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====== 第二章 平面力系 ======

===== 2.1 引言 =====

平面力系（Coplanar Force System）是指各力的作用线都在同一平面内的力系。这是工程中最常见、最基本的力系形式。在实际工程中，许多结构的受力可以简化为平面力系问题来处理，如桥梁、屋架、刚架等结构在平面载荷作用下的分析。

本章系统研究平面力系的简化与平衡问题，包括平面汇交力系、平面力偶系和平面任意力系。通过学习本章，读者将掌握平面力系简化的基本方法，能够熟练运用平衡方程求解平面力系的平衡问题。

===== 2.2 平面汇交力系 =====

==== 2.2.1 定义与特点 ====

**平面汇交力系**（Concurrent Coplanar Force System）是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。

**特点**：
  * 各力作用线共面且共点
  * 对刚体只产生移动效应（通过汇交点），不产生转动效应
  * 可用力的平行四边形法则或力多边形法则求合力

==== 2.2.2 合成的几何法 ====

**力多边形法则**：

将各力矢量依次首尾相接，从第一个力的起点指向最后一个力的终点的封闭边即为合力。

$$\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots + \vec{F}_n = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i$$

**说明**：
  * 力多边形的各边代表各力矢量
  * 封闭边代表合力，方向由第一个力的起点指向最后一个力的终点
  * 改变各力的顺序，力多边形的形状改变，但合力不变

==== 2.2.3 合成的解析法 ====

建立直角坐标系 $Oxy$，将各力向坐标轴投影：

$$F_{Rx} = \sum F_{ix} = \sum F_i \cos\alpha_i$$
$$F_{Ry} = \sum F_{iy} = \sum F_i \sin\alpha_i$$

合力的大小：
$$F_R = \sqrt{F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2} = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$$

合力的方向：
$$\cos\alpha = \frac{F_{Rx}}{F_R}, \quad \sin\alpha = \frac{F_{Ry}}{F_R}, \quad \tan\alpha = \frac{F_{Ry}}{F_{Rx}}$$

其中 $\alpha$ 为合力与 $x$ 轴正向的夹角。

==== 2.2.4 平面汇交力系的平衡条件 ====

**几何条件**：力多边形自行封闭（最后一个力的终点与第一个力的起点重合）。

**解析条件**：
$$\sum F_x = 0$$
$$\sum F_y = 0$$

这是平面汇交力系平衡的必要且充分条件。两个独立的平衡方程可以求解两个未知量。

===== 2.3 平面力对点的矩 =====

==== 2.3.1 力矩的定义 ====

在平面问题中，力对点的矩是代数量：

$$M_O(F) = \pm F \cdot d$$

其中 $d$ 为矩心 $O$ 到力作用线的垂直距离（力臂）。

**正负号规定**：
  * 力使物体绕矩心逆时针转动时为正
  * 力使物体绕矩心顺时针转动时为负

==== 2.3.2 合力矩定理 ====

平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于各分力对同一点的矩的代数和：

$$M_O(\vec{F}_R) = \sum M_O(\vec{F}_i)$$

**证明**：
设力系汇交于点 $A$，矩心为点 $O$，矢径 $\vec{r} = \vec{OA}$。

$$M_O(\vec{F}_R) = \vec{r} \times \vec{F}_R = \vec{r} \times (\sum \vec{F}_i) = \sum (\vec{r} \times \vec{F}_i) = \sum M_O(\vec{F}_i)$$

===== 2.4 平面力偶系 =====

==== 2.4.1 平面力偶的等效条件 ====

在同一平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则彼此等效。

**说明**：力偶的等效只与力偶矩的大小和转向有关，与力偶中力的大小、力偶臂的长短以及力偶在平面内的位置无关。

==== 2.4.2 平面力偶系的合成 ====

平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：

$$M = M_1 + M_2 + \cdots + M_n = \sum_{i=1}^{n} M_i$$

==== 2.4.3 平面力偶系的平衡条件 ====

平面力偶系平衡的充要条件是合力偶矩为零：

$$\sum M_i = 0$$

===== 2.5 平面任意力系 =====

==== 2.5.1 力的平移定理 ====

作用在刚体上点 $A$ 的力 $\vec{F}$ 可以平行移动到任一点 $B$，但必须附加一个力偶，该附加力偶的矩等于原力对点 $B$ 的矩。

**证明**：
在点 $B$ 加一对平衡力 $\vec{F}'$ 和 $\vec{F}''$，令 $F' = F'' = F$，且 $\vec{F}' \parallel \vec{F}$。

力 $\vec{F}$ 和 $\vec{F}''$ 构成力偶，其矩为 $M = M_B(\vec{F}) = F \cdot d$。

剩余 $\vec{F}'$ 即为平移后的力。

==== 2.5.2 平面任意力系向一点简化 ====

**主矢**：

平面任意力系中各力的矢量和称为力系的**主矢**：

$$\vec{F}_R' = \sum \vec{F}_i$$

主矢与简化中心的位置无关。

主矢的大小和方向：
$$F_R' = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}$$
$$\cos\alpha = \frac{\sum F_x}{F_R'}, \quad \sin\alpha = \frac{\sum F_y}{F_R'}$$

**主矩**：

各力对简化中心的矩的代数和称为力系的**主矩**：

$$M_O = \sum M_O(\vec{F}_i)$$

主矩与简化中心的位置有关。

==== 2.5.3 平面任意力系的简化结果分析 ====

根据主矢和主矩的不同情况，平面任意力系的简化结果有四种可能：

**情况1**：$F_R' = 0$，$M_O \neq 0$

力系简化为一个合力偶，力偶矩等于主矩。此时主矩与简化中心无关。

**情况2**：$F_R' \neq 0$，$M_O = 0$

力系简化为一个合力，合力作用线通过简化中心，合力等于主矢。

**情况3**：$F_R' \neq 0$，$M_O \neq 0$

力系可进一步简化为一个合力。合力的大小和方向与主矢相同，作用线到简化中心的距离：

$$d = \frac{|M_O|}{F_R'}$$

合力的作用线在简化中心的哪一侧，由主矩的转向决定。

**情况4**：$F_R' = 0$，$M_O = 0$

力系平衡。

==== 2.5.4 平面任意力系的平衡方程 ====

**基本形式（一矩式）**：

$$\sum F_x = 0$$
$$\sum F_y = 0$$
$$\sum M_O = 0$$

**二矩式**：

$$\sum F_x = 0 \quad \text{（或 } \sum F_y = 0\text{）}$$
$$\sum M_A = 0$$
$$\sum M_B = 0$$

条件：$A$、$B$ 两点的连线不能与投影轴垂直。

**三矩式**：

$$\sum M_A = 0$$
$$\sum M_B = 0$$
$$\sum M_C = 0$$

条件：$A$、$B$、$C$ 三点不共线。

===== 2.6 平面平行力系 =====

==== 2.6.1 定义 ====

各力的作用线互相平行的平面力系称为**平面平行力系**。

==== 2.6.2 平衡方程 ====

设各力与 $y$ 轴平行：

**基本形式**：
$$\sum F_y = 0$$
$$\sum M_O = 0$$

**二矩式**：
$$\sum M_A = 0$$
$$\sum M_B = 0$$

条件：$A$、$B$ 连线不与各力平行。

===== 2.7 物体系的平衡 =====

==== 2.7.1 静定与静不定问题 ====

**静定问题**：未知量的数目等于独立平衡方程的数目，全部未知量可由平衡方程求出。

**静不定问题（超静定问题）**：未知量的数目多于独立平衡方程的数目，未知量不能仅由平衡方程全部求出。

静不定次数 = 未知量数目 - 独立平衡方程数目

==== 2.7.2 物体系平衡问题的解法 ====

**解题步骤**：

  1. 判断问题是否静定
  2. 选取适当的研究对象（整体、局部或单个物体）
  3. 画受力图
  4. 列平衡方程求解

**选取研究对象的技巧**：

  * 优先选取能直接求出部分未知量的对象
  * 尽量避免求解不需要的未知量
  * 灵活应用整体法和局部法相结合

===== 2.8 典型例题 =====

==== 例题2.1 平面汇交力系合成 ====

已知平面汇交力系如图所示，$F_1 = 100 \text{ N}$，$F_2 = 150 \text{ N}$，$F_3 = 200 \text{ N}$，各力方向如图所示（$F_1$ 与水平方向成 $30°$，$F_2$ 与水平方向成 $120°$，$F_3$ 与水平方向成 $240°$）。求合力的大小和方向。

**解答**：

建立坐标系，$x$ 轴水平向右，$y$ 轴铅垂向上。

各力在坐标轴上的投影：
$$F_{1x} = 100 \cos30° = 86.6 \text{ N}$$
$$F_{1y} = 100 \sin30° = 50 \text{ N}$$

$$F_{2x} = 150 \cos120° = -75 \text{ N}$$
$$F_{2y} = 150 \sin120° = 129.9 \text{ N}$$

$$F_{3x} = 200 \cos240° = -100 \text{ N}$$
$$F_{3y} = 200 \sin240° = -173.2 \text{ N}$$

合力投影：
$$F_{Rx} = 86.6 - 75 - 100 = -88.4 \text{ N}$$
$$F_{Ry} = 50 + 129.9 - 173.2 = 6.7 \text{ N}$$

合力大小：
$$F_R = \sqrt{(-88.4)^2 + (6.7)^2} = 88.7 \text{ N}$$

合力方向：
$$\tan\alpha = \frac{6.7}{-88.4} = -0.0758$$

由于 $F_{Rx} < 0$，$F_{Ry} > 0$，合力在第二象限：
$$\alpha = 180° - 4.34° = 175.66°$$

==== 例题2.2 简支梁支座反力 ====

简支梁 $AB$ 长 $L = 6 \text{ m}$，$A$ 端为固定铰支座，$B$ 端为滚动铰支座。梁上作用载荷：$C$ 点（距 $A$ 端 $2 \text{ m}$）有集中力 $P = 20 \text{ kN}$ 铅垂向下，$D$ 点（距 $A$ 端 $4 \text{ m}$）有集中力偶 $M = 30 \text{ kN·m}$ 顺时针。求支座 $A$、$B$ 的反力。

**解答**：

取梁 $AB$ 为研究对象，画受力图：

  * $A$ 端：$F_{Ax}$（水平）、$F_{Ay}$（铅垂）
  * $B$ 端：$F_{By}$（铅垂向上，滚动铰支座）

列平衡方程：

**方法一：基本形式**

$$\sum F_x = 0: \quad F_{Ax} = 0$$

$$\sum M_A = 0: \quad F_{By} \times 6 - 20 \times 2 - 30 = 0$$
$$6F_{By} = 70$$
$$F_{By} = 11.67 \text{ kN}$$

$$\sum F_y = 0: \quad F_{Ay} + F_{By} - 20 = 0$$
$$F_{Ay} = 20 - 11.67 = 8.33 \text{ kN}$$

==== 例题2.3 刚架结构分析 ====

图示刚架由杆 $AC$ 和 $CB$ 铰接而成，$A$ 端为固定铰支座，$B$ 端为滚动铰支座。杆 $AC$ 上作用均布载荷 $q = 10 \text{ kN/m}$，在 $C$ 点作用水平力 $F = 20 \text{ kN}$。已知 $AC = CB = L = 4 \text{ m}$，求支座 $A$、$B$ 的反力及铰 $C$ 处的约束力。

**解答**：

**步骤1：取整体为研究对象**

受力图：
  * $A$ 端：$F_{Ax}$、$F_{Ay}$
  * $B$ 端：$F_{By}$（铅垂向上）
  * 均布载荷合力：$Q = qL = 40 \text{ kN}$，作用于 $AC$ 中点
  * $C$ 点：水平力 $F = 20 \text{ kN}$

列平衡方程：

$$\sum M_A = 0:$$
均布载荷对 $A$ 的矩：$40 \times 2 = 80 \text{ kN·m}$（顺时针）
力 $F$ 对 $A$ 的矩：$20 \times 4 = 80 \text{ kN·m}$（顺时针）
$F_{By}$ 对 $A$ 的矩：$F_{By} \times 8$（逆时针）

$$F_{By} \times 8 - 80 - 80 = 0$$
$$F_{By} = 20 \text{ kN}$$

$$\sum F_y = 0: \quad F_{Ay} + F_{By} - 40 = 0$$
$$F_{Ay} = 20 \text{ kN}$$

$$\sum F_x = 0: \quad F_{Ax} + 20 = 0$$
$$F_{Ax} = -20 \text{ kN}$$（实际方向向左）

**步骤2：取杆 $CB$ 为研究对象**

$$\sum M_C = 0: \quad F_{By} \times 4 - F_{Cx}' \times 0 - F_{Cy}' \times 4 = 0$$

这里需要补充几何关系继续求解...

（详细求解过程略，$C$ 处约束力 $F_{Cx} = -20 \text{ kN}$，$F_{Cy} = 20 \text{ kN}$）

==== 例题2.4 静不定次数判断 ====

判断下列结构的静不定次数：

  * (a) 梁 $AB$ 两端固定
  * (b) 刚架 $ABC$，$A$、$C$ 均为固定端
  * (c) 桁架，$m$ 根杆件，$n$ 个节点，$r$ 个支座约束

**解答**：

**(a) 两端固定梁**

未知量：$F_{Ax}$、$F_{Ay}$、$M_A$、$F_{Bx}$、$F_{By}$、$M_B$，共 6 个

平衡方程：平面力系 3 个

静不定次数：$6 - 3 = 3$（三次静不定）

**(b) 双固定端刚架**

每端 3 个未知量，共 6 个；中间铰增加 2 个未知量，共 8 个

整体平衡方程 3 个；铰 $B$ 处分离得 2 个方程

静不定次数：$8 - 5 = 3$（三次静不定）

===== 2.9 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 2.1**
平面汇交力系中，$F_1 = 50 \text{ N}$（水平向右），$F_2 = 80 \text{ N}$（与水平成 $45°$ 向上），$F_3 = 60 \text{ N}$（与水平成 $30°$ 向下）。求合力。

**习题 2.2**
简支梁 $AB$ 长 $8 \text{ m}$，在距 $A$ 端 $3 \text{ m}$ 处作用集中力 $P = 40 \text{ kN}$，在距 $A$ 端 $6 \text{ m}$ 处作用集中力偶 $M = 50 \text{ kN·m}$（顺时针）。求支座反力。

**习题 2.3**
刚架 $ABC$ 中，$AB$ 铅垂，$BC$ 水平，$AB = BC = L = 3 \text{ m}$。$A$ 为固定端，自由端 $C$ 作用水平力 $F = 10 \text{ kN}$ 和力偶 $M = 15 \text{ kN·m}$。求固定端 $A$ 的约束反力。

**习题 2.4**
如图所示梯子，$AB = AC = L$，在 $A$ 处用铰链连接，$D$、$E$ 处用水平绳连接，$BD = EC = L/3$。梯子不计自重，$P$ 重的人站在 $AB$ 中点。求人重 $P$ 与绳张力 $F_T$ 的关系。

==== 提高题 ====

**习题 2.5**
图示结构由杆 $AB$、$BC$、$CD$ 组成，$A$、$B$、$C$、$D$ 均为铰链。$A$、$D$ 为固定铰支座。在 $B$ 点作用铅垂力 $P$，在 $C$ 点作用水平力 $F$。已知 $AB = BC = CD = L$，$AB$ 与水平成 $60°$，$BC$ 水平，$CD$ 与水平成 $45°$。求支座 $A$、$D$ 的反力。

**习题 2.6**
图示组合梁由 $AC$ 和 $CB$ 铰接而成，$A$ 为固定端，$B$ 为滚动铰支座，$C$ 为中间铰。$AC$ 段作用均布载荷 $q$，$CB$ 段中点作用集中力 $P$。已知 $AC = CB = L$，求固定端 $A$ 的反力。

**习题 2.7**
证明：平面任意力系向两点 $A$、$B$ 简化，若主矩相等（$M_A = M_B$）且主矩不为零，则力系简化为一个力偶。

==== 挑战题 ====

**习题 2.8**
图示结构中，杆 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$、$AC$ 五根杆用铰链连接。在铰 $B$ 作用水平力 $P$，在铰 $D$ 作用铅垂力 $Q$。已知各杆等长，均为 $L$。求杆 $AC$ 的内力。

**习题 2.9**
设计一可测量物体重量的简易秤，要求：
  * 利用杠杆原理
  * 能测量 $0-50 \text{ kg}$ 范围内的重量
  * 给出力臂比的设计方案
  * 分析测量误差来源

**习题 2.10**
讨论平面力系简化中，合力作用线位置的唯一性。证明：若力系有合力，则合力作用线的位置是唯一的。

===== 2.10 本章小结 =====

本章主要内容包括：

  * **平面汇交力系**：合成与平衡的几何法和解析法，平衡方程 $\sum F_x = 0$，$\sum F_y = 0$
  * **平面力矩**：$M_O(F) = \pm Fd$，合力矩定理
  * **平面力偶系**：合成 $M = \sum M_i$，平衡条件 $\sum M_i = 0$
  * **平面任意力系**：
    - 简化：主矢 $\vec{F}_R' = \sum \vec{F}_i$，主矩 $M_O = \sum M_O(\vec{F}_i)$
    - 平衡方程：一矩式、二矩式、三矩式
  * **物体系平衡**：静定与静不定问题，研究对象的选取技巧

**解题要点**：
  * 正确判断约束类型，画出准确的受力图
  * 灵活选取投影轴和矩心，简化计算
  * 对于物体系问题，合理选取整体和局部为研究对象
  * 注意校核，验证结果的正确性

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