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====== 第八章 刚体的平面运动 ======

===== 8.1 引言 =====

刚体的平面运动是工程中最常见的运动形式之一。当刚体运动时，若刚体内各点到某一固定平面的距离保持不变，则这种运动称为**平面运动**（Plane Motion）。例如，车轮沿直线轨道的滚动、曲柄连杆机构中连杆的运动、行星齿轮的运动等都是平面运动。

平面运动可以看作是平移和转动的合成，它比定轴转动复杂，但比一般的空间运动简单。本章将介绍分析平面运动的两种基本方法：**基点法**和**瞬心法**，并讨论平面运动刚体上各点的速度和加速度计算。

===== 8.2 平面运动的概述 =====

==== 8.2.1 平面运动的特点 ====

  * 刚体上各点都在平行于某一固定平面的平面内运动
  * 可用一个截面（平行于固定平面的平面与刚体的交面）的运动代表整个刚体的运动
  * 运动方程有3个：2个平移参数 + 1个转动参数

==== 8.2.2 平面运动的分解 ====

**定理**：平面运动可分解为随同基点的平移和绕基点的转动。

**证明**：

在截面 $S$ 上任取一点 $A$（基点），则截面内任一点 $B$ 的位置可由 $\vec{r}_{AB}$ 确定。

$$\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{AB}$$

其中 $|\vec{r}_{AB}| = \text{常数}$，$\vec{r}_{AB}$ 只改变方向（绕 $A$ 转动）。

因此，$B$ 点的运动可看作：
  * 随基点 $A$ 的平移
  * 绕基点 $A$ 的转动

**重要结论**：平移与基点选择有关，转动与基点选择无关（角速度、角加速度相同）。

===== 8.3 基点法求速度 =====

==== 8.3.1 速度合成公式 ====

设基点为 $A$，则任一点 $B$ 的速度：

$$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$$

其中：
  * $\vec{v}_A$：基点 $A$ 的速度（平移部分）
  * $\vec{v}_{BA}$：$B$ 相对于 $A$ 的速度（转动部分），$v_{BA} = AB \cdot \omega$，方向垂直于 $AB$

==== 8.3.2 速度投影定理 ====

**定理**：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

$$[\vec{v}_A]_{AB} = [\vec{v}_B]_{AB}$$

**证明**：

由 $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$，向 $AB$ 方向投影：

由于 $\vec{v}_{BA} \perp AB$，故 $[\vec{v}_{BA}]_{AB} = 0$

因此：
$$[\vec{v}_B]_{AB} = [\vec{v}_A]_{AB}$$

===== 8.4 瞬心法求速度 =====

==== 8.4.1 速度瞬心的概念 ====

在平面运动的每一瞬时，截面（或其延伸部分）上总存在一点 $P$，其速度为零，该点称为**瞬时速度中心**，简称**速度瞬心**或**瞬心**。

==== 8.4.2 瞬心的确定方法 ====

**方法1**：已知一点速度 $v_A$ 和角速度 $\omega$

在垂直于 $v_A$ 的方向上，距 $A$ 点距离为 $AP = \frac{v_A}{\omega}$ 处。

**方法2**：已知两点的速度方向

分别过两点作速度的垂线，交点即为瞬心。

**方法3**：已知两点速度平行且垂直于两点连线

瞬心在两点连线与速度矢量端点连线的交点上。

**方法4**：纯滚动

瞬心在接触点处。

==== 8.4.3 瞬心法的应用 ====

若以瞬心 $P$ 为基点，则任一点 $M$ 的速度：

$$v_M = PM \cdot \omega$$

方向垂直于 $PM$，指向与 $\omega$ 一致。

**特点**：
  * 图形上各点速度的分布如同绕瞬心的定轴转动
  * 瞬心的位置随时间变化
  * 瞬心可以在图形外（在其延伸部分）

===== 8.5 用基点法求加速度 =====

==== 8.5.1 加速度合成公式 ====

设基点为 $A$，则任一点 $B$ 的加速度：

$$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}$$

其中相对加速度 $\vec{a}_{BA}$ 包括：
  * 相对法向加速度：$a_{BA}^n = AB \cdot \omega^2$，方向由 $B$ 指向 $A$
  * 相对切向加速度：$a_{BA}^\tau = AB \cdot \alpha$，方向垂直于 $AB$

因此：
$$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$

==== 8.5.2 加速度瞬心 ====

与速度瞬心类似，也存在**加速度瞬心**（加速度为零的点）。但加速度瞬心一般不同于速度瞬心，且确定方法较复杂。

===== 8.6 典型机构的运动分析 =====

==== 8.6.1 曲柄滑块机构 ====

曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L$，滑块 $B$ 沿水平导轨滑动。

**速度分析**：

基点 $A$：$v_A = r\omega$，方向垂直于 $OA$

由速度投影定理：
$$v_A\cos\alpha = v_B\cos\beta$$

其中 $\alpha$、$\beta$ 分别为 $OA$、$AB$ 与水平线的夹角。

或由瞬心法：瞬心在 $OA$ 延长线与过 $B$ 点垂直于导轨的直线的交点。

**加速度分析**：

$$\vec{a}_B = \vec{a}_A^n + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$

其中：
  * $a_A^n = r\omega^2$，方向由 $A$ 指向 $O$
  * $a_{BA}^n = L\omega_{AB}^2$，方向由 $B$ 指向 $A$
  * $a_{BA}^\tau = L\alpha_{AB}$，方向垂直于 $AB$

==== 8.6.2 滚轮机构 ====

滚轮半径 $R$，轮心 $O$ 以速度 $v_O$ 匀速运动。

**纯滚动条件**：
$$v_O = R\omega$$

**各点速度**：
  * 轮心 $O$：$v_O$（水平）
  * 接触点 $P$：$v_P = 0$（瞬心）
  * 最高点 $A$：$v_A = 2v_O$（水平）

**各点加速度**：
  * 轮心 $O$：$a_O = 0$（匀速）
  * 各点指向轮心的法向加速度：$a^n = R\omega^2 = \frac{v_O^2}{R}$

===== 8.7 典型例题 =====

==== 例题8.1 四连杆机构 ====

四连杆机构中，$OA = 0.2 \text{ m}$，$AB = 0.6 \text{ m}$，$O_1B = 0.3 \text{ m}$，$OO_1 = 0.4 \text{ m}$。曲柄 $OA$ 以 $\omega = 5 \text{ rad/s}$ 转动，图示瞬时 $OA \perp OO_1$，$O_1B \perp OO_1$。求此瞬时连杆 $AB$ 的角速度和角加速度，以及点 $B$ 的速度和加速度。

**解答**：

**速度分析**：

点 $A$ 速度：$v_A = OA \cdot \omega = 0.2 \times 5 = 1 \text{ m/s}$，方向垂直于 $OA$（水平向左）

连杆 $AB$ 的速度瞬心：过 $A$ 作 $v_A$ 的垂线（铅垂线），过 $B$ 作导轨的垂线（水平线），交点在 $O_1$ 处？不对，需要重新分析几何关系。

实际上，由于 $O_1B$ 可转动，瞬心应为过 $A$、$B$ 分别作速度垂线的交点。

由速度投影定理或瞬心法：

设连杆角速度为 $\omega_{AB}$，则：
$$v_B = v_A + \omega_{AB} \cdot AB$$

根据几何关系（图示位置 $OA$ 铅垂，$AB$ 水平）：

$v_A$ 水平，$v_B$ 垂直于 $O_1B$。

由 $v_B$ 在 $AB$ 上的投影等于 $v_A$ 在 $AB$ 上的投影：

实际上图示位置 $AB$ 水平，$v_A$ 水平，故：

$v_B$ 在水平方向的分量等于 $v_A$。

若 $O_1B$ 与水平成 $60°$：
$$v_B\cos60° = v_A$$
$$v_B = 2 \text{ m/s}$$

$\omega_{O_1B} = \frac{v_B}{O_1B} = \frac{2}{0.3} = 6.67 \text{ rad/s}$

连杆瞬心在 $A$ 点正下方无穷远处，即连杆此时作瞬时平移：
$$\omega_{AB} = 0$$

**加速度分析**：

$$\vec{a}_B = \vec{a}_B^n + \vec{a}_B^\tau = \vec{a}_A^n + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$

其中：
  * $a_A^n = OA \cdot \omega^2 = 0.2 \times 25 = 5 \text{ m/s}^2$，水平向右
  * $a_{BA}^n = AB \cdot \omega_{AB}^2 = 0$（因为 $\omega_{AB} = 0$）
  * $a_B^n = O_1B \cdot \omega_{O_1B}^2 = 0.3 \times 44.4 = 13.3 \text{ m/s}^2$，方向由 $B$ 指向 $O_1$

向水平和铅垂方向投影求解...

==== 例题8.2 滚轮纯滚动 ====

半径为 $R$ 的滚轮在水平面上作纯滚动，轮心 $O$ 以匀加速度 $a_O$ 运动。求轮缘上最高点 $A$ 和接触点 $P$ 的加速度。

**解答**：

**角加速度**：

纯滚动条件：$a_O = R\alpha$
$$\alpha = \frac{a_O}{R}$$

**点 $P$ 的加速度**：

以 $O$ 为基点：
$$\vec{a}_P = \vec{a}_O + \vec{a}_{PO}^n + \vec{a}_{PO}^\tau$$

其中：
  * $a_O$（水平）
  * $a_{PO}^n = R\omega^2 = \frac{v_O^2}{R}$（向上）
  * $a_{PO}^\tau = R\alpha = a_O$（水平向左）

水平分量：$a_O - a_O = 0$
铅垂分量：$a_{PO}^n = \frac{v_O^2}{R}$（向上）

$$a_P = \frac{v_O^2}{R}$$，方向向上。

**点 $A$ 的加速度**：

$$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \vec{a}_{AO}^n + \vec{a}_{AO}^\tau$$

其中：
  * $a_{AO}^n = R\omega^2 = \frac{v_O^2}{R}$（向下）
  * $a_{AO}^\tau = R\alpha = a_O$（水平向右）

水平分量：$a_O + a_O = 2a_O$
铅垂分量：$-\frac{v_O^2}{R}$（向下）

$$a_A = \sqrt{(2a_O)^2 + \left(\frac{v_O^2}{R}\right)^2}$$

==== 例题8.3 行星轮系 ====

定齿轮 $I$ 半径 $R$，行星齿轮 $II$ 半径 $r$，系杆 $OA$ 以角速度 $\omega_O$ 转动。求行星轮的角速度及其上点 $B$（在 $OA$ 延长线上）的速度。

**解答**：

**接触点分析**：

定齿轮中心 $O$，行星轮中心 $A$，$OA = R + r$。

接触点 $P$ 在两齿轮连心线上，速度为零。

**行星轮运动**：

行星轮的瞬心在 $P$ 点。

轮心 $A$ 的速度：$v_A = (R+r)\omega_O$

行星轮角速度：
$$\omega_{II} = \frac{v_A}{r} = \frac{(R+r)\omega_O}{r}$$

转向与系杆相反。

**点 $B$ 的速度**：

$B$ 到瞬心 $P$ 的距离：$PB = 2r + R$

$$v_B = PB \cdot \omega_{II} = (2r+R) \cdot \frac{(R+r)\omega_O}{r}$$

===== 8.8 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 8.1**
杆 $AB$ 长 $L$，$A$ 端沿水平面以匀速 $v$ 运动，$B$ 端沿铅垂墙面下滑。求当杆与水平面成 $45°$ 时，杆的角速度和 $B$ 端的速度。

**习题 8.2**
滚轮半径 $R = 0.3 \text{ m}$，在水平面上纯滚动，轮心速度 $v_O = 2 \text{ m/s}$，加速度 $a_O = 1 \text{ m/s}^2$。求轮缘上最高点、最前点和接触点的速度和加速度。

**习题 8.3**
曲柄 $OA$ 长 $r = 0.2 \text{ m}$，以 $\omega = 10 \text{ rad/s}$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L = 0.6 \text{ m}$，滑块 $B$ 沿水平导轨运动。求当曲柄水平时，连杆的角速度和滑块的速度。

**习题 8.4**
四连杆机构中，$OA = O_1B = 0.3 \text{ m}$，$AB = 0.5 \text{ m}$，$OA$ 以 $\omega = 5 \text{ rad/s}$ 转动。求当 $OA \perp AB$ 时，$O_1B$ 的角速度和角加速度。

==== 提高题 ====

**习题 8.5**
图示机构中，杆 $AC$ 在导轨中以匀速 $v$ 平移，通过套在杆 $OB$ 上的套筒 $B$ 带动杆 $OB$ 转动。图示瞬时 $AC$ 水平，$OB$ 与水平成 $45°$，$OB = L$。求此时杆 $OB$ 的角速度和角加速度。

**习题 8.6**
半径为 $R$ 的车轮在半径为 $2R$ 的固定圆弧轨道上纯滚动。证明轮心速度 $v$ 与转角 $\varphi$ 的关系，并求轮缘上最高点的加速度。

**习题 8.7**
证明：平面运动刚体上，若某瞬时有两点速度相同，则该瞬时刚体作瞬时平移，各点速度相同。

==== 挑战题 ====

**习题 8.8**
椭圆规尺 $AB$ 长 $L$，两端分别在相互垂直的导轨中滑动。$A$ 端以匀速 $v$ 运动。求尺上任意点 $M$（$AM = b$）的速度和加速度，并证明其轨迹为椭圆。

**习题 8.9**
设计一种测量平面运动刚体角速度的方法。要求：
  * 基于运动学原理
  * 可同时测量刚体上两点的速度
  * 给出测量步骤和数据处理公式

**习题 8.10**
证明：平面运动刚体的速度瞬心轨迹（动瞬心迹和定瞬心迹）相切，且刚体的运动可以看作动瞬心迹沿定瞬心迹的无滑动滚动。

===== 8.9 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **平面运动分解**：
    - 可分解为随基点的平移和绕基点的转动
    - 平移与基点有关，转动与基点无关

  * **基点法**：
    - 速度：$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{r}_{AB}$
    - 加速度：$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$

  * **速度投影定理**：
    - $[\vec{v}_A]_{AB} = [\vec{v}_B]_{AB}$

  * **瞬心法**：
    - 瞬心是速度为零的点
    - 各点速度如同绕瞬心转动：$v = d \cdot \omega$
    - 确定瞬心位置的方法

  * **纯滚动**：
    - 条件：$v_O = R\omega$
    - 接触点为瞬心

**解题要点**：
  * 首先分析机构，确定运动形式
  * 速度分析一般用瞬心法或基点法
  * 加速度分析必须用基点法
  * 注意纯滚动条件的应用

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