $O$ 点的矩：
$$\vec{M}_O = \vec{r}_{OA} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ -115.5 & 115.5 & -115.5 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(0 \times (-115.5) - 0.5 \times 115.5) - \vec{j}(0.5 \times (-115.5) - 0.5 \times (-115.5)) + \vec{k}(0.5 \times 115.5 - 0 \times (-115.5))$$

$$= (-57.75, 0, 57.75) \text{ N·m}$$

力对各轴的矩：
$$M_x = -57.75 \text{ N·m}, \quad M_y = 0, \quad M_z = 57.75 \text{ N·m}$$

==== 例题1.3 受力图绘制 ====

画出图示结构中各构件的受力图（不计自重）。

**结构描述**：梁 $AB$ 水平放置，$A$ 端为固定铰支座，$B$ 端搁置在杆 $CD$ 上，$CD$ 为二力杆，下端 $D$ 为固定铰支座。在梁 $AB$ 的中点 $E$ 作用一铅垂向下的力 $P$。

**解答**：

**杆 $CD$ 的受力图**：
$CD$ 为二力杆，两端受大小相等、方向相反、作用线沿 $CD$ 连线的力 $F_{CD}$ 和 $F_{DC}$。

**梁 $AB$ 的受力图**：
  * $A$ 端：固定铰支座，约束力用 $F_{Ax}$、$F_{Ay}$ 表示
  * $E$ 点：主动力 $P$ 铅垂向下
  * $B$ 点：杆 $CD$ 对梁的作用力 $F_{BC}$（与 $F_{CD}$ 是作用力与反作用力），沿 $CB$ 方向

===== 1.10 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 1.1**
已知力 $F_1 = 50 \text{ N}$，$F_2 = 80 \text{ N}$，$F_3 = 60 \text{ N}$，三力作用在同一点，方向如图所示（$F_1$ 水平向右，$F_2$ 与水平方向成 $30°$ 向上，$F_3$ 与水平方向成 $45°$ 向下）。求合力的大小和方向。

**习题 1.2**
立方体边长为 $a$，在顶点 $A$ 作用一力 $F$，方向沿对角线指向对面顶点。求该力对各坐标轴的矩。

**习题 1.3**
画出图示简支梁的受力图。梁 $AB$ 长 $L$，$A$ 端为固定铰支座，$B$ 端为滚动铰支座，中点 $C$ 作用一集中力 $P$，与水平方向成 $60°$。

==== 提高题 ====

**习题 1.4**
力 $F$ 作用在立方体的顶点，方向沿从该顶点出发的面对角线。证明该力对与这条对角线平行的轴的矩为零。

**习题 1.5**
如图所示结构中，$AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 四杆用铰链连接形成菱形，在铰链 $A$、$C$ 处分别作用水平力 $P$。若 $AB$ 与水平方向夹角为 $\alpha$，求杆 $BD$ 所受的力。

**习题 1.6**
图示三铰拱，左半拱 $AC$ 重 $P_1$，右半拱 $BC$ 重 $P_2$，在 $AC$ 上作用一水平力 $F$。画出 $AC$、$BC$ 及整体的受力图。

==== 挑战题 ====

**习题 1.7**
如图所示空间力系，$F_1 = F_2 = F_3 = F$，分别沿坐标轴方向作用在边长为 $a$ 的立方体的三个顶点。求该力系对坐标原点 $O$ 的主矩。

**习题 1.8**
证明：空间任意力系若满足 $\sum \vec{F} = 0$ 且 $\sum \vec{M}_O = 0$，则该力系对任意点的矩之和均为零。

**习题 1.9**
设计一实验方案，利用力矩平衡原理测量不规则物体的重心位置。要求写出实验原理、步骤和数据处理方法。

===== 1.11 本章小结 =====

本章介绍了静力学的基础知识：

  * **力的概念**：力是物体间的相互机械作用，具有大小、方向和作用点三要素
  * **静力学公理**：五个公理及其推论构成了静力学的理论基础
  * **力的投影与分解**：掌握一次投影法和二次投影法
  * **力矩**：力对点的矩 $\vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F}$，力对轴的矩
  * **力偶**：由等值、反向、平行的两力组成，对物体只产生转动效应
  * **约束与约束力**：掌握各类约束的特点和约束力画法
  * **受力分析**：正确选取研究对象，绘制受力图

掌握本章内容是学习后续力系简化与平衡问题的前提。

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