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====== 第五章 点的运动学 ======

===== 5.1 引言 =====

运动学（Kinematics）是研究物体运动几何性质的科学，它描述物体的位置随时间变化的规律，而不考虑引起运动的原因（力）。运动学是动力学的基础，也是机构分析、机器人学、航天轨道设计等领域的重要工具。

点的运动学是研究点相对于参考系的位置随时间变化的规律。本章将介绍描述点运动的三种方法：矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。

===== 5.2 基本概念 =====

==== 5.2.1 参考系与坐标系 ====

**参考体**：描述物体运动时所选定的作为参考的物体。

**参考系**：与参考体固连的坐标系。运动具有相对性，同一物体的运动在不同参考系中描述结果不同。

**常用坐标系**：
  * 直角坐标系（笛卡尔坐标系）
  * 极坐标系
  * 柱坐标系
  * 球坐标系
  * 自然坐标系（密切坐标系）

==== 5.2.2 瞬时与时间间隔 ====

**瞬时**：时间轴上的一个点，用 $t$ 表示。

**时间间隔**：两个瞬时之间的时间段，$\Delta t = t_2 - t_1$。

==== 5.2.3 运动方程与轨迹 ====

**运动方程**：描述点的位置随时间变化的数学表达式。

**轨迹**：点在空间运动时所经过的路径。

===== 5.3 矢量法 =====

==== 5.3.1 点的位置矢量 ====

选取参考点 $O$ 为原点，点 $M$ 的位置用从 $O$ 指向 $M$ 的矢量 $\vec{r}$ 表示，称为**位置矢量**（矢径）。

$$\vec{r} = \vec{r}(t)$$

==== 5.3.2 点的速度 ====

**速度**是描述点位置变化快慢和方向的物理量。

$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}}$$

速度的方向沿轨迹的切线方向，指向运动方向。

==== 5.3.3 点的加速度 ====

**加速度**是描述速度变化快慢和方向的物理量。

$$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \dot{\vec{v}} = \ddot{\vec{r}}$$

**物理意义**：加速度表示速度矢量的变化率，包含速度大小变化和方向变化两部分。

===== 5.4 直角坐标法 =====

==== 5.4.1 运动方程 ====

建立直角坐标系 $Oxyz$，点 $M$ 的位置由三个坐标确定：

$$x = f_1(t), \quad y = f_2(t), \quad z = f_3(t)$$

或写成矢量形式：
$$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

==== 5.4.2 速度 ====

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k}$$

速度分量：
$$v_x = \dot{x}, \quad v_y = \dot{y}, \quad v_z = \dot{z}$$

速度大小：
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$$

速度方向（方向余弦）：
$$\cos(\vec{v}, x) = \frac{v_x}{v}, \quad \cos(\vec{v}, y) = \frac{v_y}{v}, \quad \cos(\vec{v}, z) = \frac{v_z}{v}$$

==== 5.4.3 加速度 ====

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} + \ddot{z}\vec{k}$$

加速度分量：
$$a_x = \ddot{x} = \dot{v}_x, \quad a_y = \ddot{y} = \dot{v}_y, \quad a_z = \ddot{z} = \dot{v}_z$$

加速度大小：
$$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

==== 5.4.4 平面运动特例 ====

当点在 $Oxy$ 平面内运动时，$z = 0$：

运动方程：
$$x = f_1(t), \quad y = f_2(t)$$

速度：
$$v_x = \dot{x}, \quad v_y = \dot{y}$$
$$v = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}$$

加速度：
$$a_x = \ddot{x}, \quad a_y = \ddot{y}$$
$$a = \sqrt{\ddot{x}^2 + \ddot{y}^2}$$

===== 5.5 自然法（弧坐标法） =====

==== 5.5.1 弧坐标 ====

在已知轨迹的情况下，可用**弧坐标**（自然坐标）描述点的位置。

在轨迹上任选一点 $O'$ 为参考点，规定正负方向，点 $M$ 的位置用弧长 $s$ 表示：

$$s = f(t)$$

==== 5.5.2 自然坐标系 ====

在轨迹上动点 $M$ 处建立随点运动的正交坐标系：

**切向单位矢量 $\vec{\tau}$**：沿轨迹切线，指向弧坐标正向。

**主法向单位矢量 $\vec{n}$**：在密切平面内，垂直于切线，指向轨迹曲率中心。

**副法向单位矢量 $\vec{b}$**：$\vec{b} = \vec{\tau} \times \vec{n}$

==== 5.5.3 曲率与曲率半径 ====

**曲率**：描述轨迹弯曲程度的量
$$\kappa = \frac{1}{\rho} = \left|\frac{d\theta}{ds}\right|$$

**曲率半径**：
$$\rho = \frac{ds}{d\theta}$$

对于平面曲线 $y = f(x)$：
$$\rho = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|}$$

==== 5.5.4 速度的自然坐标表示 ====

$$\vec{v} = v\vec{\tau} = \frac{ds}{dt}\vec{\tau} = \dot{s}\vec{\tau}$$

速度大小：$v = |\dot{s}|$
速度方向：沿切向，由 $\dot{s}$ 的正负决定指向。

==== 5.5.5 加速度的自然坐标表示 ====

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(v\vec{\tau})}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + v\frac{d\vec{\tau}}{dt}$$

**切向加速度**：
$$a_\tau = \frac{dv}{dt} = \dot{v} = \ddot{s}$$

表示速度大小的变化率。

**法向加速度**：
$$a_n = \frac{v^2}{\rho}$$

表示速度方向的变化率，始终指向曲率中心。

**全加速度**：
$$\vec{a} = a_\tau\vec{\tau} + a_n\vec{n}$$

$$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$$

加速度与法向的夹角：
$$\tan\beta = \frac{|a_\tau|}{a_n}$$

===== 5.6 三种方法的比较 =====

^ 方法 ^ 优点 ^ 缺点 ^ 适用情况 ^
| 矢量法 | 形式简洁，与坐标系无关 | 不便于具体计算 | 理论推导 |
| 直角坐标法 | 计算方便，轨迹未知时可用 | 物理意义不明显 | 一般运动分析 |
| 自然法 | 物理意义明确（切向、法向） | 需已知轨迹 | 轨迹已知的运动分析 |

===== 5.7 特殊运动形式 =====

==== 5.7.1 匀速直线运动 ====

$$v = \text{常数}, \quad a = 0$$
$$s = s_0 + vt$$

==== 5.7.2 匀变速直线运动 ====

$$a = \text{常数}$$
$$v = v_0 + at$$
$$s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$
$$v^2 - v_0^2 = 2a(s - s_0)$$

==== 5.7.3 匀速曲线运动 ====

$$v = \text{常数}, \quad a_\tau = 0, \quad a_n = \frac{v^2}{\rho}$$
$$\vec{a} = a_n\vec{n}$$

加速度只有法向分量，指向曲率中心。

==== 5.7.4 匀变速曲线运动 ====

$$a_\tau = \text{常数}$$
$$v = v_0 + a_\tau t$$
$$s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}a_\tau t^2$$

===== 5.8 典型例题 =====

==== 例题5.1 椭圆规运动 ====

椭圆规的曲柄 $OC$ 以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 转动，带动滑块 $A$、$B$ 分别在水平和铅垂导轨中运动。已知 $OC = AC = BC = L$，$CM = b$。求点 $M$ 的运动方程、速度和加速度。

**解答**：

**运动方程**：

设 $\varphi = \omega t$，则：
$$x_M = (L + b)\cos\omega t$$
$$y_M = (L - b)\sin\omega t$$

轨迹方程（消去 $t$）：
$$\frac{x^2}{(L+b)^2} + \frac{y^2}{(L-b)^2} = 1$$

点 $M$ 沿椭圆运动。

**速度**：
$$v_x = \dot{x}_M = -(L+b)\omega\sin\omega t$$
$$v_y = \dot{y}_M = (L-b)\omega\cos\omega t$$

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \omega\sqrt{(L+b)^2\sin^2\omega t + (L-b)^2\cos^2\omega t}$$

**加速度**：
$$a_x = \ddot{x}_M = -(L+b)\omega^2\cos\omega t = -\omega^2 x_M$$
$$a_y = \ddot{y}_M = -(L-b)\omega^2\sin\omega t = -\omega^2 y_M$$

$$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \omega^2\sqrt{x_M^2 + y_M^2} = \omega^2 \cdot OM$$

==== 例题5.2 抛体运动 ====

质点以初速度 $v_0$ 与水平方向成 $\alpha$ 角抛出，忽略空气阻力。求：
  * (a) 运动方程和轨迹方程
  * (b) 最大高度和射程
  * (c) 落地时的速度和方向

**解答**：

建立坐标系：原点在抛出点，$x$ 轴水平，$y$ 轴铅垂向上。

加速度：$a_x = 0$，$a_y = -g$

**(a) 运动方程**

初始条件：$t = 0$ 时，$x = 0$，$y = 0$，$v_x = v_0\cos\alpha$，$v_y = v_0\sin\alpha$

$$v_x = v_0\cos\alpha$$
$$v_y = v_0\sin\alpha - gt$$

$$x = v_0\cos\alpha \cdot t$$
$$y = v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

轨迹方程（消去 $t$）：
$$y = x\tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2$$

为抛物线。

**(b) 最大高度和射程**

最大高度（$v_y = 0$）：
$$H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$$

射程（$y = 0$，$x \neq 0$）：
$$L = \frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$$

当 $\alpha = 45°$ 时，射程最大：$L_{max} = \frac{v_0^2}{g}$

**(c) 落地时速度和方向**

落地时 $y = 0$，$t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$

$$v_x = v_0\cos\alpha$$
$$v_y = v_0\sin\alpha - g \cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g} = -v_0\sin\alpha$$

速度大小：
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = v_0$$

方向：与水平夹角为 $-\alpha$（对称）。

==== 例题5.3 圆周运动的自然坐标分析 ====

点沿半径 $R = 0.5 \text{ m}$ 的圆周运动，运动方程为 $s = 2t^2$（$s$ 单位为 m，$t$ 单位为 s）。求 $t = 1 \text{ s}$ 时的速度和加速度。

**解答**：

**速度**：
$$v = \dot{s} = 4t$$
$$t = 1 \text{ s}: \quad v = 4 \text{ m/s}$$

**加速度**：

切向加速度：
$$a_\tau = \dot{v} = \ddot{s} = 4 \text{ m/s}^2$$

法向加速度：
$$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(4t)^2}{0.5} = 32t^2$$
$$t = 1 \text{ s}: \quad a_n = 32 \text{ m/s}^2$$

全加速度：
$$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{16 + 1024} = 32.25 \text{ m/s}^2$$

方向：
$$\tan\beta = \frac{a_\tau}{a_n} = \frac{4}{32} = 0.125$$
$$\beta = 7.13°$$

==== 例题5.4 螺旋运动 ====

点沿圆柱螺旋线运动，圆柱半径 $R$，螺距 $h$。已知点以匀速率 $v$ 运动。求加速度。

**解答**：

**轨迹参数方程**：
$$x = R\cos\omega t$$
$$y = R\sin\omega t$$
$$z = \frac{h}{2\pi}\omega t = \frac{h\omega}{2\pi}t$$

其中 $\omega$ 为角速度（待定）。

**速度**：
$$\dot{x} = -R\omega\sin\omega t, \quad \dot{y} = R\omega\cos\omega t, \quad \dot{z} = \frac{h\omega}{2\pi}$$

$$v = \sqrt{R^2\omega^2 + \frac{h^2\omega^2}{4\pi^2}} = \omega R\sqrt{1 + \frac{h^2}{4\pi^2R^2}}$$

由已知 $v$，可求出：
$$\omega = \frac{v}{R\sqrt{1 + \frac{h^2}{4\pi^2R^2}}}$$

**加速度**：
$$\ddot{x} = -R\omega^2\cos\omega t, \quad \ddot{y} = -R\omega^2\sin\omega t, \quad \ddot{z} = 0$$

$$a = R\omega^2 = \frac{v^2}{R(1 + \frac{h^2}{4\pi^2R^2})}$$

加速度水平指向轴线，大小恒定。

===== 5.9 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 5.1**
点的运动方程为 $x = 3t$，$y = 4t - 5t^2$（单位：m，s）。求：
  * (a) $t = 0$ 和 $t = 1 \text{ s}$ 时的位置
  * (b) 轨迹方程
  * (c) $t = 1 \text{ s}$ 时的速度和加速度

**习题 5.2**
点沿半径 $R = 2 \text{ m}$ 的圆周运动，运动方程为 $s = \pi t^2$。求 $t = 2 \text{ s}$ 时的速度、切向加速度和法向加速度。

**习题 5.3**
杆 $OA$ 长 $L$，以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 转动，带动套在水平杆 $BC$ 上的小环 $M$ 运动。求小环 $M$ 的速度和加速度（表示为杆 $OA$ 与铅垂线夹角 $\varphi$ 的函数）。

**习题 5.4**
点沿抛物线 $y^2 = 4x$（$x$、$y$ 单位为 m）运动，速度在 $x$ 轴上的投影恒为 $v_x = 2 \text{ m/s}$。求当 $x = 4 \text{ m}$ 时点的速度和加速度。

==== 提高题 ====

**习题 5.5**
椭圆规尺 $AB$ 长 $L$，两端分别在相互垂直的导轨中滑动。已知 $A$ 端以匀速 $v_A$ 向下运动。求尺上与 $A$ 端距离为 $b$ 的点 $M$ 的轨迹、速度和加速度。

**习题 5.6**
飞机在高度 $H = 2000 \text{ m}$ 处以速度 $v = 800 \text{ km/h}$ 水平飞行。当飞机经过地面目标 $O$ 正上方时，投放物资。求：
  * (a) 物资的运动方程和轨迹
  * (b) 投放点到目标的水平距离
  * (c) 物资落地时的速度和方向（忽略空气阻力）

**习题 5.7**
点沿半径为 $R$ 的圆周作匀加速运动，初速度为零。证明：在相同时间内，切向加速度与总加速度的夹角相同。

==== 挑战题 ====

**习题 5.8**
质点沿曲线 $y = \sin x$ 以速率 $v = k\sqrt{1 + \cos^2 x}$ 运动（$k$ 为常数）。证明加速度大小为常数，并求加速度的方向。

**习题 5.9**
设计一个测量曲线轨道曲率半径的实验方案。要求：
  * 基于运动学原理
  * 可测量火车轨道的曲率半径
  * 给出测量原理、仪器配置和数据处理方法

**习题 5.10**
证明：对于任意曲线运动，加速度在切向和法向的投影分别为：
$$a_\tau = \frac{dv}{dt}, \quad a_n = \frac{v^2}{\rho}$$
并讨论当 $a_\tau = 0$ 和 $a_n = 0$ 时的运动特点。

===== 5.10 本章小结 =====

本章主要内容回顾：

  * **矢量法**：
    - 位置：$\vec{r} = \vec{r}(t)$
    - 速度：$\vec{v} = \dot{\vec{r}}$
    - 加速度：$\vec{a} = \ddot{\vec{r}}$

  * **直角坐标法**：
    - 运动方程：$x = x(t)$，$y = y(t)$，$z = z(t)$
    - 速度分量：$v_x = \dot{x}$，$v_y = \dot{y}$，$v_z = \dot{z}$
    - 加速度分量：$a_x = \ddot{x}$，$a_y = \ddot{y}$，$a_z = \ddot{z}$

  * **自然法**：
    - 运动方程：$s = s(t)$
    - 速度：$v = \dot{s}$
    - 切向加速度：$a_\tau = \ddot{s} = \dot{v}$
    - 法向加速度：$a_n = \frac{v^2}{\rho}$

  * **重要关系**：
    - $a_\tau$ 反映速度大小的变化
    - $a_n$ 反映速度方向的变化
    - 直线运动：$a_n = 0$
    - 匀速曲线运动：$a_\tau = 0$

**解题要点**：
  * 根据问题特点选择适当的方法
  * 轨迹未知时用直角坐标法
  * 轨迹已知且需明确加速度方向时用自然法
  * 注意初始条件的应用

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