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====== 第十三章 达朗贝尔原理 ======

===== 13.1 引言 =====

在动力学问题中，需要建立运动微分方程并求解，这通常涉及复杂的微分运算。达朗贝尔原理（D'Alembert's Principle）提供了一种将动力学问题转化为静力学问题来求解的方法，这种方法称为**动静法**。

动静法的核心思想是在运动的质点（或质点系）上虚加上**惯性力**，使得在形式上可以将动力学问题当作静力学平衡问题来处理。这种方法在工程实践中应用广泛，特别是在求解约束力和分析机械振动等问题时特别有效。

===== 13.2 惯性力 =====

==== 13.2.1 惯性力的概念 ====

当物体加速运动时，由于惯性，物体表现出抵抗运动状态改变的性质。从运动参考系观察，仿佛有一个力作用在物体上，这个假想的力称为**惯性力**。

==== 13.2.2 质点的惯性力 ====

质量为 $m$ 的质点，加速度为 $\vec{a}$，则**惯性力**为：

$$\vec{F}_I = -m\vec{a}$$

**说明**：
  * 惯性力不是真实的力，没有施力物体
  * 惯性力作用在被加速的质点上
  * 方向与加速度方向相反
  * 大小等于质量与加速度的乘积

==== 13.2.3 惯性力的分解 ====

在自然坐标系中，惯性力可分解为：

**切向惯性力**：
$$F_I^\tau = -ma_\tau = -m\frac{dv}{dt}$$

方向沿切向，与速度方向相反（加速时）或相同（减速时）。

**法向惯性力（离心力）**：
$$F_I^n = -ma_n = -m\frac{v^2}{\rho}$$

方向沿法向，背离曲率中心。

===== 13.3 达朗贝尔原理 =====

==== 13.3.1 质点的达朗贝尔原理 ====

**原理内容**：在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。

$$\vec{F} + \vec{F}_N + \vec{F}_I = 0$$

或
$$\vec{F} + \vec{F}_N = -\vec{F}_I = m\vec{a}$$

**本质**：这只是在牛顿第二定律的两边同时加上 $-m\vec{a}$，形式上构成平衡方程。实际上质点并不平衡，所以称为**动态平衡**。

==== 13.3.2 质点系的达朗贝尔原理 ====

对于质点系，对每个质点虚加惯性力 $\vec{F}_{Ii} = -m_i\vec{a}_i$，则：

**原理内容**：在质点系运动的每一瞬时，作用于质点系的所有外力、内力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。

由于内力成对出现、大小相等、方向相反，其主矢和对任一点的主矩都为零，故：

$$\sum \vec{F}_i^{(e)} + \sum \vec{F}_{Ii} = 0$$
$$\sum \vec{M}_O(\vec{F}_i^{(e)}) + \sum \vec{M}_O(\vec{F}_{Ii}) = 0$$

**结论**：作用于质点系的所有外力与虚加的惯性力形式上组成平衡力系。

===== 13.4 刚体惯性力系的简化 =====

==== 13.4.1 简化方法 ====

对于刚体，可以对分布在各质点上的惯性力系进行简化。简化结果与刚体的运动形式有关。

==== 13.4.2 平移刚体 ====

平移刚体各点加速度相同，都等于质心加速度 $\vec{a}_C$。

惯性力系可简化为通过质心的一个合力：

$$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$$

==== 13.4.3 定轴转动刚体 =====

设刚体绕固定轴 $z$ 转动，角速度 $\omega$，角加速度 $\alpha$。

**向转轴上一点 $O$ 简化**：

**主矢**：
$$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$$

（与简化中心位置无关）

**主矩**：
$$M_{Iz} = -J_z\alpha$$

（沿转轴方向）

**特殊情况**：若转轴通过质心（$\vec{a}_C$ 只有切向），则：
  * 当 $\alpha = 0$（匀速转动）时，惯性力系平衡
  * 当 $\alpha \neq 0$ 时，简化为一个力偶，矩为 $-J_C\alpha$

==== 13.4.4 平面运动刚体 =====

**向质心 $C$ 简化**：

**主矢**：
$$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$$

**主矩**：
$$M_{IC} = -J_C\alpha$$

===== 13.5 动静法及其应用 =====

==== 13.5.1 动静法 ====

根据达朗贝尔原理，在质点或刚体上虚加惯性力（或惯性力系）后，可按静力学平衡问题求解。这种方法称为**动静法**。

**解题步骤**：

  1. 选取研究对象
  2. 受力分析（画主动力、约束力）
  3. 运动分析（确定加速度）
  4. 虚加惯性力（或惯性力系）
  5. 列平衡方程求解
  6. 验证结果

==== 13.5.2 应用优势 ====

  * 形式上与静力学相同，易于掌握
  * 特别适合求解约束力问题
  * 便于分析动载荷和动应力
  * 可充分利用静力学的解题技巧

===== 13.6 典型例题 =====

==== 例题13.1 加速上升电梯 ====

电梯以加速度 $a$ 上升，质量为 $m$ 的人站在电梯地板上。用动静法求人对地板的压力。

**解答**：

**研究对象**：人

**受力分析**：
  * 重力 $mg$（向下）
  * 地板支持力 $F_N$（向上）

**运动分析**：人以加速度 $a$ 上升

**虚加惯性力**：
$$F_I = ma$$（向下，与加速度方向相反）

**列平衡方程**（向上为正）：
$$F_N - mg - ma = 0$$

$$F_N = m(g + a)$$

人对地板的压力（牛顿第三定律）：
$$F_N' = m(g + a)$$

==== 例题13.2 定轴转动杆的轴承约束力 ====

均质杆长 $L$，质量 $m$，从水平位置静止释放，绕一端水平轴 $O$ 转动。求当杆与水平成 $\theta$ 角时，轴承 $O$ 的约束力。

**解答**：

**运动分析**：

杆绕 $O$ 转动，质心加速度：
$$a_C^\tau = \frac{L}{2}\alpha$$
$$a_C^n = \frac{L}{2}\omega^2$$

由动能定理（或定轴转动微分方程）可求出 $\omega$ 和 $\alpha$。

**虚加惯性力**：

向 $O$ 点简化：
  * 主矢分量：$F_I^\tau = ma_C^\tau$，$F_I^n = ma_C^n$
  * 主矩：$M_{IO} = J_O\alpha = \frac{1}{3}mL^2\alpha$

**列平衡方程**：

切向：$F_{O\tau} + mg\cos\theta - F_I^\tau = 0$
法向：$F_{On} - mg\sin\theta - F_I^n = 0$
力矩：$M_{IO} - mg\frac{L}{2}\cos\theta = 0$（由此求出 $\alpha$）

通过求解可得轴承约束力...

==== 例题13.3 车辆转弯的倾覆问题 ====

汽车质量 $m$，质心高度 $h$，轮距 $b$，以速度 $v$ 在半径为 $R$ 的水平弯道上行驶。求汽车不倾覆的最大速度。

**解答**：

**研究对象**：汽车

**运动分析**：汽车作匀速圆周运动，质心加速度：
$$a_C = \frac{v^2}{R}$$（指向弯道中心）

**虚加惯性力（离心力）**：
$$F_I = m\frac{v^2}{R}$$（向外，远离弯道中心）

**受力分析**：
  * 重力 $mg$（向下）
  * 内轮支持力 $F_{N1}$，外轮支持力 $F_{N2}$
  * 摩擦力（提供向心力，但在绕倾覆临界分析时可不详细考虑）

**倾覆临界条件**：内轮离地，$F_{N1} = 0$

**对 $O_2$（外轮接地点）取矩**：
$$F_I \cdot h - mg \cdot \frac{b}{2} = 0$$

$$m\frac{v^2}{R} \cdot h = mg\frac{b}{2}$$

$$v_{max} = \sqrt{\frac{gbR}{2h}}$$

==== 例题13.4 绕线轮纯滚动 ====

绕线轮质量 $m$，半径 $R$，回转半径 $\rho$，在水平面上纯滚动。求轮心加速度 $a_C$。

**解答**：

**运动分析**：纯滚动，$a_C = R\alpha$

**虚加惯性力**：
向质心简化：
  * 主矢：$F_I = ma_C$（向后）
  * 主矩：$M_{IC} = J_C\alpha = m\rho^2\frac{a_C}{R}$

**受力分析**：
  * 重力 $mg$
  * 地面支持力 $F_N$
  * 地面摩擦力 $F_f$（设为向前，也可设为向后）

**列平衡方程**：
水平：$F_f - F_I = 0$
铅垂：$F_N - mg = 0$
对质心取矩：$M_{IC} - F_f R = 0$

由第三式：$m\rho^2\frac{a_C}{R} = F_f R = ma_C R$

$$\rho^2\frac{a_C}{R} = a_C R$$

这得出 $a_C = 0$，矛盾！

**问题分析**：需要有外力作用才能产生加速度。题目条件不全，应增加水平拉力 $F$。

设水平拉力 $F$ 作用于轮心：
水平：$F + F_f - F_I = 0$
对质心取矩：$M_{IC} - F_f R = 0$

联立求解可得 $a_C$。

===== 13.7 习题 =====

==== 基础题 ====

**习题 13.1**
质量为 $m$ 的物体放在倾角 $\alpha$ 的光滑斜面上，斜面以加速度 $a$ 水平向右运动。用动静法求物体相对斜面静止时加速度 $a$ 的值和斜面对物体的支持力。

**习题 13.2**
均质杆 $AB$ 长 $L$，质量 $m$，在水平位置用绳 $BC$ 吊起，$A$ 端铰接。若突然剪断绳子，求此瞬时杆的角加速度和铰链 $A$ 的约束力。

**习题 13.3**
火车以速度 $v$ 沿半径 $R$ 的弯道行驶，外轨超高（轨道平面与水平面夹角为 $\theta$）。求使车轮对内外轨压力相等时的超高角 $\theta$。

**习题 13.4**
均质圆盘质量 $m$，半径 $R$，在水平面上纯滚动，轮心受水平力 $F$。用动静法求轮心加速度。

==== 提高题 ====

**习题 13.5**
细杆长 $L$，质量 $m$，从铅垂位置静止释放，绕下端水平轴转动。求杆转到水平位置时轴的约束力。

**习题 13.6**
曲柄连杆机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L$，滑块质量 $m$。用动静法求 $\theta = 0$ 和 $\theta = 90°$ 时滑块对导轨的压力。

**习题 13.7**
证明：刚体定轴转动时，若转轴通过质心，则惯性力系简化为一个力偶。

==== 挑战题 ====

**习题 13.8**
质量为 $m$、半径为 $r$ 的均质圆盘以角速度 $\omega$ 绕通过中心且垂直于盘面的轴转动。圆盘放在摩擦因数为 $f$ 的水平面上。用动静法分析圆盘的运动，求圆盘停止所需时间。

**习题 13.9**
旋转起重机的吊臂长 $L$，质量 $m$，以匀角速度 $\omega$ 绕铅垂轴转动。吊臂与铅垂线夹角 $\alpha$ 保持不变。用动静法求轴承 $A$（在转轴上）和 $B$（在吊臂根部）的约束力。

**习题 13.10**
讨论动静法与动力学普遍定理的关系。证明：达朗贝尔原理与牛顿运动定律等价，动静法的平衡方程等价于动量定理和动量矩定理。

===== 13.8 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **惯性力**：
    - $\vec{F}_I = -m\vec{a}$
    - 不是真实力，假想力
    - 方向与加速度相反

  * **达朗贝尔原理**：
    - 质点：$\vec{F} + \vec{F}_N + \vec{F}_I = 0$
    - 质点系：外力与惯性力形式上平衡

  * **惯性力系简化**：
    - 平移刚体：$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$（过质心）
    - 定轴转动：$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$，$M_{Iz} = -J_z\alpha$
    - 平面运动：$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$，$M_{IC} = -J_C\alpha$

  * **动静法**：
    - 虚加惯性力
    - 按静力学方法求解
    - 特别适合求约束力

**注意事项**：
  * 惯性力不是真实力，不要与作用力混淆
  * 正确计算加速度和惯性力
  * 注意惯性力系的简化中心

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